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1、精品_精品资料_第一篇：中学几何常见帮助线口诀人说几何很困难,难点就在帮助线.帮助线,如何添？把握定理和概念.仍要刻苦加钻研, 找出规律凭体会.三角形图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.线段垂直平分线,常向两端把线连.线段和差及倍半,延长缩短可试验.线段和差不等式,移到同一三角去.三角形中两中点,连接就成中位线.三角形中有中线,延长中线等中线.四边形平行四边形显现,对称中心等分点.梯形问题巧转换,变为和.平移腰,移对角,两腰延长作出高.假如显现腰中点,细心连上中位线. 上述方法不奏效,过腰中点全等造.证
2、相像,比线段,添线平行成习惯. 等积式子比例换,查找线段很关键.直接证明有困难,等量代换少麻烦. 斜边上面作高线,比例中项一大片.圆形半径与弦长运算,弦心距来中间站.圆上如有一切线,切点圆心半径连.切线长度的运算,勾股定理最便利.要想证明是切线,半径垂线认真辨.是直径,成半圆,想成直角径连弦.弧有中点圆心连,垂径定理要记全.圆周角边两条弦,直径和弦端点连.弦切角边切线弦,同弧对角等找完.要想作个外接圆,各边作出中垂线.仍要作个内接圆,内角平分线梦圆 假如遇到相交圆,不要忘作公共弦.内外相切的两圆,经过切点公切线.如是添上连心线,切点确定在上面.要作等角添个圆,证明题目少困难.留意点帮助线,是虚
3、线,画图留意勿转变.假如图形较分散,对称旋转去试验.基本作图很关键,平常把握要娴熟.解题仍要多心眼,常常总结方法显.其次篇：添帮助线的原理和方法添帮助线有二种情形：1 按定义添帮助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90 .证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍.证角的倍半关系也可类似添帮助线.2 按基本图形添帮助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添帮助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应当叫做“补图”；这样可防止乱添线,添帮助线也有规律可循.举例如下：（ 1）平行线是个基本图形：可编辑资料 - - - 欢迎下载
4、精品_精品资料_当几何中显现平行线时添帮助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（ 2）等腰三角形是个简洁的基本图形：当几何问题中显现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形.显现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形.（ 3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：显现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线.显现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形.（ 4）直角三角形斜边上中线基本图形显现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线.显现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边就要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上
5、中线基本图形.（ 5）三角形中位线基本图形几何问题中显现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时就添中位线,当有中位线三角形不完整时就需补完整三角形.当显现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点就可过这中点添倍线段的平行 线得三角形中位线基本图形.当显现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中 点,就可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形.（ 6）全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等.假如显现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转.当几何问题
6、中显现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（ 7）相像三角形：相像三角形有平行线型（带平行线的相像三角形）,相交线型,旋转型.当显现相比线段重叠在始终线上时（中点可看成比为1 ）可添加平行线得平行线型相像三角形.如平行线过端点添就可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法.（ 8）特别角直角三角形当显现 30 , 45 , 60 , 135 , 150 度特别角时可添加特别角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1 ： 1 ： 2 . 30 度角直角三角形三边比为1 ： 2 ：
7、 3 进行证明（ 9）半圆上的圆周角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_显现直径与半圆上的点, 添 90 度的圆周角. 显现 90 度的圆周角就添它所对弦 - 直径. 平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦, 水泥, 石灰, 木等组成一样.二基本图形的帮助线的画法1. 三角形问题添加帮助线方法方法 1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍.含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很简洁的解决了问题.方法 2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的学问解决问题
8、.方法 3：结论是两线段相等的题目常画帮助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理.方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采纳截长法或补短法, 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于其次条线段.2. 平行四边形中常用帮助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添帮助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、 垂直,构成三角形的全等、 相像,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理, 其常用方法有以下几种,举例简解如下：（ 1）连对角线或平移对角线：
9、（ 2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（ 3）连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线（ 4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相像或等积三角形.（ 5）过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3. 梯形中常用帮助线的添法梯形是一种特别的四边形.它是平行四边形、 三角形学问的综合, 通过添加适当的帮助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决.帮助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的帮助线有：（ 1）在梯形内部平移一腰.（ 2）梯形外平移一腰（ 3）梯形内平移两腰可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4
10、）延长两腰（ 5）过梯形上底的两端点向下底作高（ 6）平移对角线（ 7）连接梯形一顶点及一腰的中点.（ 8）过一腰的中点作另一腰的平行线.（ 9）作中位线当然在梯形的有关证明和运算中,添加的帮助线并不肯定是固定不变的、单一的. 通过帮助线这座桥梁, 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键.4. 圆中常用帮助线的添法在平面几何中, 解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的帮助线,架起题设和结论间的桥梁, 从而使问题化难为易,顺其自然的得到解决,因此,敏捷把握作帮助线的一般规律和常见方法,对提高同学分析问题和解决问题的才能是大有帮忙的.（ 1）见弦作弦心距有关弦的问题
11、,常作其弦心距（有时仍须作出相应的半径）,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系.（ 2）见直径作圆周角在题目中如已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用直径所对的圆周角是直角 这一特点来证明问题.（ 3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用 切线与半径垂直 这一性质来证明问题.（ 4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题, 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系.（ 5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦, 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来.第三篇：常见作帮助
12、线的方法一：中点、中位线,延线,平行线.如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作帮助线,使延长的某一段等于中线或中位线.另一种帮助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个定理或造成全等的目的.二：垂线、分角线,翻转全等连.如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180 度,得到全等形, 这时帮助线的做法就会应运而生.其对称轴往往是垂线或角的平分线.三：边边如相等,旋转做试验.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角相互协作, 然后把图形旋转肯定的角度,就可以得到全等形
13、,这时帮助线的做法仍会应运而生.其对称中心,因题而异,有时没有中心.故可分“有心”和“无心”旋转两种.四:造角、平、相像,和、差、积、商见.如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相像形有关.在制造两个三角形相像时,一般的,有两种方法：第一,造一个帮助角等于已知角.其次,是把三角形中的某一线段进行平移.故作歌诀：“造角、平、相像,和差积商见.” 托列米定理和梅叶劳定理的证明帮助线分别是造角和平移的代表）五：两圆如相交,连心公共弦.假如条件中显现两圆相交,那么帮助线往往是连心线或公共弦.六：两圆相切、离,连心,公切线.如条件中显现两圆相切（外切,内切）,或相离（内含
14、、外离） ,那么,帮助线往往是连心线或内外公切线.七：切线连直径,直角与半圆.假如条件中显现圆的切线,那么帮助线是过切点的直径或半径使显现直角.相反, 条件中是圆的直径,半径,那么帮助线是过直径（或半径）端点的切线.即切线与直径互为帮助线.假如条件中有直角三角形,那么作帮助线往往是斜边为直径作帮助圆,或半圆.相反, 条件中有半圆,那么在直径上找圆周角直角为帮助线.即直角与半圆互为帮助线.八：弧、弦、弦心距.平行、等距、弦.如遇弧,就弧上的弦是帮助线.如遇弦,就弦心距为帮助线.如遇平行线,就平行线间的距离相等,距离为帮助线.反之,亦成立.如遇平行弦,就平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为帮助线, 反之,亦成立.有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系相互联想作帮助线.九：面积找底高,多边变三边.如遇求面积, （在条件和结论中显现线段的平方、乘积,仍可视为求面积）,往往作底或高为帮助线,而两三角形的等底或等高是摸索的关键.如遇多边形,想法割补成三角形.反之,亦成立.另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其帮助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”.可编辑资料 - - - 欢迎下载