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1、精品_精品资料_09 级高三数学总复习讲义数列概念学问清单1. 数列的概念（1） 数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项）,在其次个位置的叫第 2 项, ,序号为n的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的一般形式：a1, a2 , a3 , ,an , ,简记作an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 通项公式的定义： 假如数列那么这个公式就叫这个数列的通项公式. an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,可编辑资料
2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_例如,数列的通项公式是an = n （ n7, nN ）,n数列的通项公式是 a =1 （ nN ）.n说明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an表示数列,an 表示数列中的第 n 项,an =fn 表示数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独.例如,a = 1n =1,nn1,n2k1kZ .2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不是每个数列都有通项公式.例如,1, 1.4 ,1.41 ,1.414 ,（3） 数列的函数特点与图象表示：序号： 123456项 ：4
3、56789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集） 的函数 f n 当自变量 n 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 开头依次取值时对应的一系列函数值fn ,其图象是一群孤立点.f 1, f2,f 3, , ,f n , 通常用an 来代替可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列.按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
4、（5） 递推公式定义：假如已知数列an的第 1 项（或前几项）,且任一项an 与它的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前一项 an 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推公式.（ 6） 数列课前预习an 的前 n 项和Sn 与通项an 的关系： anS1 n1SnSn 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 依据数列前 4 项,写出它的通项公式：（ 1） 1, 3, 5, 7, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 2） 22132,3142,41521
5、,.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）1 1*2, 1 2*3,13* 4,1.4*5n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 数列an中,已知 annN ,y3B5C5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）写出 a10 , an1 , an2 .B4C4B3C3B2C2B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0A1A2A3A4A5A6x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 79 2 是否是数列中的项？如是,是第几项？3可编辑资料 - - -
6、欢迎下载精品_精品资料_3. 如图, 一粒子在区域 x, y | x0, y0 上运动, 在第一秒内它从原点运动到点B10,1 , 接着可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动,且每秒移动一个单位长度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn 时,所经过的时间分别为an、bn、cn,试写出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 、b n 、c n 的通相公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）求粒子从原点运动到点P16,44时所需的时间.可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）粒子从原点开头运动,求经过2022 秒后,它所处的坐标 .4（1）已知数列适合：,写出前五项并写出其通项公式.（ 2）用上面的数列,通过等式构造新数列,写出,并写出的前 5 项.5（05 广东, 14）设平面内有条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点 如用表示这条直线交点的个数,就=. 当时 ,（ 用表示）.6（ 2022 京春理 14,文 15）在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的统计数据如下表 .观看表中数据的特点,用适当的数填入表中空白（ ）内.09
8、级高三数学总复习讲义等差数列学问清单1、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等差数列的通项公式：.说明 ： 等 差数 列（ 通常 可称 为数列 ） 的 单调 性：为递增数列,为常数列,为递减数列.3、等差中项的概念：定义 ： 如 果,成 等 差 数 列 , 那 么叫 做与的 等 差 中 项 . 其 中,成等差数列.4、等差数列的前和的求和公式：.5、等差数列的性质：（1） ）在等差数列中,从第 2
9、项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.（2） ）在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：, ., .（ 3 ） 在 等 差 数 列中 , 对 任 意,.（ 4 ） 在 等 差 数 列中 , 如,且,就.说明：设数列是等差数列,且公差为,（）如项数为偶数,设共有项,就奇偶. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如项数为奇数,设共有项,就偶奇.6、数列最值（1） ）,时,有最大值.,时,有最小值.（2） 最值的求法：如已知,可用二次函数最值的求法（）. 如 已知, 就最值 时的值（）可如下确定或.课前预习1（ 01 天津理, 2
10、）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n2,就 an 是（）A. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2（06 全国 I）设是公差为正数的等差数列,如,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就（）A. BCD3（ 02 京）如一个等差数列前 3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为 390, 就这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项4（ 01 全国理）设数列 an 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）A.1B.2C.4
11、D.65（ 06 全国 II）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如,就AB C D6（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S77,S15 75,Tn为数列的前 n 项和,求 Tn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7（ 98 全国）已知数列 bn是等差数列, b1=1, b1+b2 +,+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn.（）设数列 an的通项 an=lg（1+）,记 Sn 是数列 an的前 n 项和,试比较 Sn 与l gbn+1 的大小,并证明你的结论.8（ 02 上海）设 an（ n N* ）是等差数列, Sn 是
12、其前 n 项的和,且 S5S6,S6 S7S8, 就以下结论错误的是（）A.d0B.a7 0C.S9S5D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值9（94 全国）等差数列 an 的前m 项和为30,前 2m 项和为100,就它的前3m 项和为（）A.130B.170C.210D.26009 级高三数学总复习讲义等比数列学问清单1. 等比数列定义一般的,假如一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母表示,即：数列对于数列（ 1）（ 2）（3）都是等比数列,它们的公比
13、依次是 2,5,.（留意：“从其次项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2. 等比数列通项公式为：.说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列.（ 2）等比数列的通项公式知：如为等比数列,就.3. 等比中项假如在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数, 都有两个等比中项） .4. 等比数列前 n 项和公式一般的,设等比数列的前 n 项和是,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,或.当 q=1 时,（错位相减法）.说明：（1）和各已知三个可求第四个. （2）留意求和公式中是,通项公式中是不要混淆.
14、（3）应用求和公式时,必要时应争论的情形.5. 等比数列的性质 等比 数列任意两项间的 关系 ： 假如是等比数列 的第项,是等差数列的第项,且,公比为,就有.对于等比数列,如,就,也就是：,如下列图：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列是等比数列,是其前 n 项的和,那么,成等比数列.如下图所示：课前预习1. 在等比数列中,就2. 和的等比中项为 .3. 在等比数列中,求,4. 在等比数列中,和是方程的两个根 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就5. 在等比数列,已知,求.6（ 2022 年辽宁卷）在等比数列中, 前项和为,如数列也是等比数列,就等于（）A.
15、 BCD7（ 2022 年北京卷）设,就等于（）ABCD8（1996 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3S6 2S9,求数列的公比 q.9（ 2022 江苏 3）在各项都为正数的等比数列 an 中,首项 a13,前三项和为 21,就 a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a4 a5（）（A）33（B）72（C）84（D）18910（ 2022 上海, 12）在等差数列 an中,如 a100,就有等式 a1+a2+, an=a1+a2+, a19 n（n19,n N成立.类比上述性质,相应的：在等比数列bn中,如 b9 1,就有等式成立.09 级高三数
16、学总复习讲义数列通项与求和学问清单1. 数列求通项与和（1） ）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式： an=.（2） ）求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.累差叠加法.最基本的形式是： an=an an1+an 1+an 2+,+a2a1+a1.归纳、猜想法.（3） ）数列前 n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重要公式： 1+2+,+n=nn+1.12+22+,+n2=nn+12n+1.13+23+,+n3=1+2+,+n2=n2n+12.等差数列中, Sm+n=Sm+Sn+mnd.等比数列中, Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.裂项求和将
17、数列的通项分成两个式子的代数和,即an=fn+1 fn,然后累加抵消掉中间的很多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法.用裂项法求和,需要把握一些常见的裂项,如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、=、nn；=n+1. n.、Cnr1r=C1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r Cn 1 、=等.错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错项相消法., 其中是等差数列,是等比数列, 记,就,并项求和把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn.数列求通项及和的方法多种多样,要视详细情形选用合适方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
18、精品资料_通项分解法：2. 递归数列数列的连续如干项满意的等量关系an+k=fan+k 1,an+k 2,an称为数列的递归关系.由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列.如由an+1=2an+1,及 a1=1,确定的数列即为递归数列.递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1） 归纳、猜想、数学归纳法证明.（2） 迭代法.（3） 代换法.包括代数代换,对数代数,三角代数.（4） 作新数列法.最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题.课前预习1. 已知数列为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,求和：.2. 求.3. 设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3, , n
19、an, 的前n 项和.4. 已知,数列是首项为 a,公比也为 a的等比数列,令,求数列的前项和.5. 求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设数列是公差为,且首项为的等差数列,求和：7求数列 1, 3+5,7+9+11,13+15+17+19, , 前 n 项和.典型例题一、有关通项问题1、利用求通项 EG ： 数列的前项和（ 1）试写出数列的前5 项.（ 2）数列是等差数列吗？（ 3）你能写出数列的通项公式吗？变式题 1、（ 2022 湖北卷） 设数列的前 n 项和为 Sn=2n 2,求数列的通项公式.变式题 2、（ 2022 北京卷） 数列 an 的前 n 项和为 Sn
20、,且 a1=1,n=1,2, 3, , ,求a2, a3, a4 的值及数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式题3、（ 2022山东卷） 已知数列的首项前项和为,且,证明数列是等比数列2、解方程求通项：EG ：在等差 数列中,（ 1 ）已知.（ 2 ）已知. 3 已知.变式题 1、是首项,公差的等差数列, 假如,就序号等于（ A ） 667（ B） 668（ C）669（ D） 6703、待定系数求通项：EG ： 写出以下数列的前 5 项：（ 1）变式题 1、（ 2022 年福建卷） 已知数列满意求数列的通项公式.4、由前几项猜想通项：可编辑资料 - - -
21、 欢迎下载精品_精品资料_EG ： 依据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）变式题 1、（ 2022 年深圳理科一模） 如下图,第（ 1）个多边形是由正三角形“扩展“而来,第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来, , ,如此类推. 设由正边形“扩展”而来的多边形 的边数为,就.变式题 2、观看以下各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是（）,其通项公式为.A 40 个B 45 个C 50 个D 55 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 条 直 线 相交,最多有 1 个交点3
22、 条 直 线 相交,最多有 3 个交点4 条 直 线 相交,最多有 6 个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、有关等差、等比数列性质问题EG ：一个等比数列前项的和为 48,前 2项的和为 60,就前 3项的和为（）A 83B 108C 75D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1、一个等差数列前项的和为 48,前 2项的和为 60,就前 3项的和为.变式 2、（江苏版第 76 页习题 1） 等比数列的各项为正数,且（）A 12B 10C 8D 2+EG ：设数列是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,就它的首项是（）A 1B.2C
23、.4D.8变式题 1、 在各项都为正数的等比数列中,首项,前三项和为21,就A 33B72C84D189三、数列求和问题EG ： 已 知是 等 差 数 列 , 其 中, 公 差. （ 1 ） 求 数 列的通项公式,并作出它的图像.（2）数列从哪一项开头小于0？（ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列前项和的最大值,并求出对应的值变式题 1、已知是各项不为零的等差数列,其中,公差,如,求数列前项和的最大值变式题 2、在等差数列中,求的最大值EG ：求和：变式题 1、 已知数列和,设,求数列的前项和变式题 2、（ 2022 全国 1 文 21） 设是等差数列,是各项都为正数的
24、等比数列,且,（）求,的通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项公式.（）求数列的前 n 项和变式题 2设等比数列的公比为 q,前 n 项和为 Sn,如 Sn+1,Sn, Sn+2 成等差数列,就 q的值为.3、利用等比数列的前项和公式证明EG：变式题 、（ 05 天津） 已知.当时,求数列的前n项和EG ： （ 1）已知数列的通项公式为,求前项的和.（ 2）已知数列的通项公式为,求前项的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式题 1、已知数列的通项公式为, 设,求变式题 2、数列a n 中, a1 8, a4 2,且满意： an+2 2an+1 an0（ n N*
25、）,（）求数列 a n 的通项公式.（）设,是否存在最大的整数m,使得任意的 n 均有总成立？如存在, 求出 m.如不存在,请说明理由实战训练 A1（ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a28,a1 64,就公比 q 为（ A）2（B）3（C）4（D）82（ 07 重庆理）如等差数列 的前三项和且,就等于（ ）A 3B.4C.5D. 63设 为公比 q1 的等比数列,如和是方程的两根,就 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4（ 07 天津理）设等差数列的公差不为 0,如是与的等比中项,就（） 2 4 6 85 设 等 差 数 列的 公 差是 2 , 前项 的 和 为,就6等
26、差数列 an 中, a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,就 n= A9B10C11D125.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,如（A） 12（B） 18（C）24（D） 426 （ 全 国 2文 ） 已 知 数 列 的 通 项, 就 其 前项 和7（ 07 全国 1 理）等比数列的前项和为,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,成 等 差 数 列 , 就的 公 比为8已知是等差数列,其前 10 项和,就其公差（）9 已 知成 等比 数列 , 且 曲 线的 顶点 是, 就等于（） 3 2 110已知是等差数列,其前 5 项和,就其公差11（ 07 辽宁
27、理）设等差数列的前项和为,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,就（）A63B 45C36D2712（ 07 江西理）已知数列对于任意,有,如,就实战训练 B1（ 07 江西文）已知等差数列的前项和为,如,就2（ 07 湖南文）在等比数列（）中,如,就该数列的前 10 项和为（）A. BCD3（07 湖北理）已知两个等差数列和的前项和分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 A和,且,就使得为整数的正整数的个数是（）A 2B 3C4D54 （ 07 广 东理 ） 已 知 数列 的前项 和, 第项满意,就AB C.D5（ 07 广东文）已知数列 的前项和,就其通项.
28、如 它 的 第项 满 足, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 数 列的 前项 和 为, 如, 就等于（）A.1 1BCD7. 等比数列中,就等于（）8. 如数列的前项和,就此数列的通项公式为.数列中数值最小的项是第项9. 如数列的前项和,就此数列的通项公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 （ 07安 徽文 ） 等 差 数列的 前项 和为如（A）12（ B） 10（C）8（ D） 611（ 07 辽宁文）设等差数列的前项和为,如,就（）A 63B45C36D2712数列中,（是常数,）,且成公比不为的等比数列（I） ）求的值.（II） ）求的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载