《2022年高等代数北大版教案-第章二次型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等代数北大版教案-第章二次型.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案第五章二次型1二次型的矩阵表示一 授课内容： 1 二次型的矩阵表示二 教学目的： 通过本节的学习,把握二次型的定义,矩阵表示,线性替换和矩阵的合同 .三 教学重点： 矩阵表示二次型四 教学难点： 二次型在非退化下的线性替换下的变化情形.五 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：设 P 是一数域, 一个系数在数域 P 中的x1 , x2 , xn 的二次齐次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多项式f x1,
2、x2 , xn x2a11 12a12x1 x22a1 n x1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2a2222a2 nx2 xnannn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x232称为数域 P 上的一个 n 元二次型 ,或者,简称为 二次型 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例如： x13 元二次型 .x1 x23x1 x32x 24x2 x33x2就是有理数域上的一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 1设 x1 , x2 ,
3、 xn , y1, y2 , yn 是两组文字, 系数在数域 P 中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一组关系式x1c11 y1x2c21 y1c12 y2 c22 y2c1n ync2 n yn4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xncn1 y1cn 2 y2cnn yn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为 x1 , x2 , xn 到y1 , y2 , yn 的一个 线性替换 ,或就,简称为线性替换.可
4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如系数行列式cij0 ,那么线性替换 4 就称为 非退化的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次型的矩阵表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2令aija ji,
5、ij由于xi x jx j xi, 那么二次型 3 就可以写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx22f x1, x2 , xn a11 1a12x1 x2a1nx1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a21x2 x1a222a2nx2 xn+an1xn x1an2xn x2annn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把5 的系数排成一个 nn 矩阵nni 1 j 1aij xi x j5可编辑资料 - -
6、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a21Aa12 a 22a1n a 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1a n2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它称为 二次型 5 的矩阵 . 由于 aija jiA, i , jA .1,2, n ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型5 的矩阵都是对称的 .x1x2令 X, 于是,二次型可以用矩阵的乘积表示出来,
7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xnX AXx1x2a11 a21xna12 a 22a1nx1a 2nx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2an1xa11 x1 a 21 x1na n 2a12 x2a 22 x2a nnxna1n xna2n xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a n1 x1a n 2 x2a nn xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nni 1 j 1aij
8、xi x j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故f x1 , x2 , xn X AX .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案明显,二次型和它的矩阵是相互唯独打算的. 由此仍能得到,如二次型可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品_精品资料_f x1 , x2 , xn X AXX BX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且AA, BB ,就, AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c11c12c1 nc21c22c2 ncn1cn2cnnx1 x2xn线性替换的矩阵表示令 Cy1, Yy2, 那么,线性替换 4 可以写成,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c11 c21ync12 c22c1ny1c2 ny2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者 XCY .cn
10、1cn 2cnnyn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,一个非退化的线性替换把二次型仍是变成二次型,现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设f x1 , x2 , xn X AX , AA ,7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是一个二次型,作非退化的线性替换XCY8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到一个y1 , y2 , yn 的二次型Y BY .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_现在来看矩阵 B 与矩阵 A 的关系把8 代入7 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品_精品资料_f x1, x2 , xn X AXCY ACY Y C ACYY CACYY BY .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁看出,矩阵C AC也是对称的,事实上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此,即得C AC BC A CC AC .C AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 2数域 P 上 nnn 矩阵 C ,使n 矩阵A, B 称为合同的 ,假如有数域 P 上可逆的可编辑资料
12、- - - 欢迎下载精品_精品资料_BC AC .合同是矩阵之间的一个关系,不难看出,合同关系具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案(1) 反身性AE AE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 对称性 由BC AC ,即得 AC 1 BC1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
13、- - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 传递性 由 A1C1 AC1 ,A2C 2 A1C 2 ,即得 A2C1C2 AC1C2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因之,经过非退化的线性替换, 替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的 . 2标准形一 授课内容： 2 标准形二 教学目的： 通过定理的证明把握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点： 化一般的 二次型为标准形 .四 教学难点： 化一般的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：I 导入222可以认为,在二次型中最简洁的一种是只含有平方项的二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxII 讲授新课
14、d11d 22dnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和1 的形式 .不难看出,二次型 1 的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d1 x12d2 x22d n xn = x1x2d 100d 2xn0x10x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00d nxn反过来,矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理 2在数域 P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义二次型f x1 , x2 , xn 经过非退化的线性替换所变成的平方和可编辑资料 - -
15、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为 f x1 , x2 , xn 的一个 标准形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 化二次型为标准形 .f x1 , x2 , x3 2x1 x26
16、x2 x32x1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 作非退化的线性替换x1y1y2x2y1y2 x3y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x1 , x2 , x3 2 y1y2 y1y2 6 y1y2 y32 y1y2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 y 22y 24 y1 y38 y2 y32 y1y 22 y22 y 28y2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
17、_2323z1再令z22z3y1y3y2或2y3y1z1z3 y2z22222y3z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x1, x2, x3 2z12z28z2 z32 z32z12 z22 z3 6z3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最终令w1w2z2 w3z12 z3 或z3z1z2w2z3w12w3w3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就f x1, x2, x3 2w22w26w2可编辑资料
18、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123是平方和,而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x11x21x30101011001001001100w1012w2001w3113011001w1 w2.w3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用矩阵的方法来解例 化二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 , x2 , x3 2x1 x26x2 x32x1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为标准形 .011解：f x1, x2 , x3 的矩阵为 A103.130可编辑资料 - - -
19、欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 C1110110001, 就 A1C1 AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_110011101000113111031100001202024.240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_101再取 C 2010,就A2C 2A1C 20011002020100241012400010120100001024.42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100再取 C 3012,就 A3C3A2C 300101004012100201000A3 是对角矩阵,因此令2100242001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC1C2 C3就有110101100100100121100100101100C AC200020.0061311,01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下
21、载精品_精品资料_作非退化的线性替换即得f x1, x2X, x3 CY12 y 222y 236 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案 3唯独性一 授课内容： 3 唯独性二 教学目的：通过本节的学习,让同学把握复二次型,实二次型的规范形,正 负 惯性指数,符号差 .三 教学
22、重点： 复二次型,实二次型的规范形的区分及唯独性的区分.四 教学难点： 实二次型的唯独性五 教学过程：在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项个数是唯独确定的, 与所作的非退化的线性替换无关. 二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩. 至于标准形的系数就不是唯独的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 二次型f x1 , x2 , x3 2x1 x26x2 x32 x1 x3 经过非退化的线性替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到标准形而经过非退化的线性替换x11x20x3012w211022w23w11w21w
23、336w2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就得到另一个标准形11x121x212x3001y11y231y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y22 y21222 y 2 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就说明,在一般的数域内,二次型的标准形不是唯独的,而与所作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wor
24、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步争论唯独性的问题.对于复数域的情形设 f x1 , x2 , xn 是一个复系数的二次型,就经过一个适当的非退化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2的线性替换后,f x1 , x2 , xn 变为标准形,不妨设标准形为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d1 y1d 2 y2dr yr , di0 , i1,2,r1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
25、 欢迎下载精品_精品资料_2易知, r 就是f x1 , x2 , xn 的矩阵的秩 . 由于复数总可以开平方,我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_们再作一非退化的线性替换y1yryr 11z1d 11zrd rzr 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1 就变为ynznzz221223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r(3) 称为复二次型f x1 , x2 , xn 的规范形 . 明显,规范形完全被原二
26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次型的矩阵的秩所打算 .定理 3任意一个复系数的二次型, 经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形,规范形是唯独的.定理 3 换个说法就是,任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为1100的对角矩阵 . 从而有,两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -
27、精品教学教案对于实数域的情形设 f x1 , x2 , xn 是一个实系数的二次型,就经过一个适当的非退化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22的线性替换,再适当排列文字的次序,可使f x1 , x2 , xn 变为标准形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2d11d ppd p 1p 1drr4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyy2di0i1,2, r, r 就是f x1 , x2 , xn 的矩阵的秩 . 由于在实数域可编辑资料 - - - 欢迎下
28、载精品_精品资料_中,正实数总可以开平方,所以,再作一非退化的线性替换y11z1d1y1zdrr5ryr 1zr 1ynzn22(4) 就变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22z1zpz p 1zr6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 称为实二次型这两个数所打算 .f x1 , x2 , xn 的规范形 . 明显,规范形完全被r , p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 4 惯性定理 任意一个实数域上的二次型,经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形,规范形是唯独的.可编辑资料 - - -
29、欢迎下载精品_精品资料_定义 3在实二次型f x1 , x2 , xn 的规范形中,正平方项的个数p 称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为f x1 , x2 , xn 的 正 惯 性 指 数 , 负 平 方 项 的 个 数 rp 称 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 , x2 , xn 的 负 惯 性 指 数 , 它 们 的 差 prp2 pr称 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 , x2 , xn 的符号差 .惯性定理也可以表达为
30、, 实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯独的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项个数也是唯独的,它等于负惯性指数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案 4正定二次型一 授课内容： 4正定二次型二 教学目的： 通过本节的学习,让同学把握正定 负定,半正定,半负定,不定 二次型或矩阵 . 次序 主子式的定义,把握各种类型的判
31、别法 . 三 教学重点： 正定二次型 .四 教学难点： 判别方法五 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 4实二次型f x1, x2 , xn 称为 正定的 ,假如对于任意一组不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全为零的实数c1 , c2 ,cn 都有f c1 ,c2 , cn 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,二次型f x , x , x x2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是正定的,由于只有在ccc0 时, c 2c 2 才为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1nxxx222一般的,实二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1, x2 , xn d1 1d22d