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1、第三章,矩阵分析及其应用,定义 设已知矩阵序列 ，其中 ，当k， 时，称A(k)收敛，并称矩阵 为A(k)的极限，或称A(k)收敛于A，记为 或 不收敛的矩阵序列称为发散。,矩阵序列与极限,定理 矩阵序列 收敛于A的充分必要条件是 其中 为任意一种矩阵范数。 证明 取矩阵范数 必要性：设 那么由定义可知对每一对i, j 都有,从而有 上式即为 充分性：设 那么对每一对 i, j 都有 即,故有 现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 是另外一种范数，那么由范数的等价性可知 这样，当 时同样可得 因此定理对于任意一种范数都成立。,矩阵序列极限运算的性质。 （1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
2、（2）设 则 （3）设 ，其中 那么 （4）设 ，那么 其中 （5）设 ，且 , A均可逆，则 也收敛，且,证明： （2） （3） （4） （5）,例 1 若对矩阵A的某一范数 ，则 例 2 的充要条件是 。 证明 设A的Jordan标准形,于是 显然， 的充要条件是 又因,其中,于是 的充要条件是 。 因此 的充要条件是 例3 设 是 的相容矩阵范数，则对任意 ，都有,例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。 解 显然每一个 均可逆，但是其极限矩阵,却不可逆。,定义：设 ，如果mn个常数项级数 都收敛， 则称矩阵级数 收敛。如果mn个常数项级数 都绝对收敛， 则称以上矩阵
3、级数绝对收敛。,矩阵级数,例 如果设 ，其中,那么矩阵级数 是收敛的，而且是绝对收敛的。,定理 设 ，则矩阵级数 绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛，其中 为任意一种矩阵范数。 证明 取矩阵范数 ，那么对每一对 i,j 都有 因此如果,收敛，则对每一对 i,j 常数项级数 都是收敛的，于是矩阵级数 绝对收敛。 反之，若矩阵级数 绝对收敛，则对每一对 i,j 都有,于是 根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。,定义 设 ，称形如 的矩阵级数为矩阵幂级数。,定理 设幂级数 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。,矩阵幂级数,证明 设A的Jord
4、an标准形为 其中 于是,所以,其中,当 时，幂级数 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。 当 时，幂级数 发散，所以 发散。,推论 矩阵幂级数 绝对收敛的充分必要条件是 。且其和 。,例1 （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 解 设此级数的收敛半径为R，利用公式 容易求得此级数的收敛半径为2。而 。所以由上面的定理可知矩阵幂级数收敛。,定义：设 ，一元函数 f(z) 能够展开成关于 z 的幂级数 并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵 A 的谱半径 时，我们将收敛的矩阵幂级数,矩阵函数,的和定义为矩阵函数，一般记为 f(A)，即,例：因为当 |z|+时，有,都是
5、绝对收敛的，因此,都是绝对收敛的，因此可以定义,由此可以得到一些简单的结论：,定理：设 ，那么当 时，我们有 证明：首先证明第一个等式,现在证明第二个等式,同样可以证明其余的结论。 注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。,例：设 那么容易计算 并且 于是有,故有 显然 三者互不相等。,当 |z|1 时，有,设 ，当 时，有,函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 定义：设 ， 为 A 的 r 个互不相同的特征值， 为其最小多项式且有 其中 如果函数 f(x) 具有足够高阶的导数并且下列 m 个值 存在，则称函数 f(x)在矩阵 A 的谱上有定义。,矩阵函数的计算-待定系数法,例：设 又已
6、知 容易求得矩阵 A 的最小多项式为 并且 所以 f(x) 在 A 的谱上有定义.,但是如果取 容易求得矩阵 B 的最小多项式为 显然 f(3) 不存在，所以在 B 的谱上无定义。,定理：设函数 f(x) 与函数 g(x) 在矩阵 A 的谱上都有定义，那么 f(A)=g(A) 的充分必要条件是 f(x) 与 g(x) 在 A 的谱上的值完全相同。 设矩阵 的最小多项式为 其中 为矩阵 A 的 r 个互异特征值且,矩阵函数的计算-待定系数法,如何寻找多项式 p(x) 使得 p(A) 与所求的矩阵函数 f(A) 完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数
7、为 m-1 次的多项式 且满足条件 这样，多项式 中的系数 完全可以通过关系式,确定出来。则我们称 为矩阵函数 f(A) 的多项式表示。,例2 ：设 求 f(A) 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式 且满足,于是有,解得 所以其多项式表示为,当 时，可得 于是有 当 时，可得 故有,类似地有,例3 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式 且满足,于是有 解得,所以其多项式表示为,当 时，可得,当 时，可得,同样可得,练习 ：设 求 的多项式表示
8、并且计算,矩阵函数的计算-相似对角矩阵,设矩阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，满足,则有,例 ：设 求 解：该矩阵的特征多项式为,求得特征值1=-2，2= 3=1，对应的特征向量,构造矩阵 求得,则有,因此有,定理：设 ，J为矩阵 A 的Jordan标准形，P为其相似变换矩阵且使得 ，其中,矩阵函数的计算-Jordan标准形法,如果函数 f(x) 在矩阵 A 的谱上有定义，那么 其中,例1 ：设 求 A 的Jordan表示并计算 . 解：首先求出其Jordan标准形矩阵 J 与相似变换矩阵 P.,从而 的Jordan表示为,当 时，可得 ，从而有,当 时，可得 ，于是有,当 时，可得 ，同
9、样可得,矩阵的微分和积分,导数定义 基本性质,其中 为标量函数,如果方阵 A(t) 的逆矩阵 存在，则有,于是有,积分 基本性质,函数对矩阵的导数,定义：设 ，即：Xf(X)，f(X)F，记,定义,例1：设 ，n元函数 计算 。 解：,例2：,例3,例4,当A是对称矩阵时，即：AT=A，则有,例5：设 ，一元函数 计算 。 解：,矩阵函数对矩阵的导数,矩阵函数 的定义,例1：设 ，n元函数 计算 。 解：,此矩阵被称为Hessens矩阵。,例2：设 ，n元函数 令F(x)=(f1(x), f2(x), fn(x)T，计算 。 解：,该式为非线性变换(映射) F:RnRn 的雅可比(Jacobi)式。,例3,常用矩阵函数的导数,设,矩阵函数在求解微分方程组中的应用,一阶线性常系数非齐次微分方程组的求解,已知初值向量 ，求解x(t)。,一阶线性常系数非齐次微分方程组的求解,线性模型参数的最小二乘估计,假设线性模型为,其中,已知观测数据,如何计算 a ？,线性模型参数的最小二乘估计,1）法一：,线性模型参数的最小二乘估计,2）法二：,如何在线估计？,线性模型参数的最小二乘估计,记：,线性模型参数的最小二乘估计,于是有：,线性模型参数的最小二乘估计,加入遗忘因子后（01）：,