《2022年高中数学第章归纳总结同步导学案北师大版必修3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学第章归纳总结同步导学案北师大版必修3.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_第三章归纳总结学问结构学问梳理一、不等关系1. 不等关系表达在日常生活中的方方面面,在数学意义上,不等关系可以表达：（ 1）常量与常量之间的不等关系.（ 2）变量与变量之间的不等关系.（ 3）函数与函数之间的不等关系.（ 4）一组变量之间的不等关系.2. 实数比较大小的方法：作差法（ 1） a-b 0ab;（ 2） a-b =0a=b;（ 3） a-b 0abbb,b cac;（ 3） aba+cb+c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） ab,c 0acbc; ab, c0acb,c da+cb+d;（ 6） ab0, cd0acbd;nn（ 7） ab
2、0a b n N+且 n1;（ 8） ab0n a n b n N+且 n1.对于不等式的性质,关键是正确懂得和运用, 要弄清每一个性质的条件和结论,留意条件放宽和加强后, 结论是否发生了变化. 运用不等式的性质时, 肯定要留意不等式成立的条件,切不行用“好像” 、“是”、“很明显”的理由代替不等式的性质.二、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集：一般的,使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解. 一元二次不等式的全部解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.2. 解一元二次不等式的步骤：常用数形结合法解一元二次不等式,步骤：22（ 1）当 a0
3、时,解形如 ax +bx+c0 0 或 ax +bx+c0 0 的一元二次不等式,一般可分为三步：+确定方程 ax2 bx+c 0 的解.2画出对应函数 y=ax +bx+c 的简图.借助于图像的直观性写出不等式的解集.（ 2）特殊的,如a0 或0 时,如相应一元二次方程的判别式0,就求两根或分解因式,依据“大于在两边,小于夹中间”写出解.如 0 或 0, 这是特殊情形,利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集.（ 2）对于含参不等式,在求解过程中,留意不要忽视对其中的参数恰当的分类争论,特殊是涉及形式上看似二次不等式,而其中的二次项系数中又含有参变量时,往往需要针对这个系数是否为零进行分类
4、争论,并且假如对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时,仍要再次针对这两根的大小进行分类争论.4. 分式不等式与一元二次不等式的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a0 等价于 x-a x-b 0,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa 0 等价于 x-a x-b 0 用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解,其步骤是：将 f x 的最高次项的系数化为正数.将 f x 分解为如干个一次因式的积或二次不行分因式之积.将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次用曲线把每个根串联起来.依据曲线出现出f x 的值的符号变化规律,写出不等式的解集.奇
5、次根依次穿过,偶次根穿而不过.三、基本不等式1. 几个重要的基本不等式:221 a +b 2ab a,b R;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ab ab （ a,b R+）;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3b + a 2（ a 与 b 同号）.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 a+ 1 2（ a0） , a+ 1 -2 （ a0, B0）为例 . “以线定界” ,即画二元一次方程 Ax+By+C 0 表示的直线定边界,其中,仍要留意实线或虚线 . “以点定域” ,由于对在直线 Ax+By+C0 同侧的点,实数 Ax+By+C的值的符号
6、都相同, 故为了确定 Ax+By+C的值的符号, 可采纳取特殊点法, 如取坐标原点（ 0, 0）等 .2. 最优解的确定方法最优解可有两种确定方法：（ 1）将目标函数的直线平行移动,最先通过或最终通过的顶点便是最优解;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）利用围成可行域的直线的斜率来判定 . 如围成可行域的直线 l 1, l 2, , l n 的斜率分别为 k1k2 kn,而且目标函数的直线的斜率为 k,就当 ki k0 对 x R 恒成立 .2当 a -1=0 时,即 a= 1.如 a=1 时,不等式化为 2x+10 不恒成立, a 1.如 a=-1 时,不等式化为 10,
7、 恒成立,符合题意.a2-102当 a -1 0, 即 a 1 时,就有, = a+1 2 -4 a2-10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a 5 .3综上所述, a 的取值范畴为 - ,-1 25 ,+ .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式应用 1m为何值时,方程 x + m-2 x+5- m=0 的两个根都大于 2？ 解法一：设方程的两个根为x1, x2, 就有 0 0x1 2 ,即 x1-2+x2-20 ,x2 2x1-2x2-20m2-16 0 -m-20,m+50解得 -50,- m2 22m2-16 0即m+50 .m-2解得 -5 m -
8、4.专题 2不等式的恒成立问题对于不等式恒成立,求参数取值范畴问题常见类型及解法有以下几种.1. 变更主元法：依据实际情形的需要确定合适的主元,一般知道取值范畴的变量要看作主元.2. 分别参数法：如 ag x 恒成立,就 ag x 恒成立,就ag x max.3. 数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 2 如不等式 x +ax+1 0 对于一切 x 0,1 都成立, 就 a 的最小值为 （）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0B.-2C.-答案C5D.-32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
9、_精品资料_22解析解法一：（数形结合法） 令 f x= x +ax+1, 要使不等式 x +ax+1 0,对于一切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0, 1） .1 都成立,只须 f x 0 对于一切 x 0,21 都成立 . 又 f x 的图像过定点（ 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 1）当 =a -4 0,即 -2 a 2 时, f x 0 对于一切 x 0,2（ 2）当 =a -40 ,即 a2 时,如下列图,1 都成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴 x=-a 0.
10、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a2, a2.如下列图,对称轴 x=- a 1 且 f 1 0,222-a 122即,11 a+1 042可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 -5 a-1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a2, - 5 a0 且 a1, f x= x - a , 当 x -1,1时均有 f x值范畴是（）1 , 就实数 a 的取2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0,1 2,+ B. 21,1 1,4 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 1 ,1 1,2 D.0,21 4,+ 4
11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x21x21222答案C由 x - a x -, 设函数 y1=a , y2=x -, 分别作出它们的图象,如图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2由图易知,当0ax -成立,同理, a1 时,可得 1a 2.1 , 就 x=1 时, a 12-121 1 ,反之亦22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2变式应用 2f x= ax +ax-1 在 R 上满意 f x0, 求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+分析对 a 的值进行
12、争论 . f x= ax2ax-1 在 R 上满意 f x0a=0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a00a 的取值范畴 .(1) 当 a=0 时, f x0 恒成立,故a=0 符合题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 a 0 时,由题意得：a0a0=a2+4a0-4a0综上所述： 4a 0.专题 3利用均值不等式求最值-4 a0, b0 解“定积求和,和最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小”问题, 用 ab（ab2）2求“定和求积, 积最大” 问题. 肯定要留意适用的范畴和条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“一
13、正、二定、三相等”. 特殊是利用拆项、添项、配凑、分别变量、削减变元等方法,构造定值条件的方法,以及对等号能否成立的验证.如等号不能取到, 就应用函数单调性来求最值, 仍要留意运用均值不等式解决实际问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4设函数 f x= x+a, x 0,+ .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 a=2 时,求函数 f x 的最小值.(2) 当 0a0,20,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x+1+2 22 .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 x+1=2, 即 x=2 -1 时,
14、 f x 取最小值 .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时, f x min 22 -1.（ 2）当 0a1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x+1+ax-1 ,如 x+1+a1x 2a , 就当且仅当x+1=1a时取等号,此时x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x=a -1x2 0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1- f x2= x1+ax1- x2-1ax21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
15、= x1- x2 1- x1x2 0, x1a ,1 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1- x20, x1+11, x2+11,（ x1+1） x2+11, 而 0a1,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x11 x20,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在 0,+ 上单调递增,f x min =f 0= a.变式应用 3某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为1.5 元,每次购买原材料需支付运费600 元. 每公斤原材料每天的保管费用为0.03 元,该厂每天需要消耗原材料 400 公斤,每次购买的原材料当天即开头使
16、用（即有400 公斤不需要保管）.(1) 设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y1关于 x 的函数关系式.(2) 该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最少,并求出这个最小值.解析（ 1）每次购买原材料后,当天用掉的400 公斤原材料不需要保管费用, 其次天用掉的 400 公斤原材料需保管1 天,第三天用掉的 400 公斤原材料需保管2 天,第四天用掉的 400 公斤原材料需保管3 天,第 x 天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最终的400 公斤原材料需保管x-1 天.每次购买的原材料在x 天内总的保管费用：2y1=4000.03 1
17、+2+3+ + x-1 =6x -6 x 元.2（ 2）由（ 1）可知,购买一次原材料的总费用为6x -6 x+600+1.5 400x 元 ,购买一次原材料平均每天支付的总费用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y= 1 6 x2 -6 x+600+1.5 400x600600 +6x+594.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 26x +594 714.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当600 6x,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x=10 时, y 最小为 714
18、.该厂 10 天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最少,最少为714 元. 专题 4二元线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解,一般步骤为： 一是寻求约束条件和目标函数,二是作出可行域,三是在可行域内求目标函数的最优解. 特殊留意目标函数z=ax+by+c 在直线ax+by=0 平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系,简洁的线性规划应用题在现实生活 中的广泛的应用也是高考的热点.7x-5 y-23 0例 4已知 x、y 满意条件x+7y-11 0 .4x+y+10 0求 z=4x-3 y 的最大值和最小值 .解析作可行域,如图中的阴影部分（含边界）.作直线 l :4 x-3 y
19、=0, 由图形可知当直线l 平移至顶点 C、B 时 z 分别取最小值、最大值.4x+y+10=0由,得 C-3,2. x+7y-11=04x+y+10=0由,得 B-1,-6.7x-5 y-23=0故 zmin=4（ -3 ） -3 2 18,zmax=4（ -1 ） -3 （ -6 ） 14.变式应用 4已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200 万吨和 260 万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外的. 东车站每年最多能运280 万吨煤,西车站每年最多能运360 万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1 元/ 吨和 1.5元/ 吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/
20、 吨和 1.6元/ 吨. 煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少？解析设甲煤矿向东车站运x 万吨煤,乙煤矿向东车站运y 万吨煤,那么总运费z=x+1.5200-x+0.8 y+1.6260-y 万元 , 即 z=716-0.5 x-0.8 y.x 0y 0x、y 应满意200-x0,260- y 0x+y 280（ 200- x） +260- y 360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 x 200即 0 y 260x+y 280x+y 100作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.设直线 x+y=280 与 y=260 的交点为 M,就 M（ 20, 260） . 把直线 l 0： 0.5 x+0.8 y=0 向上平移至经过平面区域上的点M时, z 的值最小 .点 M的坐标为（ 20, 260）,甲煤矿生产的煤向东车站运20 万吨,向西车站运180 万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,总运费最少.可编辑资料 - - - 欢迎下载