《2022年高中数学数列知识点总结精华版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数列知识点总结精华版.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一、数列1. 数列的定义： 依据肯定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.数列中的数是按肯定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”因此,假如组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复显现项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集 或它的有限子集 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不肯定是数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 通项公式：假如数列an的第 n
2、项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做这个数列的通项公式,即a nf n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 递推公式：假如已知数列an的第一项（或前几项）,且任何一项an 与它的前一项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1（或前几项） 间的关系可以用一个式子来表示,即 anf an1 或 anf a n1 , a n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么这个式子叫做数列an的递推公式.如数列an中, a11, an2 an1 ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
3、料_a n2 an1 是数列an的递推公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 数列的前 n项和与通项的公式S1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sna1a2a n . a n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1 n25. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列,无穷数列.递增数列,递减数列,摇摆数列,常数数列.有界数列,无界数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递增数列 : 对于任何 n递减数列 : 对于任何 nN, 均有 an 1N, 均有 an 1an .an .可编辑
4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摇摆数列 : 例如 :1,1,1,1,1,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数数列 : 例如 :6,6,6,6,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有界数列 : 存在正数 M 使 anM , nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n无界数列 : 对于任何正数M , 总有项an 使得 anM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知 ann2n156nN * ,就在数列 a 的最大项为 （答：
5、1）.25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列 a 的通项为 aan,其中a ,b 均为正数, 就a 与 a的大小关系为 （答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anann1 ）.nbn1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知数列 an 中,an2n ,且 an 是递增数列, 求实数的取值范畴 （答：3 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4、一给定函数yf x的图象在以下图中,并且对任意a10,1 ,由关系式an 1f
6、an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到的数列 an 满意 an 1an nN * ,就该函数的图象是（）（答： A ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、 等差数列1、 等差数列的定义：假如数列an 从其次项起每一项与它的前一
7、项的差等于同一个常数,那 么 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差 . 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nan 1d nN * , 且n2 .或 a n1and nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 （1）等差数列的判定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 定义法 ： an1and 常数 a n 为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 中项法 ：2a n 1anan2a n 为等差数列.可编辑资料 - -
8、 - 欢迎下载精品_精品资料_ 通项公式法 ： a nanb （ a,b 为常数）a n 为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 前 n 项和公式法 ： snA n 2Bn （ A,B 为常数）a n 为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如设 an a1a 2是等差数列, 求证：以 bn=na nnN* 为通项公式的数列 bn 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列.（ 2）等差数列的通项：ana1n1d 或 anam nm d .公
9、式变形为 : a nanb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 a=d, b=a1 d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1、等差数列 an中, a1030 ,a2050 ,就通项 an（答： 2 n10 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 首项为 -24 的等差数列,从第10 项起开头为正数,就公差的取值范畴是 （答： 8d3 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 等差数列的前n 和： Snna12an , Snna1n n21d .公式变形为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nsAn 2d
10、Bn ,其中 A= 2,B=a 1d . 留意 ：已知 n,d,a1 , an ,2sn 中的三者可以求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另两者,即所谓的“知三求二”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 数列 an 中, anan 11 n22, nN * , a315,前 n 项和 Sn,就22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 , n （答： a13, n10 ）.（ 2）已知数列 an 的前 n 项和 Sn12nn2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12nn2 n6, nN
11、 * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列 |an | 的前 n 项和 Tn （答： Tn2*） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n12n72n6, nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） 等差中项： 如a, A,b 成等差数列,就A叫做 a 与 b
12、 的等差中项,且Aab .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示 ：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：a1 、 d 、n 、an 及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素.只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知3 求 2.（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为,a2d ,ad , a, ad , a2d（ 公 差 为 d ）. 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为,a3d , ad , ad
13、, a3d ,（公差为2 d ）3. 等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当公差 d0 时,等差数列的通项公式ana1n1ddna1d 是关于 n 的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次函数, 且斜率为公差d .前 n 和 Snann1 dd n 2ad n 是关于 n 的二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数且常数项为0.等差数列 a 中, Sn 是 n 的一次函数, 且点（ n, Sn ）均在直线y = d x可编
14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+ annn21 d 上2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如公差d0 ,就为递增等差数列,如公差d0 ,就为递减等差数列,如公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d0 ,就为常数列.（ 3）对称性：如a n 是有穷数列,就与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 . 当 mnpq 时 , 就 有 amana paq, 特 别 的 , 当 mn2 p 时 , 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载
15、精品_精品资料_如 1、等差数列 an 中, Sn18,anan 1an 23, S31,就 n （答： 27）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在等差数列an中,a100,a110 ,且a11| a10 | , Sn 是其前 n 项和,就A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1 , S2S10 都小于 0, S11, S12都大于 0B、 S1 , S2S19 都小于 0, S20 , S21都大于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0C、S1, S2S5 都小于 0, S6 , S7都大于 0D 、S1, S2S20 都小于 0, S21,
16、 S22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都大于 0（答： B）4项数成等差,就相应的项也成等差数列. 即a k ,akm ,ak2m ,.k ,mN * 成等差 . 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 、 b 是等差数列, 就 ka 、 kapb k 、 p 是非零常数 、 a p, qN * 、nnnnnp nq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S , SS, SS（公差为n 2 d）,也成等差数列,而 aan 成等比数列.如 a 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2nn3 n2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
17、品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列,且an0 ,就 lgan是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如等差数列的前n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前3n 和为.（答： 225）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）在等差数列 an 中,当项数为偶数2n 时,snna n
18、an1 . s偶s奇nd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s偶a n 1.s奇an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项数为奇数2n1时,s2 n 12n1a n . s偶s奇s偶n1sna1.奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1、在等差数列中,S1122,就 a6 （答： 2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、项数为奇数的等差数列 an 中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中间项与项数（答：5. 31）.（ 6）单调性：设d 为等差数列a n 的公差,就d0a n
19、是递增数列.d0a n 是递减数列.d=0a n 是常数数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7如 等 差 数 列 an、 bn的 前 n 和 分 别 为An 、AnBn , 且Bf n , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2nbn2 n1) an 1bnA2n 1B2n 1f 2 nn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 设 an 与 bn 是 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 Sn和 Tn , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料
20、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S n3 n1 ,那么an 6 n2（答：）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tn4 n3bn8 n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l m（ 8）设 a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项, 且 a l 与 a m ,a m 与 a n 的项距差之比=m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）,就 a m =alan1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 9）在等差数列 an 中, Sn= a , Smn= b n m,就 S m nn
21、m a b m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、已知a n 成等差数列,求sn 的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a10 ,d0 且满意anan 10,就0sn 最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是全部非负项之和.“首负”的递增等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差数列中, 前 n 项和的最小值是全部非正项之和.法一： 由不等式组an0或an 10an0an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定出前多少项为非负（或非正）.法二：因等差数列前n 项是
22、关于 n 的二次函数,故可转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性n N *.上述两种方法是运用了哪种数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思想？（函数思想） ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1、等差数列 an 中, a125 , S9S17 ,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答：前13 项和最大,最大值为169）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如 an 是等差数列,首项a10,a2022a2
23、0220 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2022a20220 ,就使前n 项和 Sn0 成立的最大正整数n 是（答： 4006）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 留意 ：公共项仅是公共的项,其项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数不肯定相同,即争论an三、等比数列bm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、等比数列的有关概念： 假如数列an 从其次项起每一
24、项与它的前一项的比等于同一个常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比.即ana n 1q nN * , n2) （或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1anqnN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比数列的判定方法：定义法an 1anqq为常数 ）,其中 q0, an0 或 an 1ananan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n2 .如 1、一个等比数列an 共有 2n1 项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,就 a
25、n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 （答： 5 ）.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、数列 an 中, Sn =4 an1 +1 n2 且a1 =1,如 bnan 12an,求证： 数列 bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等比数列.3、等比数列的通项：1n maa qn或 aa q.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - -
26、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 设等比数列 an 中, a1an66 , a2 an1128,前 n 项和Sn 126,求 n 和公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q .（答： n6 , q1或 2）2a 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、等比数列的前n 和： 当 q1时,Sna .当 q1 时, S11n.可编辑资料 - - - 欢迎
27、下载精品_精品资料_1qn1n1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如等比数列中,q 2,S99=77 ,求 a3a6a99 （答： 44）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示： 等比数列前n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n 项和时, 第一要判定公比 q 是否为 1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比q 是否为 1 时,要对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q 分 q1和 q1两种情形争论求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、等比中项： 假如 a、G、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等
28、比中项, 即 G=ab .提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知两个正数a, b ab 的等差中项为A,等比中项为B,就 A 与 B 的大小关系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （答： A B ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示 ：（ 1）等比数列的通项公式及前 n 项和公式中, 涉及到 5 个元素：a1 、 q 、n 、an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素.只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出
29、其余2个,即知3 求 2.（2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2q2 , q , a, aq, aq（公比为q ）.但偶数个数成等比时,不能设为a , a , aq, aq q 3q3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为q2 .如有四个数,其中前三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,其次个数与第三个数的和为12,求此四个数. （答： 15, ,9, 3,1 或 0,4
30、, 8,16） 6、等比数列的性质：2（ 1）对称性： 如 a n 是有穷数列, 就与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即当 mnpq 时,就有am .ana p .aq ,特殊的, 当 mn2 p 时,就有am .ana p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 1 、在等比数列 an中,a3a8124, a4a7512 ,公比 q 是整数, 就 a10 = （答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_512）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、各项均为正数的等比数列 an 中,如 a5a6
31、9 ,就log 3 a1log3 a2log3 a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： 10）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如 an 是公比为q 的等比数列,就| a| 、a 2 、 kan 、1 也是等比数an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
32、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n列,其公比分别为| q | 、q 2 、q 、1 .如 a 、 b 成等比数列,就 a b 、an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn nbqn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成等比数列.如 an 是等比数列,且公比q1 ,就数列Sn , S2 nSn , S3nS2n,也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等比数列.当q1 ,且 n 为偶数时,数列Sn , S2nSn , S3 nS2n,是常数数列0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它不是等比数列.如 a n 是等比数列,且各项均为正数,就log a an成等差数列.如项数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 3n 的等比数列 q 1 前 n 项和与前n 项积分别为S1 与 T1 ,次 n 项和与次n 项积分别为 S 2 与 T 2 ,最终 n 项和与 n 项积分别为S3 与 T3 ,就 S1 ,S2 ,S3 成等比数列, T1 ,T 2 , T 3 亦成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精