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1、高等数学 期末复习,第十章 曲线积分与曲面积分,第一类曲线积分：,应用：曲线构件质量、重心、转动惯量,第二类曲线积分：,应用：变力沿曲线做功,高等数学 期末复习,格林公式：,闭曲线的正向、偏导连续,平面曲线积分与路径无关,最方便的判定条件,与路径无关的积分的求法。,全微分方程通解u(x,y)= c中u(x,y)的求法,高等数学 期末复习,第一类曲面积分：,应用：曲面构件质量、重心、转动惯量,设曲面：z = z(x,y) （单值）,类似有向其他坐标面投影的计算公式。,高等数学 期末复习,第二类曲面积分：,设曲面：z = z(x,y) （单值）,特别地，,上侧为下侧为,高等数学 期末复习,类似地，
2、,前侧为后侧为,右侧为左侧为,当三个第二类曲面积分同时出现时，要考虑能否使用高斯公式。,应用：不可压缩稳定流流经曲面指定侧的流量,高等数学 期末复习,高斯公式：,注意：,1. 闭曲面的外侧；,2. 偏导数在区域内连续。,应用：对于一个立体求各面的积分较多或出现组合积分时，可用Gauss公式转化为三重积分计算。,高等数学 期末复习,斯托克斯公式：,曲面的侧和曲线的方向符合右手法则。,高等数学 期末复习,向量！,数量！,向量！,梯度、散度、旋度,高等数学 期末复习,通量（流量）、环量,高等数学 期末复习,定积分,二重积分,积分概念的联系,曲线积分,高等数学 期末复习,曲面积分,曲线积分,三重积分,
3、对于定积分、重积分和第一类线面积分当被积函数为1的时候，均表示积分区域的大小。,高等数学 期末复习,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,高等数学 期末复习,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,高等数学 期末复习,(1)计算过程中，定积分、重积分和第一类线面积分有相同的奇偶对称性结论：奇零偶倍。,(2) 对于第二类曲线积分，奇偶对称性结论比较复杂，分类较多，不建议使用。,(3)对于第二类曲面积分，奇偶对称性结论与(1)相反，为：偶零奇倍。,对称性结论：,(4)轮换性：如积分区域表达式
4、中x, y互换，表达式不变，则称积分区域关于x, y具有轮换性。此时积分过程中可将被积函数中的x, y互换，结果不变。,高等数学 期末复习,第十一章 数项级数,1. 级数的基本概念,级数的部分和及收敛定义； 级数的基本性质； 掌握等比级数、调和级数、p-级数的结论,2. 正项级数敛散性判定,定义及基本定理； 比较法及其极限形式； 极限审敛法； 比值与根值审敛法； 积分审敛法。,高等数学 期末复习,3. 交错级数,先取绝对值后用正项级数判别法判定,尽可能用比值（或根值）审敛法判定，此时,与原级数具有相同的敛散性。,若由其他方法判定 发散，则对于原级数,往往可以用莱布尼茨判别法进行判定，结论常为
5、条件收敛。,高等数学 期末复习,第十二章 函数项级数,幂级数,幂级数的收敛半径、收敛域的求法 （特有的和一般的函数项级数收敛域的求法） 幂级数的运算：和差运算会求半径， 分析运算会实施，注意起始项； 幂级数的求和，并利用和函数在特殊点处函数值 求特殊数项级数的和 （牢记基本公式（至少2个）和掌握分析运算） 函数的幂级数展开：间接法 （利用已知函数的展开式）,高等数学 期末复习,傅里叶级数, f(x)是以2(2l)为周期的函数，展开成傅里叶级数； f(x)是定义在-,（或-l, l）上的函数，展开成傅里叶级数（作周期延拓）； f(x)是定义在0,（或0, l）上的函数，展开成正弦、余弦级数（作奇
6、、偶延拓再作周期延拓）； f(x)是定义在a, b 上的函数，展开成傅里叶级数（作变量代换再作周期延拓）。（了解）,在狄利克雷收敛定理和基本定理的条件满足的情况下，将函数按要求展开。连续点处级数收敛域自身，注意间断点和非周期函数的端点处的傅氏级数的和。,会求傅氏系数和和函数的表达式！,高等数学 期末复习,第十三章 一阶微分方程,掌握微分方程的基本概念,可分离变量方程 分离变量法,齐次方程 令,线性方程,通解,全微分方程通解,高等数学 期末复习,第十四章 二阶微分方程,1. 可降阶的二阶微分方程,直接积分,令,令,2. 二阶线性微分方程（解的理论）,齐次方程：如何求得两个线性无关的解，并构造通解； 非齐次方程：通解结构，非齐通齐通非齐特 特解的加减结论。,高等数学 期末复习,3、4. 二阶常系数线性微分方程,齐次方程,特征方程法,高等数学 期末复习,非齐次方程,待定系数法确定非齐特,高等数学 期末复习,5. 欧拉方程（了解）,解法化为常系数线性微分方程,6. 常系数线性微分方程组（了解）,消去一些未知函数及其导数高阶常系数线性方程,高等数学 期末复习,考试时间：19周周三晚6:308:30,答疑时间： 19周周二 9:0012:00；14:0017:00； 18:3020:30 19周周三 9:0012:00；14:0017:00,祝大家取得好成绩！,