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1、精品_精品资料_2022 年山东省一般高等训练专升本考试2022 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商治理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业： 电气工程及其自动化、 电子信息工程、 机械设计制造及其自动化、交通运输、运算机科学与技术、土木 工程2022 年 5 月 17 日星期五曲天尧编写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、求极限的各种方法1. 约去零因子求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：求极限lim x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x 1x1可编辑资料 - - - 欢
2、迎下载精品_精品资料_【说明】 x1说明x与1无限接近,但 x1 ,所以 x1这一零因子可以约去.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】lim x1 x21 x1lim x1 x 216 =4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1x12. 分子分母同除求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：求极限x3x2lim3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】li
3、mxx3x23x 3111133limxx1x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】 1 一般分子分母同除x 的最高次方.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2limmanxxmn11an 10mnna0mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xbm xbm 1xb0anmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bn3. 分子 母有理化求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3：求极限lim x23xx 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式.可编辑资料
4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】limx2lim x3x2x 23x 22x101limx23x 21x 23x 21x23x 21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：求极限lim1tan x13sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】lim1tanx1sin xlimtan xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x 3x0 x31tan x1sin x可编辑资料
5、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim1limtan xsin x1 limtan xsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01tan x1sin x x0x32 x0x 34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】此题除了使用分子有理化方法外,准时分别极限式中的非零因子 是解题的关键4. 应用两个重要极限求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个重要极限是limsin x1和 lim 11 xlim 11 nlim 11x xe ,第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x
6、0xxxnnx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重要极限过于简洁且可通过等价无穷小来实现.主要考其次个重要极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：求极限xlimx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】其次个重要极限主要搞清晰凑的步骤：先凑出,再凑1,最终凑指数部分.X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】xlimx12lim1x 12x2lim11121x122e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1xx1xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
7、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6： 1lim1x1. 2已知xlimx2a8 ,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2xxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln1x ex1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos x 1 x2 , 1ax b21 abx .可编辑资料
8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的因式.(3) 此方法在各种求极限的方法中应作为首选 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7：求极限limx ln1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 1cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】limx ln1xlim x x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 1cosxx0 1 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8：求极限limsin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0tan3 x可
9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】limsin xxlimsin xxlimcos x12x1lim21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0tan3 xx0x3x03x 2x03 x26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 用洛必达法就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9：求极限limln cos 2 xln12sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】或0 型的极限 ,可通过罗必塔法就来求.
10、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】limln cos 2 xln12sin 2 xlim2 sin 2x cos2xsin 2x1 sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx02x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin 2 x213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02 xcos 2x1sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】很多变动上显的积分表示的极限,常用洛必达法就求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10：设函数 fx 连续,且f 00 ,求极限x xli
11、m0t f t dt.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0f xt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 由于xf x0x t ut dt0f uxduxf udu ,于是0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xt f(t) dtxf t dttf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim0lim00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0f xx0t dtxxf udu0可编辑资料 - - -
12、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= limxf t dt0xf xxf x= limxf t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0f uduxf xx0x0f uduxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= limxf t dt0xf 01=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xf0(u) duxf xf 0f 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 用对数恒等式求limf x g
13、 x 极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11：极限lim 1ln12x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 ln 1ln 1x xlim2 ln 1ln 1x lim 2 ln 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x00【解】lim 1ln1x x = lim e x= exexe 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
14、_【注】对于 1 型未定式limf x g x 的极限,也可用公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf x g x 1 = elimf x1 g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于limf xg x limeg x ln f x lim g x ln 1ef x 1limef x1 g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12：求极限limx12cos x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载
15、精品_精品资料_x0 x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解 1】 原式lim2 cosxx lne3ln1 lim2 cos x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3x0x21（ si nx）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l （n2c ox）sl n 32c o xs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l i m2x0xl i mx02x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 l i m1si xn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x02c oxsx2 cosx62cos x可编辑资料 -
16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_【解 2】 原式limx lne3ln1lim3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3（1x0x2co sx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln）3c o sx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim2x0xl i m2x03 x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 利用 Taylor 公式求极限a xa x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13求极限lim2, a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
17、_【解】2a xex ln a1x ln axln 2 a 2 x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a x1x ln axln 2 a 2 x2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xa x2x 2 ln 2 a x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlim aa x2limx 2 ln 2 a x2 ln 2 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x 2x0x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例
18、14求极限lim 1 1cot x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】lim1 1cotxlim1 sinxxcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xxx0 xx sin xx3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx3 x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim3.2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 11 x32.3.x3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
19、_x0x33 .9. 数列极限转化成函数极限求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15：极限limn 2nsin 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn【说明】这是 1 形式的的数列极限,由于数列极限不能使用洛必达法就,如直接求有肯定难度,如转化成函数极限,可通过7 供应的方法结合罗必塔法就求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】考虑帮助极限limx 2x sin 1limx 2 xsin 1 1exlim1e y 21 sin y 11ye 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
20、精品资料_所以,limnn21nsin 1e 6n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1) 用定积分的定义把极限转化为定积分来运算;(2) 利用两边夹法就求极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16：极限limn1n 2121n 2221n 2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分运算, 是把f x看成 0,1定积分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 1f1f2nnnnn1
21、ff x dxn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】原式lim 1111nn1 22 2n 2111nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17：极限lim11dx01x2111 ln212211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 21n 22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】 1该题遇上一题类似, 但是不能凑成lim 1f1f2nnnnfn的形式,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因而用两边夹法就求解.2两边夹法就需要放大不等式,常用的方法是都换
22、成最大的或最小的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】由于又limn1n 21nn 2nlimn1n 221n 21lim1n 2n1n 22n11n 2nnn 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n所以limnn 2n12n1nn 211122n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11单调有界数列的极限问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18：设数列xn满意 0x1, xn 1sinxn n1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明 limnxn 存在
23、,并求该极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）运算limn1x2xn 1n.xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】一般利用单调增加有上界或单调削减有下界数列必有极限的准就来证明数列极限的存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【详解】（）由于0x1,就 0x2sin x11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可推得0xn 1sin xn1, n1,2,就数列xn 有界 .可编辑资料
24、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是xn1sin xn1 ,（因当 x0时,sinxx ）, 就有xx ,可见数列x单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xnxnn 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调削减,故由单调削减有下界数列必有极限知极限limnxn 存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 lim xnnl ,在 xn1sinxn 两边令 n,得lsinl ,解得 l0 ,即 lim xn
25、0 .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnxx 2sin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）因limn 1nxnlimnn,由（）知该极限为1 型,xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim121 sin x xlim1ex 21sin x 1xlimsin x x 2ex 31e 6使用了洛必达法就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0x0111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2xn 1nsin
26、xnn6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2故limlime.nxnnxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、常见不定积分的求解方法的争论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容,它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础,要解决以上问题,不定积分的问题必需解决,而不定积分的基础就是常见不定积分的解法.不定积分的解法不像微分运算时有肯定的法就,它要依据不同题型的特点采纳不同的解法,积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且也已证明,有很多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如可编辑资料 -
27、 - - 欢迎下载精品_精品资料_dxsin22xdxe x dx1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21k sinx （其中 0k1）.x.ln x等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这一方面表达了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的进展.同时,同一道题也可能有多种解法,多种结果,所以,把握不定积分的解法比较困难,下面将不定积分的各种求解方法分类归纳,以便于更好的把握、运用.1. 不定积分的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：在某区间 I 上的函数的全体原函数记为f x,如存在原函数, 就称f x为可积函数, 并将f x可编辑
28、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称它是函数f x在区间 I 内的不定积分, 其中为积分符号,f x称为被积函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 称为积分变量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 F x 为f x的原函数,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dx= F x+CC 为积分常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在这里要特殊留意,不定积分是某一函数的全体原函数,而不是一个单一的函数,它的几何
29、意义是一簇平行曲线,也就是说：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d dx f xdx 和f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是不相等的,前者的结果是一个函数,而后者是无穷多个函数,所以,在书写运算结果时肯定不能遗忘积分常数.性质：1. 微分运算与积分运算时互逆的.注：积分和微分连在一起运算时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 完全抵消.d 抵消后差一常数.2. 两 函 数 代 数 和 的 不 定 积 分 , 等 于 它 们 各 自 积 分 的 代 数 和 , 即 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg x dx =f
30、xdx g xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在求不定积分时,非零数可提到积分符号外面,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kf xdx = kf xdx k 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在这里,给出两个重要定理：(1) 导数为 0 的函数是常函数.(2) 如两函数的导数到处相等,就两函数相差一个常数.以便于更好的解决一些简洁的不定积分问题.上面将不定积分的概念以及性质做了简洁的介绍,下面,我们开头争论不定积分的各种求解方法.2. 直接积分法 公式法 从解题方面来看, 利用不定积分的定义来运算不定积分是特别不便利的, 利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分,这种方法就是直接积分法 另称公式法 .下面先给出基本求导公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11kxk2 x x可编辑资料 - - - 欢