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1、精品_精品资料_2022 年一般高等学校招生全国统一考试北京卷数学理科第一部分 挑选题共 40 分一、挑选题：本大题共8 小题,每题5 分,共 40 分,在每题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1【 2022 年北京,理 1, 5 分】已知集合 A1,0 ,1, Bx |1 x1 ,就 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 0B 1,0【答案】 BC 0,1D 1,0 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 1,0,1 x |1x11, 0,应选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
2、【 2022 年北京,理 2, 5 分】在复平面内,复数22 i对应的点位于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A第一象限B 其次象限C第三象限D第四象限2【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】2i 34i,该复数对应的点位于第四象限,应选D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3【 2022 年北京,理 3, 5 分】 “”是“曲线 ysin 2x过坐标原点 ”的 A充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】, ysin 2 xsin2 x
3、 ,曲线过坐标原点,故充分性成立.ysin2 x 过原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点, sin0 ,k, kZ 故必要性不成立,应选A 4【 2022 年北京,理 4, 5 分】执行如下图的程序框图,输出的S 值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 1B 23C 1321610D 987可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 C【解析】依次执行的循环为S1, i0 . S2, i1 . S313, i2,应选 C21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx115【2022 年北京,理 5,5 分】 函数 fx的图象向右平移 1
4、 个单位长度,所得图象与曲线对称,就 fxyex 关于 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 A ex【答案】 DB eC e x 1D e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x【解析】 依题意, fx向右平移 1 个单位之后得到的函数应为ye x ,于是 fx 相当于 ye向左平移 1 个单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_位的结果,fxe1,应选 D22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_226【 2022 年北京,理 6, 5 分】假设双曲线xyab1的离心率为3 ,就其渐近线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
5、_ A y【答案】 B2xB y2 xC y1 xD y2 x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由离心率为3 ,可知 c3a , b2a 渐近线方程为yb x2a2x ,应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7【 2022 年北京,理 7, 5 分】直线 l 过抛物线等于C : x4 y 的焦点且与 y 轴垂直,就 l 与 C 所围成的图形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 438B 2C3162D3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 C【解析】由题意可知,l 的方程为 y1 如图, B 点坐标为 2
6、,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求面积 S2 x 242dx42x28 ,应选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_300 41232 xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8【2022 年北京, 理 8,5 分】设关于 x , y 的不等式组x m0y m0,表示的平面区域内存在点P x0 ,y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 x02y02 ,求得 m 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, A43 B1,3C, 23D, 5 3可编辑资料
7、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 C【解析】图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y1 x21 上的点,只需要可行域的边界点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m, m 在 y1 x1 下方,也就是 m21 m1 ,即 m22,应选 C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次部分 非挑选题共 110 分二、填空题：共 6 小题,每题 5 分,共 30 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9【 2022 年北京,理 9, 5 分】在极坐标系中,点【答案】 12 ,6到直线sin2 的距离等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【
8、解析】在极坐标系中,点2, 对应直角坐标系中坐标为3,1 ,直线6sin2 对应直角坐标系中的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 ,所以点到直线的距离为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10【2022 年北京,理 10,5 分】假设等比数列an满意 a2a420 , a3a540 ,就公比 q.前 n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 Sn【答案】 2.2n 12aa40nn12 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由题意知 q352 由 aaa 1q2 a q 1q2 20 , a2 S22 可编辑资料 -
9、- - 欢迎下载精品_精品资料_a2a42024211n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11【2022 年北京,理 11,5 分】如图, AB 为圆 O 的直径, PA 为圆 O 的切线, PB 与圆 O 相交于 D ,假设 PA3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PD : DB【答案】 9 , 459:16 ,就 PD . AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】设 PD9k ,就 DB16k k0 由切割线定理可得,PA2PDPB ,即 329k25k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 k1 PD59 , P
10、B55 在 Rt APB 中, AB=ABPB 2PA24 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12【2022 年北京,理 12,5 分】将序号分别为1, 2,3, 4, 5 的 5 张参观券全部分给4 人,每人至少 1 张, 假如分给同一人的2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 【答案】 96可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】连号有 4 种情形,从 4 人中挑一人得到连号参观券, 其余可以全排列, 就不同的分法有 413【2022 年北京,理 13, 5 分】向量 a, b , c 在正方形网格中的位置如下图,假设4 3种C A9613b可编辑资料 - -
11、 - 欢迎下载精品_精品资料_cab,【答案】 4R,就 ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】可设 aij ,i ,j 为单位向量且 ij ,就 b6i2 j ,ci3j 由 cab6i2j ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_61,解得2321 ,4 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14【2022 年北京,理 14, 5 分】如图,在棱长为2 的正方体D1C1ABCDA1B1C1D1 中, E 为 BC 的中A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,点 P 在线段D1E 上,点 P 到直线B1CC1 的距离的最小值为 P可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 25DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5【解析】过 E 点作EE1 垂直底面A1B1C1D1 ,交B1C1 于点E1 ,连接EABD1 E1 ,过 P 点作 PH 垂直于底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1B1C1D1 ,交D1 E1 于点 H , P 点到直线 CC1 的距离就是C1H ,故当C1H 垂直于D1 E1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 点到直线CC1 距离最小,此时,在Rt D1C1E1 中,C1HD1E1,D1 E1C1HC1D1C1 E1 ,可编辑资料 -
13、- - 欢迎下载精品_精品资料_ C1H22555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题：共 6 题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15【2022 年北京,理 15, 13 分】在1求 cosA 的值.2求 c 的值ABC 中, a3 , b2 6 , B2A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由于 a3 , b2 6 , B2A ,所以在ABC 中,由正弦定理得326可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 2sinAcosAsinA266故 cosA33sin Asin
14、2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 1知, cos A=6 ,所以sin A23又由于B2A ,所以21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos A33cosB2cos A13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_si nB1cos2B22在 ABC 中,3sinCsin ABsinAcosBcosAsinB53asin Cc5 9sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16【2022 年北京,理 16, 13 分】以下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,
15、空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机挑选 3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市,并停留 2 天1求此人到达当日空气重度污染的概率.空 250气 200质量 150指数 1005022014386571602171601211588679可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_254037可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望.3由图判定从哪天开头连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明01日 2 日 3 日 4日 5 日 6日 7日 8 日 9 日10 日11 日12 日1
16、3日 14 日日期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设Ai 表示大事 “此人于 3 月 i 日到达该市 ”i1,2, ,13 依据题意,PAi1 ,且 AiAj 13ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 B 为大事 “此人到达当日空气重度污染”,就BAA P BP AA PAPA2 58585813可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由题意可知, X 全部可能取值为 0,1,2,且P X01P X1) P X25 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P X1) P AAAA PAPAPAPA4 .可编辑资料 - - - 欢迎
17、下载精品_精品资料_367113671113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P X2) P AAAA P AP AP APA4所以 X 的分布列为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212131212131301254413131312X P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 X 的期望 EX051424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_131313133从 3 月 5 日开头连续三天的空气质量指数方差最大A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17【2022 年北京, 理 17,14 分】如图,在三棱柱ABCA1B
18、1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形 平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面 ABC平面AA1C1C , AB3 , BC5 C 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求证：AA1平面 ABC .AB3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求证二面角A1BC1B1 的余弦值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3证明：在线段BC1 上存在点 D ,使得ADA1B ,并求BD BC1的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由于AA1C1C 为正方形,所以AA1AC
19、由于平面 ABC平面AA1C1C ,且AA1 垂直于这两个平面的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 AC ,所以AA1平面 ABC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 1知AA1AC , AA1AB 由题知 AB3 , BC5 , AC4 ,所以 ABAC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系Axyz ,就B 0,3,0, A1 0,0,4, B1 0,3,4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1 4,0,4设平面A1 BC1 的法向量为 n x
20、, y, z ,就nA1BnA1C 103 y,即04x4z00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 z3,就 x0 ,y4 ,所以 n0,4,3同理可得, 平面B1BC1 的法向量为 m3,4,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 cosn, m= cosn, mn m16 由题知二面角ABCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| n |m |25111 为锐角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以二面角ABCB 的余弦值为 16 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3设111D x, y, z 是直线BC1 上一点,
21、且25BDBC1 ,所以 x, y3, z 4,3,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x4, y33, z4所以 AD4 ,33 ,4 由AD A1B0 ,即 9250 ,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 由于 9 25250,1 ,所以在线段BC1 上存在点 D ,使得ADA1B 此时,BD9BC125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18【2022 年北京,理 18, 13 分】设 l 为曲线1求 l 的方程.C : yln x 在点 1,0 处的切线x可编辑资料 - - - 欢迎下
22、载精品_精品资料_2证明：除切点1,0 之外,曲线 C 在直线 l 的下方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1设 fxln x,就 fx1ln x2所以 f11 所以 L 的方程为 yx1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令xg xx1xfx,就除切点之外,曲线C 在直线 L 的下方等价于 g x20x0,x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 满意g 10 ,且 gx1fxx1ln22xx当 0x1时, x210 ,lnx0 ,所以 gx0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 g x单调递减.当x1时,x10 , ln
23、x0 ,所以 gx0 ,故 gx单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,gxg10x0, x1) 所以除切点之外,曲线C 在直线 L 的下方22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19【2022 年北京,理 19, 14 分】已知A, B, C 是椭圆W : xy 41 上的三个点, O 是坐标原点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当点 B 是 W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积.2当点 B 不是 W 的顶点时,判定四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1椭圆 W
24、x22,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_：y1 右顶点 B 的坐标为4由于四边形 OABC 为菱形, 所以 AC 与 OB 相互垂直平分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以可设A1,m,代入椭圆方程得1m41 ,即 m3 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以菱形 OABC 的面积是1 OB AC2122 m3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设四边形 OABC 为菱形由于点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设AC 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxm k0, mx 20
25、由4 y 24 ,消 y 并整理得14k 2 x 28kmx4m240 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x1,y1 , C x2, y2 ,就 x1x24kmy1y22 ,kx1x2mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2214k2214k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 AC 的中点为 M4km,m由于 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线OB 的斜率为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14k2214k4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于
26、k11 ,所以 AC 与 OB 不垂直所以 OABC 不是菱形,与假设冲突4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不行能是菱形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20【2022 年北京,理20,13 分】已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为An ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4第 n 项之后各项an 1 , an 2的最小值记为Bn , dnAnBn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 an的值.为 2,1,4,3,2,1,4,3 ,是一个周期为 4
27、的数列即对任意nN* , aan ,写出d1, d2 , d3, d4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 d 是非负整数,证明：dndn1,2,3的充分必要条件为an是公差为 d 的等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3证明：假设a12 , dn1 n1,2,3,就 an的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 d1d21, d3d43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2充分性由于an是公差为 d 的等差数列,且 d0 ,所以 a1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
28、_因此 Anan , Bnan 1 , dnanan 1d n1,2,3, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必要性由于 dnd0 n1,2,3, ,所以 AnBndnBn 又由于 anAn ,an 1Bn ,所以 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是, Anan , Bnan 1 ,因此an 1anBnAndnd ,即an是公差为 d 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由于a12 , d11 ,所以 A1a12 , B1A1d11 故对任意 n1, anB11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 ann2
29、中存在大于 2 的项设 m 为满意 am2 的最小正整数, 就 m2 ,并且对任意 1km,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak2 又由于a12 ,所以Am 12 ,且 Amam2 于是, BmAmdm211 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Bm 1min am,Bm2 故dm 1Am 1Bm 1220 ,与dm 11 冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以对于任意n1 ,有 an2 ,即非负整数列an的各项只能为 1 或 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于对任意 n1 , an2 a1 ,所以 An2 故 BnAndn211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此对于任意正整数n ,存在 m 满意 mn ,且 am1 ,即数列an有无穷多项为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载