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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 111 正弦定理（一）教学目标1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题；2. 过程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导同学通过观看,推导,比较,由特别到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作；3情态与价值：培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培育同学合情 推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、正弦定理、 向量的数量积等学问间 的联系来表达事物之间的普遍
2、联系与辩证统一；（二）教学重、难点 重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用；难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数；（三）学法与教学用具学法：引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：aAbBcC,接着就一般斜sinsinsin三角形进行探究,发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇；教学用具：直尺、投影仪、运算器（四）教学设想 创设情形 如图 11-1 ,固定 ABC的边 CB及 B,使边 AC围着顶点 C转动； A 摸索：C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；
3、能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 探究争论 图 11-1在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图 11-2 ,在 Rt ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 a sin A,bsin B,又 sin C 1c, A c c c就sin aA sin bB sin cCc b c 从而在直角三角形 ABC中,sin aA sin bB sin cC C a B 图 11-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：名
4、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD,依据任意角三角函数的定义,有 CD= sinBb sinA, 就aAbB, C 图 11-3 sinsin同理可得cCbB, b a sinsin从而aAbBc sinC A c B sinsin 摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,这个问题；（证法二）：过点 A 作 j AC, C 由向量的加法可得 AB AC CB从而可以考虑用向量来争论就jABjAC CB A B 同理,过点C作 j jABjA
5、C jCB jj ABcos 900A0j CBcos 900C sinAasina C ,即 sinAcsinCBC ,可得bBcsinsinC从而 类似可推出,当abcsinAsinBsinCABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立；（由同学课后自己推导）从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin 懂得定理 （1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；CbBa, sinAcC（2）aAbcCa 等价于 sinAbB
6、c, sinsinsinBsinsinsinsin从而知正弦定理的基本作用为：名师归纳总结 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA B；sinAasinB；第 2 页,共 4 页sin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如b一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题分析 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；解：依据三角形内角和定理,1800C0 180AB32.000 81.8 066.2 ；依据正弦定理
7、,basinB42.9sin81.8 0 sin32.0080.1 cm ；sinA依据正弦定理,casinC42.9sin66.2 0 sin32.0074.1 cm .sinA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；例 2在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精确到0 1 ,边长精确到 1cm）；解：依据正弦定理,0sin B b sina A 28sin4020 0.8999.由于 0 B 0180 ,所以 0B 64 0,或 B 116 . 0 当 B 64 0时,0 0 0 0 0C 180 A B 180 40 64 76,0c asin sinA
8、C 20sin76sin40 0 30 cm . 当 B 116 0时,0 0 0 0 0C 180 A B 180 40 116 24,0c asin sinA C 20sin24sin40 0 13 cm .评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形； 随堂练习 第 5 页练习第 1（1）、2（1）题；名师归纳总结 例 3已知ABC中,A0 60 ,a3, 求sinabcsinC第 3 页,共 4 页AsinB分析：可通过设一参数kk0 使aABb, cksinsinBsinC证明出aAbBcabcsinsinsinCsinAsinsinC解：设aAbBcCk k o
9、sinsinsin就有aksinA,bksinB,cksinC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而sinAabBcsinC=ksinAksinBksinC=ksinsinAsinBsinC又aA302k ,所以sinabBcC=2 AabBcsinCk k0sinsin60Asinsin评述：在ABC中,等式abcsinAsinBsinCsinsin恒成立； 补充练习 已知ABC中, sinA :sinB:sinC1:2:3,求a b c（答案： 1：2：3） 课堂小结 （由同学归纳总结）（1）定理的表示形式：abcCsinAabcsinCk k0；sinAsinBsinsinB或aksinA,bksinB ,cksinC k0（2）正弦定理的应用范畴：已知两角和任一边,求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角,求另一边的对角；（五）评判设计课后摸索题： （见例 3）在ABC中,aAbBcCk k o,这个 k 与ABC有sinsinsin什么关系？名师归纳总结 课时作业：第10 页 习题 1.1A 组第 1（1）、2（1）题；第 4 页,共 4 页- - - - - - -