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1、-讲义-平面向量与三角形四心的交汇-第 5 页讲义-平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心
2、.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令化简得（4）为的外心。三、典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例3：1)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D.
3、 内心3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例4、已知向量满足条件，求证：是正三角形例5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点例7在内求一点，使最小例8已知为所在平面内一点，满足，则为的心例9.已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例10 已知
4、O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心例11已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例12：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例13：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心四、配套练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为
5、O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心