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1、精品_精品资料_高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程.常用的圆系方程有如下几种：以为圆心的同心圆系方程过直线与圆的交点的圆系方程过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必需检验圆是否满意题意,谨防漏解.当时,得到两圆公共弦所在直线方程例 1 ：已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,假设,求实数的值.分析：此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最终验证得解.倘假设充分挖掘此题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上.
2、而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大的简化运算过程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：过直线与圆的交点的圆系方程为：,即.依题意,在以为直径的圆上,就圆心明显在直线上,就,解之可得又满意方程,就故例 2 ：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程.解：圆和的公共弦方程为,即过直线与圆的交点的圆系方程为,即依题意, 欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小, 就两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上.即,就代回圆系方程得所求圆方程例 3: 求证： m 为任意实数时,直线 m 1x 2m 1y m 5 恒过肯定点 P ,并求 P 点坐标.分析：不管
3、m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就肯定是直线系中任意两直线的交点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由原方程得mx 2y 1 x y 5 0 ,x2y10x9解得即 xy50y4 ,直线过定点 P9, 4注：方程可看作经过两直线交点的直线系.例 4 已知圆 C：x 1 2 y 2 2 25 ,直线 l ：2 m +1 x + m +1 y7 m 4=0 m R.1 证明：不管m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点.2 求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程 .剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.1 证明： l 的方程 x+ y 4 + m 2x+ y
4、 7 =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m R,2 x+ y 7=0 ,得x=3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x+ y 4=0 ,y =1 , 即 l 恒过定点 A3, 1.圆心 C1 , 2 , AC 5 5 半径,点A 在圆 C 内,从而直线l 恒与圆 C 相交于两点 .12 解：弦长最小时, l AC,由 kAC,2l 的方程为 2 x y5=0.评述：假设定点 A 在圆外,要使直线与圆相交就需要什么条件了？摸索争论类型二：直线与圆的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 、假设直线 yxm与曲线 y4x2有且只有一个公
5、共点,求实数m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：曲线 y4x2表示半圆 x 2y 24 y0 ,利用数形结合法,可得实数m 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m2 或 m22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2变式练习： 1. 假设直线 y=x+k与曲线 x=1y恰有一个公共点,就k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：利用数形结合 .答案： 1 k 1 或 k= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6圆 x32 y3
6、29 上到直线 3x4 y110 的距离为 1 的点有几个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l2 的方程,从代数运算中查找解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 圆 x32 y329 的圆心为O13 , 3,半径 r3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1 到直线 3x4 y110 的距离为 d ,就 d334323114223 可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,在圆心O1同侧,与直线 3 x4 y110 平行且距离为1 的直线l1与圆有两个交点,这两个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点符合题意又 rd321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与直线 3 x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符合题意的点共有 3 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 符合题意的点是平行于直线3 x4 y110 ,且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求可编辑资料 -
8、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线为 3 x4 ym0 ,就 dm111,3242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m115 ,即 m6 ,或 m16 ,也即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1：3 x4 y60 ,或l 2：3 x4 y160 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 O1： x32 y329 的圆心到直线l1 、 l 2 的距离为d1 、 d 2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
9、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33436d132423 , d233432316142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 与 O1相切,与圆O1 有一个公共点.l2 与圆 O1 相交,与圆O1 有两个公共点即符合题意的点共3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个说明： 对于此题,假设不留心,就易发生以下误会：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1 到直线 3x4 y110 的距离为 d ,就 d334323114223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆O
10、1到 3x4 y110 距离为 1 的点有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,上述误会中的d 是圆心到直线3x4 y110 的距离, dr ,只能说明此直线与圆有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 类型三：圆中的最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 7 ：圆 xy 24x4 y100 上的点到直线xy140 的最大距离与最小距离的差是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 ： 圆 x2 2 y2 218 的 圆 心 为 2 , 2 , 半 径 r32 , 圆 心 到 直 线
11、的 距 离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d10252r, 直 线 与 圆 相 离 , 圆 上 的 点 到 直 线 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 的 差 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr dr 2r62 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 81 已知圆O1： x3 2 y421 , P x ,y 为圆 O 上的动点,求 dx2y2 的最大、最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 已知圆O2：x22y 21 ,P x ,yy 为圆上任一点 求x2的最大、 最小值, 求1x2 y的最大、可编辑资料 - - - 欢迎
12、下载精品_精品资料_最小值分析： 1 、2 两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 法 1 由圆的标准方程 x32 y421 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设圆的参数方程为x 3cosy 4sin, 是参数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 dx 2y296 coscos2168 sinsin 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_266 cos8sin2610 cos 其中tan3可编辑资料 - - - 欢迎下载精
13、品_精品资料_所以 d max261036 ,d min261016 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2 圆上点到原点距离的最大值d 1 等于圆心到原点的距离d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小值 d 2 等于圆心到原点的距离d 1 减去半径 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d1324216 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d324214 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d max36 d min16 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
14、法 1 由 x22y 21 得圆的参数方程：x2ysincos ,是参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2sin2sin2就令t ,x 1cos3cos3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 sint cos23t ,1 t 2sin23t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23t1t 2sin133t33 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tmax3333, tmin44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2即的最大值为x13333,最小值为44可编辑资料 -
15、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 x2 y2cos2 sin25 cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y 的最大值为25 ,最小值为25 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2 设k ,就 kxyk2 0 由于P x ,y 是圆上点,当直线与圆有交点时,如下图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条切线的斜率分别是最大、最小值2kk233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 d1k 21,得 k4可编辑资料 -
16、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2所以的最大值为x13333,最小值为44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x2 yt ,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值2m由 d1 ,得 m25 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x2 y的最大值为25 ,最小值为25 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 9 、已知对于圆 x y1 21上任一点P x ,y ,不等式 xym0 恒成立,求实数 m 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
17、_精品资料_围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 x2 y121上任一点Pcos,1sin0 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcos, y1sinxym0 恒成立cos1sinm0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 m1cossin 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只须m 不小于1cossin 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 usincos12 sin41umax21 即 m21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法一般的,把圆 xa 2 yb 2r 2 上的点设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arcos, br sin 0 , 2 采纳这种设法一方面可削减参数的个数,另一方面可以敏捷的运可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用三角公式从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换可编辑资料 - - - 欢迎下载