《2022年高中数学竞赛平面几何讲座第讲--点共线线共点 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学竞赛平面几何讲座第讲--点共线线共点 .docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、 线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理的应用.1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是： 通过邻补角关系证明三点共线. 证明两点的连线必过第三点.证明三点组成的三角形面积为零等. nn 4点共线可转化为三点共线.例 1如图,设线段 AB 的中点为 C,以 AC 和 CB 为对角线作平行四边形 AECD, BFCG.又作平行四边形 CFHD ,CGKE.求证： H,C, K 三点共线.证 连 AK, DG, HB.由题意, AD EC KG,知四边形 AKGD 是平行四边形,于是 AK DG.同样可证 AK HB.四边形 AHB
2、K 是平行四边形,其对角线 AB,KH 相互平分.而C 是 AB 中点,线段 KH 过 C 点,故 K,C, H 三点共线.GDKACB HEF例 2如以下图,菱形 ABCD 中,A=120,O 为ABC 外接圆, M 为其上一点,连接 MC 交 AB 于 E,AM 交 CB 延长线于 F.求证： D,E,F 三点共线.MAFEBODC证 如图,连 AC,DF , DE.由于 M 在O 上,就 AMC=60=ABC=ACB,有 AMC ACF,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MCCFCF.MACACD又由于 AMC=BAC,所以 AMC EAC,得可编辑资料 - - - 欢迎
3、下载精品_精品资料_MCACMAAEAD .AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 CFCDAD,又 BAD=BCD=120,知 CFDAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADE.所以 ADE= DFB .由于 ADBC,所以 ADF=DFB= ADE,于是 F,E,D 三点共线.例 3 四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P,AD 与 BC 的延长线交于点 Q.由 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF,切点分别为 E, F.求证： P, E, F 三点共线.A FGDB CQ E EM证如图.P连接 PQ,并在 PQ 上取一点
4、M,使得 B,C, M,P 四点共圆,连 CM, PF.设 PF 与圆的另一交点为 E,并作 QG 丄 PF,垂足为 G.易如QE2=QM QP=QCQBPMC=ABC=PDQ.从而 C,D, Q,M 四点共圆,于是PMPQ=PC PD由,得PMPQ+QMPQ=PC PD+QCQB, 即 PQ2=QCQB+PCPD.易知 PDPC=PEPF,又 QF2=QC QB,有 PEPF+QF2=PDPC+QC AB=PQ2,即 PEPF=PQ2-QF2.又PQ2 QF2=PG2GF2=PG+GFPGGF=PFPG GF,从而 PE=PGGF=PGGE,即 GF=GE,故 E与 E 重合.所以 P, E
5、, F 三点共线.例 4 以圆 O 外一点 P,引圆的两条切线 PA,PB,A,B 为切点.割线 PCD 交圆 O 于 C,D.又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E.假设 F 为 CD 中点, 求证： A,F,E 三点共线.证如图,连 AF, EF, OA, OB, OP, BF, OF,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADFCP OEGB延长 FC 交 BE 于 G.易如 OA 丄 AP, OB 丄 BP,OF 丄 CP,所以 P,A,F,O,B五点共圆,有 AFP=AOP=POB=PFB.又因 CDBE,所以有PFB=FBE, EFD=FEB,而 FOG 为 BE
6、的垂直平分线,故 EF=FB, FEB=EBF, 所以 AFP=EFD,A, F, E 三点共线.2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理 如三角形的 3 条高线交于一点 ,或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题赐予证明.例 5以 ABC 的两边 AB,AC 向外作正方形 ABDE,ACFG.ABC 的高为 AH.求证： AH, BF, CD 交于一点.MEGDA证如图.延长 HA 到 M,KF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使 AM=BC.连 CM,BM.设 CM 与 BF 交于点 K.在 ACM 和 BCF 中,BHC可编辑资料 - - - 欢迎
7、下载精品_精品资料_AC=CF ,AM=BC,MAC+HAC=180, HAC+HCA=90,并且 BCF=90+HCA, 因此 BCF+ HAC=180MAC=BCF.从而 MAC BCF, ACM=CFB.所以 MKF =KCF+KFC=KCF+ MCF =90,即 BF 丄 MC .同理 CD 丄 MB.AH,BF,CD 为 MBC 的 3 条高线,故 AH,BF,CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三线交于一点.例 6设 P 为ABC 内一点, APB ACB=APC ABC.又设 D,E 分别是 APB 及APC 的内心.证明： AP,BD,CE 交于一点.ARM N
8、S DEPBTC证如图,过 P 向三边作垂线,垂足分别为 R,S,T.连 RS, ST,RT,设 BD 交 AP 于 M, CE 交 AP 于 N.易知 P,R,A, S.P, T, B, R.P,S,C,T 分别四点共圆,就APB ACB=PAC+PBC=PRS+PRT=SRT.同理, APC ABC=RST,由条件知 SRT=RST,所以 RT=ST.又 RT=PBsinB,ST=PCsinC,所以 PBsinB=PCsinC,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由角平分线定理知PB ABANACNPPCPC .ACABAM.PBMP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
9、品资料_故 M,N 重合,即 AP,BD,CE 交于一点.例 7O1 与O2 外切于 P 点,QR 为两圆的公切线,其中 Q,R 分别为O1, O2 上的切点,过 Q 且垂直于 QO2 的直线与过 R 且垂直于 RO1 的直线交于点 I ,IN 垂直于 O1O2,垂足为 N,IN 与 QR 交于点 M.证明：PM,RO1, QO2 三条直线交于一点.IRQ MO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证如图,设 RO1 与 QO2 交于点 O,O1 NPO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 MO,PO.由于 O1 QM=O1NM=90,所以 Q,O1, N, M 四点
10、共圆,有 QMI=QO1O2.而 IQO2 =90=RQO1,所以 IQM=O2QO1, 故 QIM QO2O1,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QO1 QMO1O2MI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可证RO2RMO1O2MI.因此QM MRQO1RO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 QO1RO2,所以有O1O ORQO1RO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,得 MOQO1. 又由于 O1P=O1Q, PO2=RO2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
11、所以 O1OORO1Q RO2O1P ,PO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 OPRO2.从而 MO QO1RO2OP,故 M,O,P 三点共线,所以PM, RO1,QO2 三条直线相交于同一点.3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理 1塞瓦Ceva定理 :设 P, Q,R 分别是 ABC 的 BC,CA,AB 边上的点.假设 AP,BQ,CR相交于一点 M,就BPCQAR1.APCQARBQ证 如图,由三角形面积的性质,有M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ARSAMC,BPS AMB ,CQS BMC.BPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
12、_RBSBMCPCSAMCQASAMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上三式相乘,得 BPCQAR1 .PCQARB定理 2 定理 1 的逆定理 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P, Q,R 分别是 ABC 的 BC, CA,AB 上的点.假设 BPCQAR1,PCQARB就 AP,BQ,CR 交于一点.证 如图,设 AP 与 BQ 交于 M,连 CM,交 AB 于 R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由定理 1 有 BPCQPCQAARR B1 . 而 BPCQARPCQARB1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ARR BAR .RB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 R与 R 重合,故 AP,BQ,CR 交于一点.定理 3梅涅劳斯 Menelaus 定理:一条不经过 ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于 P,Q,R,就ABPCQAR1RPCQARBQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 如图,由三角形面积的性质,有BCP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ARSARP ,BPS BRP ,CQS CRP .可编辑资料 - - -
14、欢迎下载精品_精品资料_RBSBRPPCSCPRQASARP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将以上三式相乘,得 BPCQAR1.PCQARB定理 4 定理 3 的逆定理 :设 P,Q,R 分别是 ABC 的三边 BC,CA,AB 或它们延长线上的 3 点.假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设就 P,Q,R 三点共线.BPCQAR1, PCQARB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 4 与定理 2 的证明方法类似.塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用.例 8如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平
15、分 BAD.在 CD 上取一点 E, BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G.求证： GAC=EAC.ADHFEBGCJI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证如图,连接 BD 交 AC 于 H,过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I,过点 C 作 AD 的平行线交 AE的延长线于 J.对 BCD 用塞瓦定理,可得CGBHDE1GBHDEC由于 AH 是 BAD 的角平分线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由角平分线定理知代入式得BHAB .HDADCGABDE1GBADEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 CI
16、AB, CJAD,就 CGGB代入式得CI , DE ABECAD .CJ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CIABAD1 .ABADCJ从而 CI=CJ.又由于ACI=180 BAC=180 DAC=ACJ,所以 ACI ACJ,故 IAC=JAC,即 GAC=EAC.例 9ABCD 是一个平行四边形, E 是 AB 上的一点, F 为 CD 上的一点. AF 交ED 于 G,EC 交 FB 于 H.连接线段 GH 并延长交 AD 于 L,交 BC 于 M.求证： DL =BM.证如图,设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J,与 DC 的延长线交于点 I.在ECD 与 FA
17、B 中分别使用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_梅涅劳斯定理,得JAEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EGDICHGDICHE1 , AGFHBJ1 .LGFHBJAG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 ABCD,所以H可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 DIEGAG , CH GDGFHEBJ ,即 CDCIFH .HBABMDFC IAJ ,故 CI =AJ. 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ICJACIAJBMBJDIDL,MCCIAJLA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 BM+MC=
18、BC=AD=AL +LD . 所以 BM=DL.例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆 T,C,D 是 T 上的两点, T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A,半圆的圆心在线段 BA 上,E 是线段 AC 和 BD 的交点, F 是 l 上的点, EF 垂直 l.求证： EF 平分 CFD .证如图,设 AD 与 BC 相交于点 P,用 O 表示半圆 T 的圆心.过 P 作 PH 丄l 于 H,连 OD,OC, OP.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知 RtOADRt PAH,于是有PAHHP .ADDO类似的, RtOCBRtPHB,DEC可编辑资料 -
19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_就有BHHP .BCCOAOFHB l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 CO=DO,有 AHADBH ,从而 AH BCHBBCPD1 .CPDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC,BD,PH 相交于一点,即 E 在 PH上,点 H 与 F 重合.因 ODP=OCP=90,所以 O,D,C,P 四点共圆,直径为 OP. 又PFC=90,从而推得点 F 也在这个圆上,因此 DFP=DOP=COP= CFP,所以 EF 平分 CFD .例 11如图,四边形 ABCD 内接于圆, AB,DC 延长线交于
20、 E,AD、BC 延长线交于 F,P 为圆上任意一点, PE,PF 分别交圆于 R,S. 假设对角线 AC 与BD 相交于 T.E求证： R,T,S 三点共线.先证两个引理.BRCTADF PS引理 1:A1B1C1D1E1F1 为圆内接六边形,假设A1D1 ,B1E1 ,C1F1 交于一点,就有A1 B1C1 D1E1F11 .B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B CD EF AA1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111111OD1E1F1如图,设 A1D1,B1E1,C1F1 交于点 O,依据圆内接多边形的性质易知 OA1B1 OE1D1, OB1C1
21、 OF1E1,OC1D1 OA1F1,从而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1B1 D1 E1B1O ,D1OE1 F1 B1C1F1O , B1OC1 D1 F1 A1D1O . F1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将上面三式相乘即得引理 2：A1B1 B1C1C1D1 D1E1E1F11 , F1 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1,假设满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1B1 B1C1C1D1 D1E1E1F11F1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就其三条对
22、角线 A1D1,B1E1,C1F1 交于一点.该引理与定理 2 的证明方法类似,留给读者.例 11 之证明如图,连接 PD,AS,RC, BR, AP, SD.由 EBR EPA, FDS FPA,知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相乘,得BREBPAEP, PA DSFP .FD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BREBFP .DSEPFD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 ECR EPD, FPD FAS,知 CRPD乘,得ECPD,EPASFP. 两式相FA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,得BRAS DS CRBRR
23、CCRECFPASEPFAEBFA . 故ECFDCDSAEBAFDSABBAFDDC .CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对 EAD 应用梅涅劳斯定理,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,得EBAFBAFDDC1CEBRCDSA1. RCDSAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由引理 2 知 BD,RS, AC 交于一点,所以 R,T,S 三点共线.练习A 组1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点 M 向它的两对边引垂线 MQ 和 MP,向另两边延长线引垂线 MR,MT.证明： PR 与 QT 垂直,且它们的交点在矩形的一条对角线上.可
24、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在 ABC 的 BC 边上任取一点 P,作 PDAC,PEAB,PD,PE 和以 AB, AC 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D,E.求证： D, A,E 三点共线.3. 一个圆和等腰三角形 ABC 的两腰相切,切点是 D,E,又和 ABC 的外接圆相切于 F.求证： ABC 的内心 G 和 D,E 在一条直线上.4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形,把 ABC 绕点 C 旋转某一角度变成 ABC.证明：线段 AD, BC 和 BC 的中点在一条直线上.5. 四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P.设
25、三角形 ABP,BCP, CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1,O2,O3,O4.求证： OP,O1O3,O2O4 三直线交于一点.6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4 条垂线交于一点.7. ABC 为锐角三角形, AH 为 BC 边上的高,以 AH 为直径的圆分别交 AB, AC 于 M,N. M,N 与 A 不同.过 A 作直线 lA 垂直于 MN.类似的作出直线l B 与 lC.证明：直线 l A,l B, lC 共点.8. 以 ABC 的边 BC, CA,AB 向外作正方形, A1,B1 ,C1 是正方形的边 BC,CA,AB 的对边的中点.求证：直线 AA1,
26、BB1,CC1 相交于一点.9. 过 ABC 的三边中点 D, E,F 向内切圆引切线,设所引的切线分别与EF, FD,DE 交于 I,L,M.求证： I,L,M 在一条直线上.B 组10. 设 A1 ,B1, C1 是直线 l 1 上的任意三点, A2,B2, C2 是另一条直线 l2 上的任意三点, A1B2 和 B1A2 交于 L,A1 C2 和 A2C1 交于 M,B1C2 和 B2C1 交于 N.求证： L,M,N 三点共线.11. 在ABC,ABC中,连接 AA,BB,CC,使这 3 条直线交于一点 S.求证： AB 与 AB、BC 与 BC、CA 与 CA的交点 F,D, E 在同一条直线上笛沙格定理 .12. 设圆内接六边形 ABCDEF 的对边延长线相交于三点 P, Q,R,就这三点在一条直线上 帕斯卡定理 .可编辑资料 - - - 欢迎下载