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1、关于函数的定义域值域及其性质现在学习的是第1页，共32页一一.函数的定义域和值域函数的定义域和值域二二.函数的一些主要性质函数的一些主要性质 现在学习的是第2页，共32页函数的定义域和值域函数的定义域和值域)(xfy 作用：作用：定义域是研究函数的基础，在讨论函数的性定义域是研究函数的基础，在讨论函数的性质、作图、解方程和不等式、构造复合函数等问题质、作图、解方程和不等式、构造复合函数等问题中都起着重要的作用。中都起着重要的作用。定义：定义： 函数的定义域就是使函数式有意义的实数函数的定义域就是使函数式有意义的实数x的集合，而的集合，而函数的值域就是在函数函数的值域就是在函数 中，与自变量中，
2、与自变量x的值的值对应的对应的y值的集合。值的集合。定义域定义域现在学习的是第3页，共32页确定定义域的原则确定定义域的原则（1）当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示自变当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示自变量的实数的集合；量的实数的集合；（2）当函数用图像给出时，函数定义与食指图像在当函数用图像给出时，函数定义与食指图像在x轴上的投影轴上的投影所覆盖的实数集合；所覆盖的实数集合；（3）当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式有意义当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式有意义的实数的实数x的集合；的集合；（4）当函数有实际问题给出时，函数定义域是由实际问题的当函
3、数有实际问题给出时，函数定义域是由实际问题的一一确定。一一确定。现在学习的是第4页，共32页确定初等函数定义域的依据确定初等函数定义域的依据（1）若若f（x）是整式，则定义域为全体实数；）是整式，则定义域为全体实数；（2）若若f（x）是分式，则定义域为使分母不为零的全体）是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；实数；（3）若若f（x）是偶次根式，则定义域为使被开方式为非）是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；负的全体实数；（4）函数函数 的定义域是的定义域是（-，0）（0，）。）。某些复合函数的定义域的确定原则0)(xxf现在学习的是第5页，共32页值域值域定义定义：在函数：在函
4、数y=f（x）中，与自变量）中，与自变量x的值对应的的值对应的y值叫做函数值，值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数值的集合叫做函数的值域。确定函数值域的原则：确定函数值域的原则：（1）当函数当函数y=f（x）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的的集合；集合；（2）当函数当函数y=f（x）用图像给出时，函数的值域是指图像在）用图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影轴上的投影所覆盖的实数所覆盖的实数y的集合；的集合；（3）当函数当函数y=f（x）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法
5、则唯一确定；及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。现在学习的是第6页，共32页求函数值域的常用方法求函数值域的常用方法 图像法图像法配方法配方法反函数法反函数法判别式法判别式法 换元法换元法求导法求导法数形结合法数形结合法单调性法单调性法不等式法不等式法现在学习的是第7页，共32页图像法：图像法：通过画出函数的图像从而得出函数的值域。通过画出函数的图像从而得出函数的值域。例例1. 求函数求函数 的值域。的值域。21)(xxxf3)2( , 12)21( , 3) 1( , 12)(122; 3
6、,21; 121. 2, 121yyxxxxxxfxyxyxxyxxxxxy函数的值域为作出图像，如图，所以时，当时当时，当的零点是解：函数现在学习的是第8页，共32页例2：求函数 的值域。2234xxy4,2431.21,41)-(x-4y3.x1-,023maxmin22函数值域为时，或当时，当得解：由yxyxxx配方法配方法：是求：是求“二次型函数二次型函数”值域的基本方法，形如值域的基本方法，形如 的函数值域问题，均可用配方法。的函数值域问题，均可用配方法。cxbfxafxF)()()(2现在学习的是第9页，共32页反函数法：反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆利用函数和
7、它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如 的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用值域也可使用“分离常数法分离常数法”求解。求解。)0(,abaxdcxy例例3：求函数求函数 的值域。的值域。521xxyRyyyyyyxxxxy且所以，函数的值域为因为，得解出由解法一：（反函数法）,21, 0121251521现在学习的是第10页，共32页2105227,522721yxxy且）解法二：（分离常数法判别式法：判别式法：把函数转化成
8、关于把函数转化成关于x的二次方程的二次方程F（x，y）=0，通过方程有实根，判别式通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域。形如，从而求得原函数的值域。形如 的函数值域常用此方法求解。的函数值域常用此方法求解。前提条件：（前提条件：（1）函数的定义域为）函数的定义域为R，（，（2）分子分母没有公因）分子分母没有公因式。式。不同时为零）2122221121,(,aacxbxacxbxay现在学习的是第11页，共32页例例4：求函数求函数 的值域。的值域。432xxy。，综上，函数的值域为得因为方程有实根，所以时，当时，当得解：由43434343,00,00,0434322yyxyyxyxx
9、xy现在学习的是第12页，共32页 换元法：换元法：运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而易确定的另一函数，从而 求的原函数的值域，形如求的原函数的值域，形如 的函数常用此法求解。的函数常用此法求解。)0,( ,adcbadcxbaxy均为常数，且例例5：求下列函数的值域。求下列函数的值域。21)2(,212)1(xxyxxy45(,45832145)21(121),0(21)1(max222，函数值域为无最小值。时，即当则令代数换元解：yxttttytxtxt现在学习的是第13页，共32页2 ,121, 1)4sin(224
10、344,22)4sin(2cossin122,sin,11)2(2，函数的值域为化为则设函数的定义域是三角换元yttttttyxxyttxxx现在学习的是第14页，共32页不等式法：不等式法：利用基本不等式利用基本不等式 ： 求函数的值域。用此法时要注意均值不等式的使用条件求函数的值域。用此法时要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”。),( ,2Rbaabba例例6:求函数求函数 的值域。的值域。)0(,132xxxxy)0,3,0301133, 111,21)0(,113132故函数值域为即则解：yxxxxxxxxxxxxy现在学习的是第15页，共32页单调性法：
11、单调性法：根据函数在定义域（或定义域的某个子集）根据函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性求出函数值域。上的单调性求出函数值域。例例7：求函数求函数 的值域。的值域。4522xxy).,252521221, 24414222函数的值域为时为增函数。在但是故不能使用不等式法，令解：ytttyxtxxy现在学习的是第16页，共32页求导法：求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。数求最值。例例8：函数函数 在闭区间在闭区间-3,0上的最大值和最小上的最大值和最小值分别（）。值分别（）。A 1 ，-1 B 1 ，-17 C 3 ，-17 D 9
12、 ，-1913)(3xxxf.17)(171)0(,17) 3(3) 1()(1. 0)(0 , 1, 0)( 1, 3. 1, 0)(, 33)(2Cxffffxfxxfxfxxfxxf故选的最小值为又取最大值时，在上，在区间（上，在区间解得令解析：现在学习的是第17页，共32页数形结合法：数形结合法：当一个函数图象可做时，通过图像可求其值域和当一个函数图象可做时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域。的值域。例例9：求函数求函数 的值域。的值域。4cos21sin4xxy6523.23,6
13、5,6523125,43,11412,0412),2(41.222)sin,cos14122cos)41(sin2)2(cos2)41(sin41minmax21222，函数值域为即解得令即的直线方程为设过点倍，由下图知所连线段的斜率的点（上的）与圆，（可看作单位圆外一点：解法yyykkkkkykxxkyPKyKyxPxxxxyPTPQ现在学习的是第18页，共32页65236523015812, 1416141)sin(41614)sin(14sin4cos2,4cos21sin42222，函数值域为平方整理得：解法yyyyyxyyxyxxyRxxxy现在学习的是第19页，共32页函数的一些主
14、要性质函数的一些主要性质单调性单调性最大（小）值最大（小）值奇偶性奇偶性周期性周期性现在学习的是第20页，共32页 单调性：单调性：给定区间给定区间D上的函数上的函数f（x），若对于任意的），若对于任意的 则则f（x）为区间）为区间D上上的增函的增函 数。对于任意的数。对于任意的 则则f（x）为区间）为区间D上的减函数。上的减函数。)()(,212121xfxfxxDxx时，都有当),()(,212121xfxfxxDxx时，都有当证明单调性的步骤：证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明。导数证明。（1）利用定义：任取）利用定
15、义：任取 做差做差 并适当并适当变形依据差式的符号确定其增减性。变形依据差式的符号确定其增减性。（2）设函数）设函数y=f（x）在某区间内可导。）在某区间内可导。如果如果 ，则，则f（x）为增函数，如果）为增函数，如果 ，则，则f（x）为减函数。为减函数。2121,xxDxx且),()(21xfxf0)( xf0)( xf现在学习的是第21页，共32页单调性的有关结论：单调性的有关结论：1.若若f（x），），g（x）均为增（减）函数，则）均为增（减）函数，则f（x）+g（x）为增（减）为增（减）函数。函数。2.若若f（x）为增（减）函数，则）为增（减）函数，则-f（x）为减（增）函数。）为减（
16、增）函数。3.互为反函数的两个函数有相同的单调性。互为反函数的两个函数有相同的单调性。4.y=fg（x）是定义在是定义在M上的函数，若上的函数，若f（x）与）与g（x）的单调性相同，）的单调性相同，则其复合函数则其复合函数fg（x）为增函数；若为增函数；若f（x）与）与 g（x）的单调性相反，）的单调性相反，则其复合函数则其复合函数fg（x）为减函数。为减函数。5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。关于原点对称的两个区间上的单调性相反。现在学习的是第22页，共32页函数单调性的应用：
17、函数单调性的应用：（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小。小。（2）求某些函数的值域或最值。）求某些函数的值域或最值。（3）解证不等式。）解证不等式。（4）作函数图象）作函数图象现在学习的是第23页，共32页例例1：讨论函数讨论函数 的单调性。的单调性。)0( ,)(axaxxf上为减函数。分别在上为增函数；，分别在（是奇函数上是增函数。在故则时，恒有当上是减函数。在故则时，恒有当则设）上的单调性。，在（为奇函数，所以先讨论且且定义域为解：,0(),0,)(),)()(),)(0)()(10,0()(0)()(10)1)()()(,0
18、0)()()()()(0,)0(,)(212121212112212122112121aaxfaaxfxfaxfxfxfxxaaxxaxfxfxfxxaaxxxxaxxxaxxaxxfxfxxxfxfxfxaxxaxxfxRxxaxaxxf现在学习的是第24页，共32页为分界点。从而知以或知，或在同一区间上，故由且由于的符号，本题关键是判断aaaxxxxaxxxxxxaxxxfxf),()0(01, 0)1)()()(. 1212121212121212.当当f(x)的表达式为多项式，分式，根式，对数式的表达式为多项式，分式，根式，对数式时，时，适合作差比较，作差后多项式合并同次项，分式同分，
19、适合作差比较，作差后多项式合并同次项，分式同分，根式有理化，对数式运用运算法则等；根式有理化，对数式运用运算法则等；f(x)是指数式，是指数式，积式等有时作商比较。积式等有时作商比较。注意：注意：现在学习的是第25页，共32页最大（小）值最大（小）值一般地，设函数一般地，设函数y= f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：对于任意的对于任意的xI,都有都有f(x) M(或或f(x) M);存在存在 I,使得使得f( )=M。那么，我们称那么，我们称M是函数是函数y= f(x)的最大（或小）值。的最大（或小）值。0 x0 x求法：求法：（1）配方法（）配方法（2）
20、判别式法（）判别式法（3）基本不等式法）基本不等式法（4）换元法（）换元法（5）数形结合法（）数形结合法（6）单调性法）单调性法现在学习的是第26页，共32页奇偶性奇偶性 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x，都有，都有f(-x)= - f(x) （或（或f(-x)=f(x)）,那么函数那么函数f(x)叫做奇叫做奇(偶偶)函数。函数。注意：注意：奇函数的图像关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称。轴对称。如果如果f(x)是定义域是定义域D上的奇函数，那么任意上的奇函数，那么任意xD,f(-x)=-f(x
21、)恒成立，如果恒成立，如果f(x)是定义域是定义域D上的偶函数，那么任意上的偶函数，那么任意xD，f(-x)=f(x)恒成立。恒成立。其中其中定义域定义域D一定是关于原点对称的。一定是关于原点对称的。分类：分类：奇函数，偶函数，既奇又偶，非奇非偶奇函数，偶函数，既奇又偶，非奇非偶常见结论：常见结论：.两个奇（偶）函数的代数和仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的代数和仍是奇（偶）函数；.两个奇（偶）函数的积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积是奇两个奇（偶）函数的积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；函数；现在学习的是第27页，共32页.如果奇函数的反函数存在，且定义在对称与原点的数如
22、果奇函数的反函数存在，且定义在对称与原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数；集上，那么这个反函数也是奇函数；.奇（偶）函数的倒数函数（分母不为零）仍为奇奇（偶）函数的倒数函数（分母不为零）仍为奇（偶）函数；（偶）函数；.设函数设函数y=fg（x）是函数是函数y=f（u）和）和u=g（x）的复）的复合函数，定义在对称与原点的数集合函数，定义在对称与原点的数集S上，上，若若g（x）是奇函数，则当）是奇函数，则当f（u）是奇（偶）函数时，）是奇（偶）函数时，复合函数复合函数y=fg（x）是奇（偶）函数；是奇（偶）函数；若若g（x）是偶函数，则不论）是偶函数，则不论f（u）是奇或偶函数，复）是奇或偶函
23、数，复合函数合函数y=fg（x）是偶函数。是偶函数。现在学习的是第28页，共32页例例2.已知函数已知函数y=f（x）是奇函数，）是奇函数，y=g（x）是偶函数，且对）是偶函数，且对于定义域内的任一于定义域内的任一x都有都有f（x）-g（x）= ，求，求f（x）与与g（x）的解析式。）的解析式。xx22解：用解：用-x代替代替x得，得， f（-x）-g（-x）=因为因为y=f（x）是奇函数，）是奇函数，y=g（x）是偶函数，）是偶函数，所以所以f（x）+g（x）=它与它与f（x）-g（x）= 联立得，联立得，f（x）=-2x， g（x）=xx2)(2xx2)(22x解析：方程的思想解析：方程的
24、思想运用方程观点看问题，就是将问题转化为方程问运用方程观点看问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的。题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的。xx22现在学习的是第29页，共32页周期性：周期性：对于函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,使得当使得当x取取定义域内的每一个值时，都有定义域内的每一个值时，都有f ( x + T) = f(x),那么那么f(x)就叫就叫做周期函数。做周期函数。T叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。k T（kZ, k0）也）也是是f(x)的周期，即有的周期，即有f(x + k T)=f(x)。 例例3
25、.已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f（x）满足）满足f（x+2）=-f（x）求）求f（2008）。）。分析：由分析：由f（-x）=- f（x）及）及f（x+2）=-f（x）可得周期。）可得周期。现在学习的是第30页，共32页解：解：f（x+2）=-f（x）f（x+4）=-f（x+2） f（x+4）=f（x） f（x）是周期函数，且周期为）是周期函数，且周期为4 f（2008）=f（4502）=f（0）又又f（x）是）是R上的奇函数，上的奇函数， 所以所以f（-x）=- f（x）f（0）=- f（0） f（0）=0f（2008）=0现在学习的是第31页，共32页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第32页，共32页