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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结一、 .函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样 两点必需同时具备 二、 .求函数的定义域有哪些常见类型？x 4x例：函数y2 的定义域是lg x3函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零. 指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.正切函数 ytan xxR, 且 xk, k2当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域.三、 .如何求复合函数的定义域
2、？如：函数 f x 的定义域是a, b , ba0,就函数 F xf xf x的定义域是.复合函数定义域的求法：已知 yf x 的定义域为 m, n ,求 yf g x 的定义域,可由 mg xn 解出 x 的范畴,即为 yf g x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如函数 yf x 的定义域为四、函数值域的求法1、直接观看法,2 ,就 f log2x 的定义域为.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.1x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例、求函数 y= x2 -2x+5 ,x-1 ,2
3、的值域.3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. yb型：直接用不等式性质k+x 2b. ybx型 , 先化简,再用均值不等式x2mxn例： yx11121+x 2x+xc. yx2mxn型通常用判别式x2mxnd. yx2mxn 型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x） +11x221 （ x+1 ） （ x+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx1x 14、反函数法（ x+1 ）1211x 1可编辑资料 - -
4、- 欢迎下载精品_精品资料_直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.3x4例 求函数 y=值域.5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y=ex 1, y2sin1, y2sin1的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex11 sin1 cos6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容x 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y= 2log 3x 1 （
5、2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例 求函数 y=x+x1 的值域.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目.22例：已知点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,y(1) 的取值范畴x2(2) y-2x 的取值范畴解:1令yk, 就 yk
6、 x 2, 是一条过 -2,0的直线 . x2dRd 为圆心到直线的距离,R 为半径 2令 y-2 xb, 即 y2xb 0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y= x2+2x28 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例求函数 y= x 6x 13 +x 4x 5 的值域9 、不等式法利用基本不等式a+b 2ab , a+b+c 3 3 abc （ a, b, c R ）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
7、资料_等技巧.例：x 22 x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=x2113 3 x 2113xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式a+b+c2x3-2x0x1.5x33abc时,留意使者的乘积变成常数）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=xx 3-2xx+3-2x 313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式 abc a b310. 倒数法c 3时,应留意使3 者之和变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之
8、后,你会发觉另一番境况x2例 求函数 y=的值域x3yx2x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 0 时,1x211x2120y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2时,=0x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x20y0y12多种方法综合运用总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特别方法.五、 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得x1 ,x 2,
9、找出 fx 1 ,fx2 之间的大小关系f x f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求12的正负号或者1与1的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2f x 2 (2) 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性.（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反的单调性.（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,
10、它们是同向变化的.当c0 时,它们是反向变化的.假如函数 f 1 x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1x f 2x 和它们同向变化.（函数相加）假如正值函数f1x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1xf 2x 和它们同向变化.假如负值函数f 1 2 与 f 2x 同向变化,就函数 f 1xf 2x 和它们反向变化.（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx与1f x 在 fx的同号区间里反向变化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的.如
11、函数 u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递减的.（同增异减）fggxfgxfx+gxfx*gx都是4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求 ylog 1x22x 的单调区间2六、 . 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f x0 就 f x 为增函数.（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0 了？如：已知 a0,函数 f xx 3ax 在 1 ,上是单调增函数,就a 的最大 值是（）七、 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件
12、是什么？（fx定义域关于原点对称）如 f xf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如 f xf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于 y 轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（ 2）如 fx 是奇函数且定义域中有原点,就f00.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：如 f xa 2 xa2为奇函数,就实数a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1x,x又如： f x 为定义在 1 , 1 上的奇函数,当 x0 , 1 时, f x241求 f x 在 1,1
13、上的解析式.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八. 判定函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x ,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性.这种方法可以做如下变形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx+f-x =0fx-f-x=0fx奇函数偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f-x fxf-x1偶函数1奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3
14、、复合函数奇偶性fggxfgxfx+gfx*g奇奇奇x奇x偶奇偶偶非 奇非奇偶奇偶偶 非 奇非奇偶偶偶偶偶偶九、 .你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数 T（ T0）,在定义域内总有 f x Tf x,就 f x 为周期函数, T 是一个周期.）如：如 f xaf x ,就我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个函数周期 2t.推导：f x f xt 0f xt f x2 t 0f x f x2 t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-
15、x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到.比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：又如：如图象有两条对称轴,f xx axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f a xf a,xf bxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 2axf xf 2bx x, 就f 2axf 2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t2a2bxt2b
16、2a, f t f t2b 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xf x 2b 2a所以 ,函数 f x 以 2| b a | 为周期 因不知道 a,b 的大小关系 , 为保守起见 ,我加了一个肯定值十.你把握常用的图象变换了吗？f x 与 f x 的图象关于 y 轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,yf x 与 f x 的图象关于 x 轴 对称联想点（ x,y ）,x,-yf x 与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ） ,-x,-y1f x 与 f x 的图象关于直线 yx 对称 联想点（ x,y ）,y,xf x 与 f 2ax的图象关于直线 xa
17、对称 联想点（ x,y ）,2a-x,yf x 与 f 2ax 的图象关于 点 a, 0 对称 联想点（ x,y ） ,2a-x,0将 yf x 图象左移 aa 0 个单位yf xa上移 bb 0 个单位yf xab右移 aa 0 个单位yf xa下移 bb 0 个单位yf xab留意如下“翻折”变换：f x| f x | 把 x 轴下方的图像翻到上面f xf | x | 把 y 轴右方的图像翻到上面如： f xlog 2 x1作出 ylog2x1 及 ylog 2 x 1 的图象7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy=log 2xO1x十一、 你娴熟把握常用函数的图象和性质了
18、吗？k0y=bOa,bOxx=a（1）一次函数： ykxb k0k为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）反比例函数： yk0 推广为 ykk0 是中心xxaO a b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的双曲线.2（ 3）二次函数 yax 2bxc a0a xb4ac b 2图象为抛物线2a4a顶点坐标为b,4acb2,对称轴xb2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y开口方向： a0,向上,函数a0 ,向下, y max根的关系： xb2a4ac b 2min4a4acb 24a可编辑资料 - - -
19、 欢迎下载精品_精品资料_x1x 2b, x1x2c,| x1x2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa| a |8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数的几种表达形式：f xax 2bx c 一般式 f xaxm 2n 顶点式,（ m , n）为顶点f xaxx1 xx2 x 1 , x 2 是方程的 2 个根）f xaxx1 xx2 h函数经过点（ x1 , h x 2 , h应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax 2bx c 0 ,0 时,两根 x 1、 x2 为二次函数 yax 2bx c 的图象与 x 轴的两个交点,
20、也是二次不等式ax 2bx c0 0 解集的端点值.求闭区间 m, n上的最值.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间在对称轴左边（n区间在对称轴右边（m） f maxf m, f minf n2ab） f maxf n, f minf m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a区间在对称轴2 边 （ nbm）2a4 cb2f mina, f maxmax f m, f n4a也可以比较 m, n 和对称轴的关系,距离越远,值越大 只争论 a0 的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.一元二次方程根的分布问题.0如：二次方程 ax2bx c的两根都大于 k
21、b2af k 0ya0Okx1x2x一根大于 k,一根小于 kf k09可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（ m, n）内有 2 根0mbn2af m0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（ m, n）内有 1 根 f m f n0（ 4）指数函数： yaxa 0 , a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）对数函数 ylog a x a 0 , a1由图象记性质；（留意底数的限定；）yxy=a a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a11O1x0a01-f （ x y） f （ x） f （y）. f （） f
22、（x） f （ y）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 三角函数型的抽象函数11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf （x）t gx-f （x y）f y1f x f yf （x）cot x-f （xy） f x f y 1 f xf y例 1 已知函数 f （ x）对任意实数 x、 y 均有 f （xy） f （ x） f （y）,且当 x0 时, f x0 ,f 1 2 求 f x 在区间 2,1 上的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：先证明函数f （x）在（x1）.再依据区间求其值域 .上是增函数（留意到f （ x2 ）
23、 fRx2 x1） x1f （x2x1） f （可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f例 2 已知函数f （ x）对任意实数 x、y 均有 f （xy） f （x） f （y）,且当 xf （a2 a ）的解20时, fx,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f3 5 ,求不等式分析：先证明函数22（ x）在上是增函数（仿例R0, x N. f （ a b） f （a）f （b）, a、bN. f （2） 4. 同时成立？如存在,求出 f （x）的解析式,如不存在,说明理由.分析：先猜出 f （ x） 2 x.再用数学归
24、纳法证明.f （x）是定义在（,）上的单调增函数,满意f （ x y） f （x） f （y）, f （ ）例 6 设031,求：f （ ）.（1）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如f （ x）f （ x ）,求 x 的取值范畴82.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：（ 1）利用 313 .（2）利用函数的单调性和已知关系式.例设函数 y f （ x）的反函数是 yg（ x）假如 f （a ） f （a） f （ ）,那么 g（ a ）7.bbb12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g（a）g（ b）是否正确,试说明理由.分析：设 f
25、（a） m , f （ b ） n ,就 g （ m ） a, g （ n ） b , 进而 m n f （ a） f （ b） f （ab ） f g （ m） g（ n） .例 8 已知函数 f （x）的定义域关于原点对称,且满意以下三个条件：x1 、x2 是定义域中的数时,有f （ x1x2f x 1 f x 2 1f x 2 f x 1 f （ a） （a , a 是定义域中的一个数）.10x a 时, f （ x）当 020.试问：（1）f （x）的奇偶性如何？说明理由.a）上, f （ x）的单调性如何？说明理由（2）在（ 0,4.分析：（ 1）利用 f （ x1 x2 ） f （
26、x1 x2） ,判定 f （x）是奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）先证明f （x）在（ ,a）上是增函数,再证明其在（0 2a, a）上也是增函数24.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于抽象函数的解答题,虽然不行用特别模型代替求解,但可用特别模型懂得题意. 有些抽象函数问题,对应的特别模型不是我们熟识的基本初等函数. 因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特别模型,从而更好的解决抽象函数问题.例 9 已知函数 f （ x）（ x0）满意 f （xy ） f （x） f （ y）,（1）求证： f （1 ） f （ 1） 0.（2） 求证： f
27、 （x）为偶函数.1（ ）f （x）在（ ,）上是增函数,解不等式f （x） f （x ）x）3如020.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|0分析：函数模型为：f （ x ） log |（ a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ）1 先令（ ）y .ax y ,再令 x y .11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 令（ ）f （ x ）为偶函数,就3 由1f （x） f （ x ）|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10 已知函数 f （ x）对一切实数 x、 y 满意 f （ 0）0,f （xy） f （x）f （ y）,
28、且当 x0时, f （ x） 1 ,求证：（1）当 x 0 时, 0 f （ x） 1.（2） f （x）在 xR 上是减函数 .分析：（ 1）先令 xy0 得 f （0） 1,再令 y x.（3） 受指数函数单调性的启示：f x由 f （ x y） f （ x） f （ y）可得 f （ x y）,f yf x 1 进而由 x1 x2,有f （x1 x2） 1.f x 2 练习题：1. 已知： f （xy） f （x） f （ y）对任意实数 x、y 都成立,就（）（A）f （0） 0 或（ B） f （0） 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（C）f （ ）001（ ）以上都不对D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如对任意实数x、y 总有 f （xy） f （x） f （y）,就以下各式中错误选项（）13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）f （ ）10（B）1f （） f （ x）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ）f （ x） f （x） f （y）（ ）f （xn） nf （x）（ n N） CDy3. 已知函数 f （