空间几何体的表面积和体积.ppt

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1、1.3 简单几何体的表面积和体积,1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积,1、表面积：几何体表面的大小,2、体积：几何体所占空间的大小。,表面积、全面积和侧面积,表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ） 全面积：全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和 侧面积：指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）,棱柱、棱锥、棱台的侧面积,侧面积所指的对象分别如下： 棱柱-直棱柱。 棱锥-正棱锥。 棱台-正棱台,2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、

2、、 ；它们的表面积等于 .,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,有关概念,1、直棱柱：,2、正棱柱：,3、正棱锥：,4、正棱台：,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高,斜高的概念,2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴,分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则 S直棱柱侧 .（类

3、比矩形的面积） 圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆柱侧 .（类比矩形的面积）,ch,2rl,知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积,(1)柱体的侧面积,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,宽,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h，则 S正棱锥侧

4、.（类比三角形的面积） 圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆锥侧 .（类比三角形的面积）,12ch,rl,(2)锥体的侧面积,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为

5、r、r，母线长为l，则S圆台侧 ,12(cc)h,l(rr),(3)台体的侧面积,注：表面积侧面积底面积,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ,圆台的侧面展开图是扇环,圆台,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇环,侧,圆台侧面积公式的推导,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,棱柱、

6、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和,例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键,小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.,答：1800,例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图

7、的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式,例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;,答：60,例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积,例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,B,C,A,S,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为BC=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作 ，,例4(2010年广东省惠州市高三调研)

8、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AEDE. (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面积,【思路点拨】(1)证明AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积,【点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧=所有侧面面积之和,1高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算

9、能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决,几何体的表面积问题小结,2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 3几何体的表面积应注意重合部分的处理,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。,V正方体= a3,公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意

10、平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。,幂势既同，则积不容异,祖暅原理,定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。,V柱体= sh,二：柱体的体积,三:锥体体积,例2：,如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.,问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？,3.1锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积S，高h）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积,定理如果一个锥体（

11、棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是，高是， 那么它的体积是：,锥体 ,圆锥 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是，那么它的体积是：,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,(1)长方体的体积 V长方体abc . (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体Sh. 其中，V圆柱r2h(其中r为底面半径),Sh,知识点二

12、柱、锥、台、球的体积,(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体 Sh. 其中V圆锥 ， r为底面半径,13r2h,(4)台体的体积公式 V台h(SS) 注：h为台体的高，S和S分别为上下两个底面的面积 其中V圆台 注：h为台体的高，r、r分别为上、下两底的半径 (5)球的体积 V球 .,13h(r2rrr2),13R3,例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？,1求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,几何体的体积小结,2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据

13、条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题,R,R,球的体积：,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。,探究,R,R,第一步：分割,O,球面被分割成n个网格， 表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,设“小锥体”的体积为：,知识点三、球的表面积和体积,（,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则:,由 得:,设球的半径为R，则球的体积公式为 V球 .,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1

14、、O2表面积之比4，则它们的半径之比_.,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是。,例2：,例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正

15、方体的棱长a与球半径R之间的关系,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r，,例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积,3如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧ch.

16、 4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加 6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小 7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,题型一 几何体的展

17、开与折叠 有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形ABCD（如图所示）， 由题意知BC=3 cm， AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位 置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 故铁丝的最短长度为5 cm.,求立体图形表面上两点的最短距离 问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形

18、的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发 现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面 展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展 开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形， 找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC

19、=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个三棱

20、锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E， 则E为BC的中点，且AHBC. ABC是边长为6的正三角形，,求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可.常用方 法：割补法和等积变换法. （1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积. （2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.求

21、体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用“等积性”可求“点到面的 距离”.,题型四 组合体的表面积及其体积 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积. 易知折叠成的几何体是棱长为1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折叠后得到一个正四面体. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足为F， F即为DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG， 过球心O作OH

22、平面AEC. 则垂足H为AEC的中心. 4分 外接球半径可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，,6分,10分,12分,方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中.显然，正四面体的外接球就 是正方体的外接球. 3分 正四面体的棱长为1， 正方体的棱长为 ， 6分,9分,12分,方法与技巧 1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、

23、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利.,思想方法 感悟提高,（1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体 补成锥体研究体积. （3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.,失误与防范 1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,