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1、利用基本不等式解应用题,1. 两个不等式 （1） （2） 变式1 变式2 当且仅当a=b时，等号成立,复习回顾,如果a0，b0，,（当且仅当a=b时取“”号）,（1）如果a，b0，且abP（定值），那么 a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”）. （2）如果a，b0，且abS （定值），那么 ab有最_值_(当且仅当_时取“=”）.,2. 利用基本不等式求最值问题：,小,大,利用基本不等式求最值的条件：,一正、二定、三相等。,a=b,a=b,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,重要变形2,基础知识,（由小到大
2、）,（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？,（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？,ab=36,当a=b=6时，和a+b最小为12,a+b=18,当a=b=9时，积ab最大为81,是解决最大（小）值问题的有力工具。,【应用练习】,例1:某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的
3、长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: 由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得 即 当且仅当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,练习：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,xy=100,篱笆的长为2（x+y）m,由,可得,2（x+y）40,当且仅当x=y时等号成立，此时x=
4、y=10,这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m,（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大？面积最大值是多少？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=36,即 x+y=18,=81,当且仅当x=y=9时取等号, 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大， 为81m2,x,y,（3）已知三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？,设三角形的两条直角边为x、y,解：,则s=,xy=100,当且仅当x=y=10时取等号,当这个直角三角形的直角边都时10的时候， 两条直角边
5、的和最小为20,（4）用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 应当怎样折？,解：,设矩形的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=20,即 x+y=10,=25,当且仅当x=y=5时取等号, 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大， 为25,x,y,（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？,解：,设菜园的长和宽分别为xm，ym,则 x+2y=30,x,y,菜园的面积为s=xy=,X2y,=,当且仅当,x=2y时取等号,此时x=15，y=15/2,练习：,做一个体积为32,，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么,值时用纸最少？,解：,根据题意，有,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,由基本不等式与不等式的性质，可得,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),=8,当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4时，用纸最少为64,