传染病传播模型 (2)课件.ppt

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1、关于传染病传播模型 (2)现在学习的是第1页，共42页 传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。 现在学习的是第2页，共42页模型模型 1（SI 模型） 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，

2、也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 现在学习的是第3页，共42页 根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下现在学习的是第4页，共42页进而有再设初始时刻（t = 0）病人的比例为i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题 )()(d)(dtitNsttiN0)0()1 (ddiiiitiLog

3、istic 模型现在学习的是第5页，共42页初值问题的解为 teiti1111)(0现在学习的是第6页，共42页可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为 i(t) t 的图形现在学习的是第7页，共42页di/dt i 的图形现在学习的是第8页，共42页于是可知： 当 t 时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。 现在学习的是第9页，共42页 然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)

4、m，这个时刻为 11ln01itm这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 现在学习的是第10页，共42页 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。 现在学习的是第11页，共42页模型模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型） 有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。 假设条件 (1

5、) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。 现在学习的是第12页，共42页 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期平均传染期。 现在学习

6、的是第13页，共42页如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下 于是有NiNsitiNdd现在学习的是第14页，共42页记初始时刻的病人的比例 i0（i0 0），从而 SI模型可以修正为我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为0)0()1 (ddiiiiiti现在学习的是第15页，共42页其中 = /。 由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数接触数。于是有,1,)1 ()1 (11)(0001)(101tiiieitit1, 01,1)(lim1tit现在学习的是第16页，共42页我们画出 di/dt i 和 i t 的图形

7、为 di/dt i 的图形（ 1） 现在学习的是第17页，共42页i(t) t 的图形（ 1） 现在学习的是第18页，共42页di/dt i 的图形（ 1） 现在学习的是第19页，共42页i(t) t 的图形（ 1） 现在学习的是第20页，共42页模型模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型） 当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。现在学习

8、的是第21页，共42页 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期平均传染期。现在学习的是第22页，共42页在上述的假设条件下，人员流程图如下 现在学习的是第23页，共42页于是有NsNNiNsitsNddNiNsitiNdd

9、现在学习的是第24页，共42页 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0），从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为00)0( ,)0()1 ()1 (dd)1 (ddssiiiiiitsiiiiti现在学习的是第25页，共42页而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为0)0()1 (ddiiiiiiti 如果令 = /(+)，则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。 现在学习的是第26页，共42页模型模型 4（不

10、考虑出生和死亡的 SIR 模型） 许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。现在学习的是第27页，共42页 模型的假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出移出者者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。现在学习的是第28页，共42页在上述的假设条件下，人员流程图

11、如下 现在学习的是第29页，共42页由假设条件显然有s(t) + i(t) + r(t) = 1 NsitsNddNiNsitiNddNitrNdd现在学习的是第30页，共42页 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值问题0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00ritriiisitisssits现在学习的是第31页，共42页而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为 上述的初值问题无法求出解析解，只能

12、通过数值解法求出数值解。00)0(,dd)0(,ddiiisitisssits现在学习的是第32页，共42页 例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数值解如下表，相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。 现在学习的是第33页，共42页SIR 模型的i(t)、s(t) 曲线 现在学习的是第34页，共42页SIR 模型的 i s 曲线现在学习的是第35页，共42页 在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。 事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论定性理论从方程本身推出解的相

13、关性质。 对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线分相轨线分析析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。（参教案，略）现在学习的是第36页，共42页模型模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 现在学习的是第37

14、页，共42页在上述的假设条件下，人员流程图如下 现在学习的是第38页，共42页此时由假设条件有s(t) + i(t) + r(t) = 1 NsNNsitsNddNiNiNsitiNddNrNitrNdd现在学习的是第39页，共42页 记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下 0)0(,dd)0(,dd)0(,dd00rritriiiisitissssits现在学习的是第40页，共42页而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为 采用相轨线分析（参见ppt资料传染病模型传染病模型1模型4），可以证明：若 1，则i = 0，s = 1；若 1，则 i = ie，s = se，(ie, se) = (1/, (1)/)。 00)0(,)(dd)0(,ddiiisitissssitsppt资料传染病模型传染病模型2侧重于模型分析侧重于模型分析现在学习的是第41页，共42页9/2/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第42页，共42页