《2022年渡轮航行路线的设计by王自伟-何庆明-张兴强 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年渡轮航行路线的设计by王自伟-何庆明-张兴强 .docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 渡轮航行路线的设计摘 要我国是世界上的一个多河流国家,为了便利河流两岸人民的出行,渡轮成了交通 的一个重要组成部分；本文以我国东部地区某市为例,采纳数学分析方法建立了一系 列数学模型来规划和设计渡轮的航行路线；对于问题一,考虑河水流速以及渡轮在静水中的速度在整个航行过程中保持不变,本文以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为X 轴、以河流的水流方向为Y 轴建立恰当的直角坐标系,对渡轮航行的路线关于时间建立多元微分方程组,再运用三角 函数的几何意义对方程组进行化简,得出了初步的微分方程组模型,并由此建立了模型一；使用 MATLAB 编程求解,在得不出
2、解析解的情形下采纳 4 阶 Runge-Kutta 算法 求解微分方程组的数值解； 得出了渡轮的航行路线图 下见图 4,以及在 X 轴方向、Y 轴方向上的分位移关于时间的响应曲线下见图5；并分析数据后求得在该航行路线下所花费的时间t666.7 s,合 11 分钟 6.7 秒；对于问题二,本文在问题一的基础上适当地转变坐标轴,以及各个码头的坐标；以北岸码头 2 为原点,以北岸码头 2 与南岸码头 2 的连线为 X 轴,以沿北岸码头 1 向 北岸码头 2 方向的射线为 Y 轴,建立平面直角坐标系,实就是在模型一的基础上修改微分方程组的初值, 化简后得到新的微分方程组模型,并由此建立了模型二； 相同
3、地,使用 MATLAB 编程,在得不出解析解的情形下采纳 4 阶 Runge-Kutta 算法求其的数值解；得出了渡轮的航行路线图下见图6,以及在 X 轴方向、 Y 轴方向上的分位移关于时间的响应曲线下见图7；分析数据后可知在该路线下所花时间,合10 分钟38.6 秒；对于问题三,本文在问题一和问题二的分析基础上,依据实际生活中河水流速不匀称分布的条件限制, 先使用 MATLAB 拟合出河水流速关于距北岸距离的曲线方程：2v 1 x 0.000003 x 0.003021 x 0.733095；并由此修正模型一和模型二的微分方程组,得出模型三；同时修改微分方程组,并用 MATLAB 求数值解；
4、依据求解结果,本文设计渡轮在该情形下的航行路线图 608s；关键词：MATLAB 微分方程组 Runge-Kutta 算法 数据拟合 小船过河1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、问题重述某市有一条东西向的河流穿越市区,为便利两岸市民出行,设置了渡轮来回于南北岸间；如图 1 所示,南岸码头正对着北岸码头,河床宽度大约为d1000米；请你们通过建立数学模型,解决以下问题：1、假定河水流速1v ,渡轮在静水中的速度2v ,在整个航行过程中它们保持不变,试设计一条渡轮航行路线, 使得依据这条路线行驶从南岸码头动身正好
5、能够到达北岸码头或者从北岸码头动身正好能够到达南岸码头；当v 11 m s,v 22 m s ,时,画出航行路线图,并运算出依据这条路线行驶所需的渡河时间；2、为缩短乘客航行时间,打算增设南岸码头和北岸码头各一个,如图 2 所示；从北岸到南岸的乘客在北岸码头 1 登船,到南岸码头 2 下船；而从南岸到北岸的乘客在南岸码头 1 登船,到北岸码头 2 下船；假如同一岸的两个码头间距设计为 500 米,当 v 1 1 m s,v 2 2 m s ,时,画出航行路线图,并运算出依据这条路线行驶所需的渡河时间,与问题 1 进行比较；3、下表 1 中是测出的水流速沿离北岸边距离的分布,在 v 2 2 m
6、s的情形下,重新解决问题 1 和问题 2；北岸码头水流方向北岸码头1 水流方向北岸码头 2 1000m1000m南岸码头 2 南岸码头南岸码头 1 图 1表 1 水流速沿离北岸边距离的分布图 2编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 离北岸边距离米100 200 300 400 500 600 700 800 900 河水流速米 /秒2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、问题分析依据问题重述,可知这实质上是求曲线轨迹的微分方程问题；问题一对于问题一,为了便利我们更加清楚的剖析问题以及解决问题,我们对问题重述的图
7、一做了适当旋转,以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为 X 轴、以河流的水流方向为 Y 轴建立恰当的直角坐标系；由于船速与水速都是固定值,打算渡轮运动轨迹的只有船头指向；依据生活实际,我们做出合理假设：渡轮在任意时刻的船头始终指向北岸码头； 由此得出渡轮运动时任一点的坐标,与其行驶方向同X 轴的夹角的三角函数关系；然后通过对渡轮行驶途中的任意一时刻做运动分析,我们很简洁就能得到一组任一点的分速度对时间的微分方程组；运用 轨迹方程,并求出行驶时间；问题二MATLAB编程,便可得到渡轮运行的对于问题二,我们在问题一的基础上做适当的修改,以北岸码头 2 为原点,以北 岸码头 2 与南岸码头 2 的连线
8、为 X 轴,以沿北岸码头 1 向北岸码头 2 方向的射线为 Y 轴,重新建立平面直角坐标系；然后做和问题一相同的处理：即依据渡轮运动时任一点的坐标, 与其行驶方向同X 轴的夹角的三角函数关系, 以及任意一点分速度关于时间的微分,得出新的微分方程组；相同地,使用MATLAB编程,便可得出渡轮的部分航行路线图,并得出航行时间；问题三对于问题三,考虑到实际生活中河水的流速并不是匀称分布的,我们可以先通过问题重述中给出的水流速度的测量数据做二次拟合,得到水速分布的曲线方程；再将得到的曲线方程看做一个整体分别替代问题一,问题二中的水速；然后用前面所述方法列出微分方程；并运用 所花费的时间；MATLAB编
9、程,并求解分析；便可得出渡轮行驶的路线以及3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、模型假设（1） 假设不计渡轮本身长度；（2） 假设渡轮速度恒为 v ；（3） 假设不运算渡轮启动终止时间；（4） 假设渡轮航行过程中畅通无阻；（5） 假设河水流速数据符合某拟合函数；（6） 假设渡轮、河水流速不受风等天气因素影响；四、符号说明符号 含义A 南岸码头 1B 北岸码头 1C 南岸码头 2 D 北岸码头 2 d 南北岸的河床宽度S 同一侧的两个码头的距离x X 轴方向x t 渡轮在 x方向上的位移x t 渡轮在 x方向上的
10、速度y Y 轴方向y t 渡轮在 y 方向上的位移y t 渡轮在 y 方向上的速度4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1v 河水流速1v x 河水流速关于 x方向上位移函数2v 渡轮在静水中的速度v合 渡轮行驶时的合速度t 渡轮行驶的某个时刻t 渡轮在同一侧的两个码头间逆行所用时间t总 渡轮航行所用的总时间渡轮船头朝向与 x 轴夹角五、模型的建立和求解模型一的建立以北岸码头为原点,以沿北岸码头指向南岸码头的射线为方向的射线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图3 所示：图 3x 轴,沿北岸码头向东设渡轮由南岸码头 A
11、 点动身,驶向北岸码头 B 点；在 t 时刻,渡轮在 x方 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 向上的位移为 x t ,在 y 方向上的位移为 y t ；故渡轮在 x 方向上的速度为 x t ,在y 方向上的速度为y t ；x轴的夹角为,故将水速1v 与船速2v 分解后有：再设渡轮的船头朝向与水平xtv 2cosytv 1v 2sin又由于渡轮运行时船头始终朝向北岸码头B 点,所以有：当t0cosx0xy00；x2y2sinyx22 y时,渡轮仍在南岸码头,故1000,综合上述条件,可得微分方程组：将v 11 m
12、 s,v 2dxv xdtx2y2dyv 1v yy2dtx2x01000y002 m s带入微分方程求解即可；5.1.2 模型一的求解利用 MATLAB 编写程序, 发觉无法得出解析解, 故实行 4 阶 Runge-Kutta 算法求其数值解；在建立的文件,加入normx1e-5的限制条件,以保证渡轮在离北岸码头 B 点足够近的时候可以终止运算；求解后得出在水速 v 1 1 m s 、船速v 2 2 m s 下,渡轮从南岸码头驶向北岸码头的运行路线如图 4,以及 x, y 关于时间 t 的响应曲线图如图 5：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 -
13、 - - - - - - - - 图 4 图 5由数值解法可知依据这条路线行驶所需要的渡河时间t666.7 s,合 11 分钟 6.7秒；模型的建立和求解.1 模型二的建立与模型一不同,在模型二中我们以北岸码头2D 点,下同为原点,以沿北岸码头 2 指向南岸码头 2C 点的射线为 x轴,沿北岸码头 1B 点向北岸码头 2 方 向的射线为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图 6 所示：图 6 设渡轮由南岸码头1A 点动身,驶向北岸码头2D 点；在 t 时刻,渡轮在 x方向上的位移为 x t ,在y方向上的位移为y t ；故渡轮在 x方向上的速度为 x t ,7 名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 y 方向上的速度为y t ；与模型一相像,渡轮的船头朝向与水平x 轴的夹角为,渡轮运行时船头始终朝向北岸码头2D 点,故有与模型一相同的方程组：xtv2cos,cosxy2t0时,渡轮仍在x2ytv 1v2sinsiny2 yx2与模型一相比, A 点坐标的变化,使得初值条件发生转变：当南岸码头 1A 点,故x01000,y0500；综合上述条件,可得微分方程组：dxv x1,dtx2y2dyv 1v yy2dtx2x01000y0500将v 11 m s,v 22 m s 带入微分方程求解即可；但是,值得考虑的
15、是：当小船到达北岸码头2 后,需要逆水行驶到北岸码头才能实现二次利用,该过程中小船速度和水流速度在同一条水平线上,故它们的合速度 v合 保持恒定,且v 合v 2v 1,时间tS,即可求出；v合5.2.2 模型二的求解利用 MATLAB编程,与模型一相同,无法得出解析解,实行4 阶 Runge-Kutta算法求其数值解；在建立的文件中做与模型一一样的要求；求解后得出在水速v 1 1 m s、船速 v 2 2 m s 下,渡轮从南岸码头 1 动身,驶向北岸码头 2 的运行路线如图 7,以及 x, y 关于时间的响应曲线图如图 8：8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页
16、精选学习资料 - - - - - - - - - 图 7 图 8 由数值解法可知依据这条路线行驶,乘客从南岸到北岸所需要的渡河时间t578.7 s；渡轮到达后, 从北岸码头 2 逆水行驶到北岸码头1,该过程中合速度 v合 保持恒定,且tt 总v 合v 2v 12 1 m s1 m s,时间tS=500m500 s；v 合1 m s综上可知,利用模型二方案,乘客从南岸码头1 到北岸码头2 需要花费时间578.6 s ,合秒 ；渡 轮 从南岸码头1 到北岸码头1 总共需要花费的时间为= tt1078.6 s；5.2.3 模型一与模型二的比较模型一经过适当的修改, 例如 A点的坐标及微分方程的初值,
17、 便可以得到模型二,两个模型的本质及算法是相同的；就两岸人民出行目的而言,模型二下渡轮的航行路线虽然长,但其所花费时间更少,更符合人们的实际生活需求；但渡轮在到达北岸码头 2 后,需逆水行驶到北岸码头1 才能执行下一趟任务,这样花费的时间和资源将会更多,而模型一就没有这个缺陷；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 河水流速的拟合在实际生活中,河水中水流的速度并不会匀称分布；依据表 1 中测出的水流速度沿离北岸边距离的分布数据, 利用 MATLAB 拟合出水流速度 关系曲线,如以下图 9：图 9 1v 关于离北岸的距
18、离 x的由于使用 MATLAB 拟合出的水速分布的曲线方程的二次项系数很小,故将数据 表示改为长整型,并保留六位小数,使得二次项系数数据得以保留,曲线方程如下：v 1x0.000003 x 20.003021 x0.733095针对问题一：在模型一的条件下,用1vx 替换v ,其他条件保持不变,于是有：110名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - xtv2coscosx2xy2当t0ytv 1xv 2sin,x0siny02 xyy2时,渡轮仍在南岸码头,故1000,0；转变后的微分方程组：将v 2dxv xx20.0
19、03021x0.733095dtx2y2dyv yy20.000003dtx2x01000y002 m s带入微分方程求解即可；针对问题二 : 在模型二的条件下,用 1v x 替换 v ,其他条件保持不变,于是有：x t v 2 cos cosx 2 xy 2y t v 1 x v 2 sin, sin 2 y2x y当 t 0 时,渡轮在南岸码头,故 x 0 1000,y 0 500；转变后的微分方程模型为：v 合dxv x0.003021x0.7330951,此时dtx2y2dyv yy20.000003x2dtx2x010002 逆水行驶到北岸码头y0500同样地,渡轮在放下乘客后,需要
20、从北岸码头v 2v 10,时间tS,即可求出；v合11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 针对问题一：利用 MATLAB 编程,实行 4 阶 Runge-Kutta 法求其数值解；求解后得出在水速v 1 v 1 x m s、船速 v 2 2 m s 下,渡轮从南岸码头驶向北岸码头的运行路线如图10,以及 x, y 关于时间的响应曲线图如图 11：图 10 图 11 由数值解法可知依据这条路线行驶所需要的渡河时间t735.5 s,合 12 分钟 15.5秒；针对问题二：利用 MATLAB 编程,求其数值解；求解后得出
21、在水速 v 1 v 1 x m s 、船速v 2 2 m s 下,渡轮从南岸码头 1 动身,驶向北岸码头 2 的运行路线如图 12,以及 x,y关于时间的响应曲线图如图 13：12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 12 图 13由数值解法可知依据这条路线行驶,乘客从南岸到北岸所需要的渡河时间t 608 s；渡轮到达北岸码头 2 后,再从北岸码头 2 逆水行驶到北岸码头 1,该过程中v 合 v 2 v 10 2 0.733095 m s 1.266905 m s, 所 需 要 花 费 的 时 间t S= 500
22、 m394.7 s；v 合 1.266905 m s综上可知,乘客从南岸码头 1 到北岸码头 2 需要花费时间 t 608 s ；渡轮从南岸码头 1 到北岸码头 1 总共需要花费的时间为 t 总 = t t 1002.7 s；六、模型的评判对于模型一,考虑到要精确无误的到达对面,我们将船头始终指向目的地；并按照该方法设计出一条航行路线,简洁易行,不管是从路程仍是从时间上来分析,都到达了较为中意的结果；该模型在生活中的适用性较强,适合水流速度较慢但两岸距离较远的地域；正是由于如此,该模型的不足在于这种渡轮航行方案不适用水流湍急的地区；对于模型二,在两边分别建立了两个码头；让渡轮顺着水流到达对岸,
23、该方法积极利用了大自然的力气,减小了水流对渡轮行驶的阻力,减轻渡轮的行驶难度,推动13名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 渡轮行驶,可节省资源；对于旅行景区的游客可以观光到更多的景色,但是对一些只 是想到达正对岸的游客,他们仍需要逆着水流行走一段路程,这样无疑会铺张他们的 时间；与模型一正相反,模型二更适用于河水流速比较快的地方；不足之处在于渡轮 公司为了积极利用渡轮,需沿岸边逆水迁移渡轮,这样会铺张一些时间和资源在该条 路线上；对于模型三,考虑到现实生活中水速在不同段往往不同；通过拟合得到水速方程 并代入,这样做
24、使得模型更加的贴切生活；然而,在现实生活中,渡轮的行驶,不行 能只考虑能否到达这一因素；渡轮的行驶航线往往与经济效益相挂钩；而经济效益却 与渡轮行驶的时间,行驶过程的耗油量以及乘客的人数有关；因此,在考虑渡轮行驶 航线时；在确保渡轮能够到达对岸的情形下；仍应当考虑渡轮行驶的时间,逆流行驶 与顺流行驶对油耗量的影响,以及乘客的人数；通过分析对三者分别给予权值,运算 得出经济效益最高的路线；参考文献1 罗万成 . 高校生数学建模案例精选 M. 成都：西南交通高校出版社,2007 2 李汉龙、缪淑贤、韩婷、王金宝 社,2022 . 数学建模入门与提高 M. 北京：国防工业出版3 司守奎、 孙玺菁 .
25、 数学建模算法与运用 M. 北京： 国防工业出版社, 20221：105-125 4 严喜祖、宋中民、毕春加. 数学建模及其试验 M. 北京：科学出版社, 2022 5 余胜威 . 数学建模经典案例实战 M. 北京：清华高校出版社,2022 6 佚名 . 小船过河 matlab 实现D. 百度文库, 2022-06-26 14名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 附 录1. 代码一问题一代码M 文件function f=boat1t,x %限制条件,以保证x足够小的时候可以终止运算ifnormx1e-5 f=-2*x
26、1/sqrtx1.2+x2.2;1-2*x2/sqrtx1.2+x2.2 %微分方程组else f=0,0end主程序 y0=1000,0; %微分方程组的初值 t,x=ode45boat1,0,1000,y0 %求微分方程组的数值解 subplot1,2,1,plott,x; plotx:,1,x:,2 %画出 x1,x2 关于时间的响应曲线 %画出 x1与 x2 的关系函数图axis-1 1000,0 1000 %限定区间text10,15,B %标注 B 点text1000,0,A %标注 A 点xlabelX ylabelY 二问题二代码M 文件function f=boat2t,x
27、%限制条件,以保证x足够小的时候可以终止运算ifnormx1e-5 f=-2*x1/sqrtx1.2+x2.2;1-2*x2/sqrtx1.2+x2.2 %微分方程组else f=0,0end主程序 y0=1000,-500; %微分方程组的初值 t,x=ode45boat2,0,1000,y0 %求微分方程组的数值解 subplot1,2,1,plott,x; %画出 x1,x2 关于时间的响应曲线plotx:,1,x:,2 %画出 x1与 x2的关系函数图axis-1 1000,-500 500 %限定区间xlabelX 15名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17
28、页精选学习资料 - - - - - - - - - ylabelY text10,0,D %标注 D 点 text1000,-500,A %标注 A 点三 问题三代码 拟合曲线的代码 format long x1=100:100:900; y=1,1.22,1.38,1.45,1.5,1.46,1.37,1.23,1.02; p=polyfitx1,y,2 %求拟合后函数系数p = x=0:0.1:1000; z=polyvalp,x; plotx1,y,o,x,z,r M 文件 function f=boat3t,xif normx1e-5 f=-2*x1/sqrtx1.2+x2.2;-0.
29、000003*x1.2+0.003021*x1+0.733095-2*x2/sqrtx1.2+x2.2else f=0,0end主程序 运行 1 y0=1000,0; %微分方程组的初值 t,x=ode45boat3,0,1000,y0 %求微分方程组的数值解 subplot1,2,1,plott,x; plotx:,1,x:,2 %画出 x1,x2 关于时间的响应曲线 %画出 x1与 x2 的关系函数图axis-1 1000,0 1000 %限定区间text10,15,B %标注 B 点text1000,0,A %标注 A 点xlabelX ylabelY 16名师归纳总结 - - - -
30、- - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运行 2 y0=1000,-500; t,x=ode45boat3,0,1000,y0 %求微分方程组的数值解 subplot1,2,1,plott,x; plotx:,1,x:,2 %画出 x1,x2 关于时间的响应曲线 %画出 x1与 x2 的关系函数图axis-1 1000,-500 500 %限定区间xlabelX ylabelY text10,0,D %标注 D 点text1000,-500,A %标注 A 点解析解不存在 x,y=dsolveDx=-2*x/sqrtx2+y2,Dy=1-2*x/sqrtx2+y2,x0=1000,y0=0,t 警告: Explicit solution could not be found. In dsolve line 201 x = empty sym y = 17名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页