《2022年高等数学讲义第一章函数连续极限.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学讲义第一章函数连续极限.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一部分函数、极限、连续一、 函数内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、复合函数与初等函数三、高等数学中常显现的非初等函数1用极限表示的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) ylimnf n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) ylimf t, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tx2用变上、下限积分表示的函数xdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) y
2、f t dt 其中af t 连续,就dxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) y2 x1 x f t dt其中1 x,2 x 可导,f t 连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 dyf x xf x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx四、函数的几种性质1 有界性：2 奇偶性：3 单调性：4 周期性：典型例题2211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、定义域与值域二、求复合函数有关表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设f xx,求 f f 2f
3、xfn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： f 2 x f f1x xf xn 重复合22x/1xx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f 2 x1x21x12 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 f xx,就 f xf k xx/1xx可编辑资料
4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_kkk 11kx21f 2 x1kx 21kx21k1) x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据数学归纳法可知,对正整数n ,f n xx1 nx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知xf ex xe x ,且f 10 ,求xf xln t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 et , xln t ,因此fx ln t1e 2xf t ,t12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 1dt
5、lnt1t21lnx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 10 ,f x12lnx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、有关四种性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设 Fxf x ,就以下结论正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A）如f x 为奇函数,就F x 为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ B）如f x 为偶函数,就F x 为奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_（ C）如f x 为周期函数,就F x 为周期函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ D）如f x 为单调函数,就F x 为单调函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求 I1x x51exe x ln xx21 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f1 xexex 是奇函数,f1 xe xexf1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
7、 - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 xln xx21 是奇函数, x 21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 xlnxx 21ln2xx21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 1ln xx1f 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 xexe x ln xx21 是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 I1x 6 dx01122 x 6 dx07可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设f x,g x 是恒大于零的可导函数,且f xg xf x g x0 ,就当 axb 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以下结论成立的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A ）f x g bf
9、 bg x（ B）f x g a f a g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（C） f x g xf b g b（ D）f xg xf a g a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、函数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设f x 在 0, 上可导,f 00 ,反函数为g x ,且f x g t dt0x2 ex ,求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两边对 x 求导得g f x f x2xexx2ex ,于是xf
10、 xx2xex ,故f x x2) ex ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx1exC ,由f 00 ,得 C1,就f x x1ex1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设f x 满意sinf x1 sin3f 1 x 3x ,求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令g xsinf x ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g
11、x1 g 1 xx ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx332 g 2 x332 x ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 g 1 x32321 g 1 x33331 x ,34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13n 11g 3 n 1 x1g 1x 3n3n132 n 1 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各式相加,得g x1 g 1x3 n3 nx11919 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
12、_g x1,lim1n3n1g 3n x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 11n91199 n 1 1819可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 g x9 x ,于是8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xarcsin 9 x82 k或 2 k1arcsin 9 x （k 为整数）8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页
13、,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 例 3f x 是连续函数,且f x3x22f xdx02,就f x .（ 2022 全国）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、极限内容要点一、极限的概念与基本性质二、无穷小常见的等价无穷小,当x0 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x x , tan x x ,arcsin x x , arctan x x , 1cos x 1 x
14、2 , ex21 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 1x x , 1x1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、求极限的方法1利用极限的四就运算和幂指数运算法就2两个准就准就 1：单调有界数列极限肯定存在准就 2：夹逼定理3两个重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 1： limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式 2： lim 11 ne . lim 11 ue . lim 11v ve可编辑资料
15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_nnuuv04用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式x2xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, ex1xo xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35sin xxxx2.1nn.x2 n 1o x2 n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.5.2n1.x2x4x2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx11n2.4.2n.o x2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23nln1xxxx1n 1 xo xn
16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n352 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arctan xxxx1n 1 xo x2n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_352n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x1 x22.1 nn.1 x
17、no xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6洛必达法就0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 1：（型）设（ 1）0limf x0, limg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） x 变化过程中,fx ,g x 皆存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） limfxg xA （或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 limf xA （或）可编辑资料 - -
18、- 欢迎下载精品_精品资料_g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 2：（型）设（ 1） limf x, limg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） x 变化过程中,fx ,g x 皆存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） limfxg xA （或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 limf xA （或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x7利用导数
19、定义求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式：limx0f x0xfx x0 f x0 假如存在 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8利用定积分定义求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本公式limn1 nn k 1f k n1f x dx0假如存在 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9变量替换10其它综合方法11求极限的反问题有关方法典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限二、用两个重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求limncos x2cos x4cos x2 n可编辑资料 - - - 欢
20、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：当 x0 ,原式 =12 n sin xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,原式limcoscos2n24cos2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n 1xx2 n sin x2nx
21、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limcos2cos4cosn 1x2sinn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n sin2n=x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnsin x2n sinxlimnsin xx2nsinxsin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2n三、用夹逼定理求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求lim 1352n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2461352 n2n1242n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 xn, yn
22、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22462n352 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 0xnyn ,于是 0nxn yn12 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由夹逼定理可知：lim2xnn0 ,于是原极限为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求limnnkk 1 n 2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1而2n 2nlim 1nn2nk 1 n2 nknlim12nkn 2n11 n n121可
23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 22n2lim 12nnlimnn221 nn1221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn1nnn122nk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由夹逼定理可知limnk 1 nnk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -nnk例 3 求 lim.2022nk1n
24、2k四、用定积分定义求数列的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求limnnnk 1 n 2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：假如仍想用夹逼定理中的方法来考虑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n 2n 2nn22k 1 nkn 2n 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 limnn 2n 2n21 , lim2 nn 21n 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑可编辑资料 - - - 欢迎
25、下载精品_精品资料_解： limnnn22k 1 nklimn1n1n k 1 1 k 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx0 1x2arc1tan x04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例 2.求 limsin kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnk解：11n1 knksinsin knn1sin k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n而 lim1 k 11nnsin kk 1 n1sin1kxdxn k 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn k 1
26、n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limn1 nn1 k 1sin knlimnn 1n1nnk2sink 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由夹逼定理可知,nlimsin kn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nk 1 n1 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -五、用洛必达法就求极限1
27、0 型和 型01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求2x10lim e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如直接用 0型洛必达法就1,就得lim12 x 2 x3 e12e x= lim（不好办了,分母x 的次数反而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x010x9x0 5 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增加）1为了防止分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令t x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 lime x 210limelimt 5t （
28、 型）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t5x0xttte可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limt5t4etlim 5.0tet可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2limsin xt2 dtx02022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x5txe2costdtxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0例 3运算： lim2. （ 2022）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34x0xtan xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2sin t ln1t dtxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4运算：0lim38. （ 2022）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xsinxex1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 型和 0 型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求lim 1cos2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x0 sinxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设 a0 , b0 常数.求limx1xa x1b x 可编辑资料 -