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1、关于利用定积分求简单几何体的体积现在学习的是第1页，共11页（一）、复习：（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析（二）新课探析 yf xx问题：问题：求求函数函数，x=a,x=bx=a,x=b围成的平面图形围成的平面图形绕绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积轴旋转一周所得到的几何体的体积。现在学习的是第2页，共11页 设由曲线yf(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形(如图甲绕绕x轴旋转一周轴旋转一周所得旋转体的体积为
2、V.思考： 1简单几何体的体积计算现在学习的是第3页，共11页 在区间a，b内插入n1个分点，使ax0 x1x2xn1xn1，把曲线yf(x)，axb分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示设第i个“小长条”的宽是xixixi1，i1,2，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yif(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vif2(xi)xi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和 Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn 这个问题是积分问题，则有现在学习的是第4页，共11页 (1
3、)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数 (2)分清端点 (3)确定几何体的构造 (4)利用定积分进行体积表示2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3一个以y轴为中心轴的旋转体轴为中心轴的旋转体的体积 yabox)(ygx现在学习的是第5页，共11页例例1、求由曲线求由曲线142 xxy,所围成的图形绕所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。轴旋转所得旋转体的体积。 例题研究例题研究 2410 dxxVxyox=1xy42 现在学习的是第6页，共11页xye0 x 12x xx)(12e变式练习变式练习1 1、求曲线求曲线，直线，直线， 与与轴围成的平面图形绕轴围
4、成的平面图形绕轴旋转一周所得旋轴旋转一周所得旋转转体的体积。体的体积。答案：答案：例例2 2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。现在学习的是第7页，共11页分析：分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程，和抛物线方
5、程， “冰冰激凌激凌”可看成是由抛物线弧可看成是由抛物线弧OB和线段和线段AB绕绕X轴轴旋转一周形成的。旋转一周形成的。 ),(012A),( 44Bpxy22解：解：将其轴截面按下图位置放将其轴截面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：所在的抛物线方程为：， 现在学习的是第8页，共11页),( 44B2pxy420y代入代入求得：求得：抛物线方程为：抛物线方程为：（）12 qyx),( 44B2q621xy设直线设直线ABAB的方程为：的方程为：，代入，代入求得：求得：直线直线ABAB的方程为：的方程为：所求所求“
6、冰激凌冰激凌”的体积为：的体积为： 3401242232246212)()()(cmdxxdxx现在学习的是第9页，共11页变式引申变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中双曲线的一部分绕其中轴轴(双曲线的虚轴双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中旋转所成的曲面，其中A,A是双曲线的顶点，是双曲线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是下底直径的两个是下底直径的两个端点，已知端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐标系，并写出该曲线方程建立坐标系，并写出该曲线方程(2)求冷却塔的容积（精确到求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，塔壁厚度不计， 取取3.14）22xy114998( )8822121212 Vx dyy49 dy2( )()现在学习的是第10页，共11页感谢大家观看感谢大家观看9/2/2022现在学习的是第11页，共11页