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1、-谈无理方程的解法-第 4 页谈无理方程的解法宿城区中扬中学 张家旭 根号下含有未知数的方程叫无理方程。解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。 一、观察法例1、 解方程 解：无论x取什么值时，恒为正，而恒为负，矛盾。所以，此方程无解。例2、 解方程 解：根据算术根的定义，要保证有意义，必须要x3，而要使有意义，必须要使x5，这显然矛盾。所以，原方程无解。 例3
2、、解方程 解：要使有意义，x8，要使有意义，x3，显然不存在同时满足这两个条件的x值。故此方程无解。 例4、解方程 分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。所以，由观察可得其解。 解：原方程可化为 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。所以，原方程的解为x=7。 注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。 二、直接平方法 例5、解方程 解：移项得，x+2 两边平方整理得， 解得， 经检验，是增根。所以，原方程的解为x=1 。 注：
3、含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。例6、解方程 解：移项、两边平方并整理得， 两边再平方并整理得， 解得x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。所以，原方程的解为x=20。 注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。三、换元法例7、解方程 解：设 原方程可化为 解得y=6，或者y= - 1（舍去）。 所以，当y=6时，即 解得x=3，或者x=。经检验x=3，或者x=都是原方程的解。例8、解方程解：原方程可变形为 设 原方程可化为 解得 y=3，或者y= （舍去）。 所以，当y=3时，即 解得，x=5
4、 或者x= - 2。经检验 x=5， 或者x= - 2 都是原方程的解。注：若被开方式中各项的系数（或者某项系数与常数项）与不在根号内的式子中所含未知数的项的系数（或者某项系数与常数项）对应相等或者对应成比例，可考虑用换元法来解。例9、解方程 解：设 则 所以，原方程可化为 平方、整理得 解得 y=5 或者y= - 3 （舍去）。 当y=5时， 即 x=20 经检验 x=20 是原方程的解。注：利用换元法来解，避免了增根的产生。请与例6进行比较。例10、解方程 解：已知方程中x5，0 两边同除以得，（1） 设 则（2） 将（2）代入（1）得 （3） 解（3）得y= ，或者y= （舍去） 把 代
5、入（2）得 x=9 经检验，x=9是原方程的解。注：根据假设y表示算术根，若求得的 y值是负数，则应舍去，这样就避免了产生增根的可能。如： 例7、例8、例9、例10四、配方法例11、解方程 解：原方程可化为 解之得，x=3 或者x=（增根，舍去） 原方程的解为x=3 注：本题若通过平方来解，则会出现高次，这会给解题带来一定的困难。而通过拆项、添项的办法，把原方程的左边配成完全平方式，利用直接开平方的方法来解，这就比利用平方的方法来解要简单的多。五、平方公式法例12、解方程 分析：本题若采用平方法来解，较繁；用换元法来解，亦较繁，都会出现高次。根据方程中被开方式的特点，可考虑利用平方差公式来解。解： （1）已知 (2) 得 （3）（2）+（3）得 解得 x= - 6 或者x=1检验 x= - 6 或者x=1 是原方程的解。六、利用互为倒数关系来解例13、解方程 解：与互为倒数， 又 2与 亦互为倒数 可令=2 或者= 从而解得 x=2 或者x= - 3 x= - 3是增根 原方程的解为x=2七、利用分母有理化来解例14、解方程 分析：这个方程的特点是左边两个式子的分母是共轭根式，利用分母有理化即可把分母中的根号化去。解：把原方程分母有理化，得 易得x=1经检验x=1就是原方程的根。 邮 编：223800 电 话：052784946162 （单位） 052784946143 （住宅）