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1、一、公因式 最大公式,二、最大公因式的存在性与求法,1.4 最大公因式,三、互素,四、多个多项式的最大公因式,提供网站： ,i),1公因式:,若,满足:,且,2最大公因式:,若,满足：,ii) 若 ， 且 ，则,则称 为 的最大公因式,则称 为 的公因式,一、公因式 最大公因式,说明：,是, ， 与零多项式0的最大公因式, 的首项系数为1的最大公因式记作:, 若 ，则 的最大公式为零。, 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大,公因式是唯一的.,c为非零常数,说明：,提供网站： ,二、最大公因式的存在性与求法,提供网站： ,定理2对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，
2、即 ，使 ,若 有一为0，如 ，则,就是一个最大公因式且,考虑一般情形：,用 除 得：,其中 或 .,若 ，用 除 ，得：,证：,若 ，用 除 ，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为0设,其中 或 ,即,于是我们有一串等式,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,说明:,定理中用来求最大公因式的方法，,通常称为辗转相除法,注意:, 定理中最大公因式,中的 不唯一., 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式.,如: ，则,取 ，有,取 ，也有,取 ,也有,成立,事实上,若 则对 ，, 若 ，且,则 为 的最公因式,设 为
3、的任一公因式，则,证：,从而,即, 为 的最大公因式,例1,求 ，并求 使,解:,且由,得,例2. 设,求 ，并求 使,因式，即,就可以)，这是因为 和 具有完全相同的,若仅求 ，为了避免辗转相除时出现,注1:,分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始,为非零常数,但是，在不同数域内公因子可能有变化。,注2:,最大公因式的存在性不因数域扩大而改变，,例如,则称 为互素的(或互质的),1定义:,三、互素,若,互素,除去零次多项式外无,说明:,由定义，,其它公因式,定理3 互素 ，使,2互素的判定与性质,证：,显然,设为 的任一公因式，则,从而,又,故,定理4若 ，且 ， 则,证：,使,于是
4、有,又,推论 若 ，且,又,，则,证:,，使,于是 ，使,而,由定理4有,从而,证明：若 ，,则,练习:,若 满足:,定义,i),则称 为 的最大公因式,ii),若,则,四、多个多项式的最大公因式,注：,表示首1最大公因式, ，使,的最大公因式一定存在,互素 使,作业,P455.1） 6.1) 9. 13. 14.,附1:,综合除法,可按下列计算格式求得：,这里，,的形式,说明：,综合除法一般用于,提供网站： ,例1求 除 的商式和余式,解: 由,),有,4,解: ,1,=,2,3,2,3,4,5=,1,3,6,3,6,1,4,4,1,1,10=,5=,10=,附2:,最小公倍式,设 ，若,i),ii) 对 的任一公倍式 ，都有,则称 为 的最小公倍式,注: 的首项系数为1的最小公倍式记作:,