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1、数形结合思想 在小学数学教学中的运用,四川省德阳市第一小学 张洪明,（一）基本理念的修订,（二）设计思路、具体内容和表达方式的修订,数学的解释、核心理念、双基变四基、两能变四能、教师与生都为主、过程与结果同为重,主要是四个领域的删、减、增、移， 以及在其中贯彻增加核心概念（比如运算能力、几何直观、模型思想等）,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,实验稿： 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 修改稿：（简洁、明了） 数学是研究数量关系和空间形式的科学。,1、关于数学的解释,2、关于核心理念中“面
2、向全体学生”,实验稿： 人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 修改稿： 人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,实验稿： 双基：基础知识、基本技能。 修改稿： 四基：基础知识、基本技能、 基本思想、基本活动经验。,3、关于“双基”教学变“四基”教学。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本思想： 史宁中教授特别提到：抽象思想、推理思想、模型思想 核心思想：归纳和演绎（而演绎、化归、转化、类比都属于推理思想） 常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法
3、、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本活动经验：,一 种 方 法 是：1个5，2个5，3个5。 另一种方法是：1个3，2个3，3个3，4个3，5个 3。 这一系列数学思维活动，就为后边学习53积累了相关的数学活动经验。,比如：让学生很快数出有多少颗五星。,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,基本活动经验： 数学活动经验，不仅仅是解题经验，更多的是数学思维活动的经验，数学思考习惯的经
4、验。不断积累！,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,实验稿： 重点是分析问题和解决问题的能力 修改稿： 明确提出： 发现和提出问题能力 分析和解决问题能力,4、关于“两能”到“四能”：,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,修订稿中十大核心概念：数 感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,几何直观（数形结合）,十大核心概念之一,一、修订稿与实验稿的区别基本理念的修订,几何直观,修订稿：几何直观利用图形描述问题和分析问题。把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。,简
5、单地说：就是指依托图形进行数学思考、想象。,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,数形本是相倚依，焉能分作两边飞？ 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休， 几何代数统一体，永远联系莫分离。,华罗庚,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。 斯蒂恩（美国数学家）,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,要看到图形，借助数看图形！ 要看到数，借助图形看数！ 把数学画出来！ 把事物量出来！ 促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展 沟通了数学知识之间的联系, 从复杂的数量关系中凸显
6、最本质的特征,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,运用于数学的各个领域,几何直观运用领域,我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,几何直观的表现形式,借助图形 展开想象 揭示规律,几何图形、线段图、数轴、 方格纸、 坐标、方向标、 示意图、 列表、动画等一系列,图形,二、几何直观（数形结合）的基本概念。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,100以内数的认识,4,6,10枝,46,三、数形结
7、合思想在小学数学教材中的体现,（ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；,把阴影部分分别用分数和小数表示。,分数（ ） 小数（ ）,分数（ ） 小数（ ）,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 2 ）计算中的形 运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）解决问题中的形 画线段图表示数量关系。,甲比乙多1/4。 （鼓励学生画）,
8、乙：,甲：,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）解决问题中的形 画线段图表示数量关系。,甲比乙多 1/4 （鼓励学生画）,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）解决问题中的形 画线段图表示数量关系。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）解决问题中的形 解决问题的直观策略,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少。 折线统计图形象地表示数量发展的趋势。 扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。,三、数形结合思想在小学数学教材中的体现,（ 3 ）统计中的图形,三、数形结合思想在小学数学教材中的
9、体现,（ 4 ）函数的多重表示及坐标系,四、数形结合思想的培养,1、在教学中使学生逐步养成画图的习惯 教学中应有这样的导向：能画图的尽量画将相对抽象的思考对象“图形化”,2、重视变换让图形动起来 几何变换或图形的运动是几何，也是整个教学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。 例如：平行四边形、三角形、梯形、圆形等面积公式的推导，让学生经历公式的形成过程； 图形的平移和旋转； 图形的位置和方向变换、图形的放大与缩小；,四、数形结合思想的培养,3、学会从“数”与“形”两个角度认识 数学 数学的许多教学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征。数形结合是认识数学的基本方法
10、，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学教学中只能让学生隔靴搔痒。,四、数形结合思想的培养,4、掌握、运用一些基本图形解决问题 利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。,四、数形结合思想的培养,五、数形结合思想在解题问题中的运用举例,用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用三个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？
11、,数形结合运用（一）质数合数,用四个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用五个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用六个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用七个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用八个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的
12、？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用九个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,用十二个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？,数形结合运用（一）质数合数,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,数形结合运用（二）计算,1,1+3=22,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5=33,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,数形结合运用（二）计算,1,1+
13、3,1+3+5,1+3+5+7=44,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,数形结合运用（二）计算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9=？,数形结合运用（二）计算,1+3+5+7+9+11,数形结合运用（二）计算,1+3+5+7+9+11,6 5 4 3 2 1,数形结合运用（二）计算,计算 ： ,数形结合运用（二）分数计算,计算 ： ,1 2,1 4,1 8,1 16,1 32,“1”,数形结合运用（二）分数计算,问题：全班有8个小组，每组6人。每位同学向西部儿童捐书3本，全班一共捐书多少本？,数形结合运用（二）连乘问题,
14、每人3本,每人3本,问题：全班有8个小组，每组6人。每位同学向西部儿童捐书3本，全班一共捐书多少本？,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每组 6人,8个小组,？,用彩色涂出2/51/3=,数形结合运用（二）分数乘法,用彩色涂出2/51/3=,数形结合运用（二）分数乘法,三年级题目：学校有一段走廊长6米，宽3米。在走廊地面铺上边长是3分米的正方形地砖，需要铺多少块？,339（平方分米）,60301800（平方分米）,18009200（块）,大面积小面积,？,数形结合运用（三）铺地砖,120分米,60分米,120340(块),60320(行),4020800(块),每行块
15、数行数总块数,五年级题目：在长宽高分别为40dm、30dm、20dm的长方体木块切割成棱长为8dm的正方体，能切割成多少个？,“大体积小体积”。,数形结合运用（三）割长方体,六年级题目，如：用长1.1m，宽0.9m的长方形纸片剪成几个直径为2dm的圆，可以剪多少个？,“大面积小面积”,数形结合运用（三）剪圆,六年级题目：请用数学思维解决问题：三人同时从工厂乘出租车回家，事先讲好三人分担车费，丙最后到达终点付车费90元，已知甲到了全程的1/3处下了车，乙在全程的2/3处下了车。问甲乙分别应付给丙多少钱？,数形结合运用（四）支付租车费,第一层次：90元3=30元；,第二层次：1/32/31123，
16、甲：90元1/6=15元； 乙：90元2/6=30元； 丙：90元3/6=45元；,1/3,2/3,“1”,甲：30元3=10元； 乙：30元330元2=25元； 丙：30元330元230元=55元。,30元,第三层次：,长,宽,面积,长方形的面积=长宽,数量,总价,总价=单价数量,单价,数形结合运用（五）矩形运用,（二）解决问题 问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？,总千克数 =每天吃的千克数天数,长方形的面积= 长 宽,数形结合运用（五）矩形运用,（二）解决问题 问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际
17、每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？,总千克数 =每天吃的千克数天数,提前2天吃完,多吃 5千克,计划吃8天,A,B,原计划每天吃多少千克？,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,减少20%,2米,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，
18、一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,减少20%,2米,减少1/5，把正方形的边长平均分成五份，减少其中1份，还剩下4份,数形结合运用（五）矩形运用,一个正方形，一条边减少20%，另一条增加2米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米,1份,2米,4份,B,A,C,数形结合运用（五）矩形运用,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见
19、下图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,数形结合运用（六）解决问题,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,数形结合运用（六）解决问题,A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？,数形结合运用（七）逻辑推理,A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？,数形结合运用（七）逻辑推
20、理,数形结合运用（八）差一块,我看了图,是一个三角形重新,拼装后,似乎多了个洞,你可能理解成面积在减少,但我看就是把原来没洞的,拼成了有洞的形状,面积丝毫也没变.因为,我们看到的一条斜边,并非直线,而是折线,上图是往内折,下图是往外折,这里相差的面积,刚等于那个洞.我们如有兴趣,可以计算一下面积:一小方块为1,绿:8,橙:7,红:(3*8)/2=12,墨绿:(2*5)/2=5,总面积=8+7+12+5=32;长为13,高为5的三角形的面积=(5*13)/2=32.5;直线和折线所形成的三角形恰是0.5,这样,大家看清楚了.如果,再测定一下折线的角度,可得:178.25度,你能用肉眼测定这个角度吗?又想到了一条可用肉眼证明这斜边不是直线的方法:这图是画在5*13的小方格上的,5,13,是互素的,所以,这对角线必然不经过中间的任何交叉点,而现在,我们能在两张图上都能发现此线经过一个(不同的)交叉点,所以,他们都不是直线.(而是折线),设计说明： 几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。,