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1、关于二次根式例题讲解现在学习的是第1页，共22页体系建构体系建构二次根式二次根式二次根式的概念二次根式的概念二次根式的性质二次根式的性质二次根式的运算二次根式的运算本章知识结构图本章知识结构图现在学习的是第2页，共22页知识梳理知识梳理知识点知识点 1与二次根式有关的概念：与二次根式有关的概念：（1）二次根式的定义：）二次根式的定义：一般地，我们把形如一般地，我们把形如 （a0） 的式子叫做二次根式，的式子叫做二次根式，“ ”“ ”称为二次根号称为二次根号.（2）最简二次根式：）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式叫做最简二次根式. 被开方数
2、不含分母；被开方数不含分母； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式被开方数不含能开得尽方的因数或因式.（3）同类二次根式：）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根几个二次根式化简成最简二次根 式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式做同类二次根式.a现在学习的是第3页，共22页知识梳理知识梳理知识点知识点 2二次根式的性质：二次根式的性质：（1）二次根式的双重非负性：）二次根式的双重非负性：a0 且且 0.（2） （a0）（3）aaa2)(aaaa2（a0）（a0）点拨：点拨： 与与 的区别与联系的区别与联系. 呈现方式相近，呈现方
3、式相近， 所含意义不同；所含意义不同； 取值范围有别，取值范围有别， 运算顺序相反；运算顺序相反； 运算结果虽不同，结果都是非负数运算结果虽不同，结果都是非负数. .2)( a2a现在学习的是第4页，共22页知识点知识点 3二次根式的化简和运算：二次根式的化简和运算：（1）二次根式的乘除）二次根式的乘除 二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则： 积的算术平方根的性质：积的算术平方根的性质：二次根式的除法法则：二次根式的除法法则： 商的算术平方根的性质：商的算术平方根的性质：（2）二次根式的加减：）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简先把所有二次根式化简为最简 二次根式，再合并同类二次根式
4、二次根式，再合并同类二次根式.知识梳理知识梳理)00(baabba，)00(babaab，)00(，bababa)00(，bababa现在学习的是第5页，共22页知识梳理知识梳理本章概述本章概述（一）本章的重点、难点：（一）本章的重点、难点： 重点：二次根式的概念和运算；重点：二次根式的概念和运算； 难点：二次根式的概念和运算难点：二次根式的概念和运算.（二）本章的易错点：（二）本章的易错点： 1. 对二次根式有意义的条件的理解；对二次根式有意义的条件的理解； 2. 二次根式的化简；二次根式的化简； 3. 二次根式的运算：二次根式的运算： （1）忽视运算顺序；）忽视运算顺序； （2）混淆运算法
5、则）混淆运算法则.现在学习的是第6页，共22页典例剖析典例剖析例例 1完成下列各个问题：完成下列各个问题：（1）使二次根式）使二次根式 有意义的有意义的 x 的取值范围的取值范围 是是 ；（2）函数）函数 的自变量的自变量 x 的取值范围的取值范围 是是 . 14 xx0.2513xxyx-3 且且 x1v考点解析：考点解析： 1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；二次根式有意义的条件：被开方数为非负数； 2.分式有意义的条件：分母不等于分式有意义的条件：分母不等于 0.现在学习的是第7页，共22页典例剖析典例剖析例例 2完成下列各个问题：完成下列各个问题：（1）已知）已知 ， 则则 ；
6、02)3(2yyx1 yxv考点解析：考点解析： 1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式；三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式； 2.几个非负数之和为几个非负数之和为 0，则每个非负数都为，则每个非负数都为 0.现在学习的是第8页，共22页典例剖析典例剖析例例 2完成下列各个问题：完成下列各个问题：（2）当）当 x 取何值时，取何值时， 的值最小？的值最小？319x解：解： 0 当当 时，时， 的值最小的值最小 解得解得 即当即当 时，时， 的值最小的值最小19 x019x319x91x91x319xv考点解析：考点解析： 二次根式的值为非负数二次根式的值为非负数.现在学习的是第9页
7、，共22页典例剖析典例剖析例例 2完成下列各个问题：完成下列各个问题：（3）若）若 a1，化简式子，化简式子 的结果是（的结果是（ ） A. B. C. D.1) 1(2a2aa2aaDv考点解析：考点解析： 二次根式的性质：二次根式的性质：aaaa2（a0）（a0）现在学习的是第10页，共22页典例剖析典例剖析例例 3化简：化简：（1） ；（2） ；（3） . 212297134ba35 . 0aba22v考点解析：考点解析： 1.商的算术平方根的性质；商的算术平方根的性质； 2.最简二次根式的条件最简二次根式的条件. 简记：（如下图）简记：（如下图）最简二次根式最简二次根式根号内根号内有分
8、母有分母要化去要化去因式中因式中能开尽能开尽要外移要外移现在学习的是第11页，共22页典例剖析典例剖析例例 4计算下列各题：计算下列各题：（1）（2）31233233v考点解析：考点解析： 1.二次根式的加减法运算步骤：二次根式的加减法运算步骤： 先化简先化简再分类再分类后合并后合并 2.二次根式的乘除法运算步骤：先整合二次根式的乘除法运算步骤：先整合再约分再约分5 . 3415211724212374222134923现在学习的是第12页，共22页典例剖析典例剖析例例 4计算下列各题：计算下列各题：（3）)22)(12(222222另解：原式另解：原式) 12(2) 12(1)2(2222v
9、考点解析：考点解析： 巧用乘法公式、因式分解及运算律巧用乘法公式、因式分解及运算律现在学习的是第13页，共22页典例剖析典例剖析例例 4计算下列各题：计算下列各题：（4）2412213486212213486261664v考点解析：考点解析： 混合运算步骤：混合运算步骤： 运算顺序运算顺序 运算法则运算法则 运算结果运算结果现在学习的是第14页，共22页王牌例题王牌例题例例 1二次根式的大小比较问题二次根式的大小比较问题 （请在横线上填写（请在横线上填写“”、“”或或“”） （1） ； （2） ； （3） .11253v考点解析：考点解析： 巧用二次根式比较大小的方法：巧用二次根式比较大小的方
10、法： （1）外因内移法；（）外因内移法；（2）平方法；（）平方法；（3）求差法）求差法.713 317 215 21现在学习的是第15页，共22页王牌例题王牌例题例例 1 拓展延伸拓展延伸如图，在一块正方形如图，在一块正方形 ABCD 的顶的顶点点 A 处，有一只兔子，在边处，有一只兔子，在边 AB 的中点的中点 E 处有一只狼，处有一只狼，如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动，如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动，假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到达达 C 处？处？AEBCDv解析：解析： 比较比较 AC 和和
11、 BEBC 的大小的大小aaaa20.5a现在学习的是第16页，共22页王牌例题王牌例题例例 2二次根式的化简求值问题二次根式的化简求值问题 已知已知 ， ， 求式子求式子 的值的值.223x223y22xyyx解：解： ， 223x223y)223)(223(xy22)22(3 1)223()223( yx2232232424)(22yxxyxyyx现在学习的是第17页，共22页王牌例题王牌例题例例 2二次根式的化简求值问题二次根式的化简求值问题 已知已知 ， ， 求式子求式子 的值的值.223x223y22xyyxv考点解析：考点解析： 化简求值步骤化简求值步骤先化简先化简再求值再求值化简
12、所求式化简所求式化简已知式化简已知式整体代入整体代入现在学习的是第18页，共22页王牌例题王牌例题例例 3阅读理解，探索问题阅读理解，探索问题阅读材料：阅读材料： 小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如成另一个式子的平方，如 ，善于思考的，善于思考的小明进行以下探索：小明进行以下探索： 设设 （其中（其中 a、b、m、n 均为正整均为正整数），则有数），则有 ， ， . . 这样小明就找到了一种把这样小明就找到了一种把部分部分 式子化为平方式的方法式子化为平方式的方法. . 请你按照小明的方法探索并解决下列问题：请你按
13、照小明的方法探索并解决下列问题：2)21 (2232)2(2nmba222222mnnmba222nmamnb22ba现在学习的是第19页，共22页王牌例题王牌例题例例 3解决问题解决问题设设则有则有 ，2)2(2nmba222222mnnmba222nmamnb2（1）当）当 a、b、m、n 均为正整数时，若均为正整数时，若 ，用含，用含 m、n 的式子表示的式子表示 a、 b，则，则 a ，b ；2)3(3nmbam23n22mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：填空： （ ）2；33（3）若）若 ，求，求 a 和和 n 的值的值.2)33(312na解：解：b12，m3根据题意，得根据题意，得nna612392解得解得221na现在学习的是第20页，共22页王牌例题王牌例题例例 3阅读理解，探索问题阅读理解，探索问题v考点解析：考点解析： 阅读理解思维过程阅读理解思维过程阅读阅读关键关键理解理解核心核心应用应用目的目的例例 3 拓展延伸、课下思考拓展延伸、课下思考若若 ，且且 a、m、n 均为正整数，求均为正整数，求 a 的值的值. 2)5(54nma现在学习的是第21页，共22页2022-9-2感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第22页，共22页