小学数学思想方法.ppt

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1、,品小学数学思想方法,这些是课堂教学的本源和精髓,真正的教育是将在学校所学的知识全忘掉,所剩下的。 陶行知,在学生的脑力劳动中，摆在第一位的并不是背书，而是让学生本人进行思考。背书会使人变傻。 苏霍姆林斯基,数学思想是数学学科发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富。,数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。 高考考试大纲的说明,不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。 徐利治,数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思

2、想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。,一、符号化思想 二、化归思想 三、模型思想 四、数形结合思想 五、推理思想 六、方程和函数思想 七、几何变换思想 八、分类讨论思想,九、统计思想 十、分析法和综合法 十一、概率思想 十二、反证法 十三、集合思想 十四、极限思想 十五、假设法 十六、运筹思想,一、符号化思想 1、符号化思想的应用。 第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。如：a+b=b+a 第二

3、，理解符号所代表的数量关系和变化规律。 第三，会进行符号间的转换。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。,用符号表示变化规律。 数列的变化规律:1,2,3,5,8, 图形的变化规律。,一、符号化思想 1、符号化思想的应用。,2、符号化思想的教学。, ,“垂直与平行”,ab或者ba, ,ab或者ba,二、化归思想 化归（转化）思想从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一。,1、

4、化归思想的具体应用。,二、化归思想 2、教学中的化归策略。,（1）下图是平行四边形停车位，它的面积是（ )。 7.547.5664,王老师在教学时，用木条制成一个长方形框教具，木条长18厘米，宽15厘米。它的周长和面积各是多少？如果把它拉成平行四边形，周长和面积会怎样？,下底,上底,高,平行四边形的面积 底 高,底,三角形的面积 底 高,高,上底,梯形的面积 （上底 下底）高,图1,图2,案例1： ,解决问题中的化归策略。 （1）化抽象问题为直观问题。,1,解决问题中的化归策略。,（2）化繁为简的策略。,四年级（下册）第117-118页例1植树问题。 例1：同学们要在全长100米的小路一边植树

5、，每隔5米种一棵树（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？,解决问题中的化归策略。,（2）化繁为简的策略。,解决问题中的化归策略。,（2）化繁为简的策略。,解决问题中的化归策略。,（2）化繁为简的策略。,把186拆分成93和93, 93和93的乘积最大，乘积为8649。,案例2：把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？,（2）化繁为简的策略。 案例3：你能快速口算8585， 9595，105105吗？,个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85857225，95959025，10

6、510511025,解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。,假设都是上山，那么总路程是18（63）千米，比实际路程少算了2千米，所以，上山时间是4小时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。,案例1：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行4千米，下午4时到达山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？,案例2：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?,解决问题中的化归策略。 （3）化实际问题为特殊的数学问题。,直接分析：1

7、千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。,变式： 1、水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍少30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ 2、水果商店昨天销售的香蕉比苹果的 多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？ 3、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是香蕉的3倍。这三种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？ 4、水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是苹果的2倍。这三种水果一共销

8、售了210千克。销售香蕉多少千克？,（4）化未知问题为已知问题。,案例1：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售香蕉多少千克？,期末测试体现转化数学思想的题目： 1、如下图，在推倒平行四边形面积公式的过程中，这一过程体现了（ ）数学思想。这一思想为后面学习三角形面积、梯形面积奠定基础。,2、“转化”是一种常见的解决问题的方法。如下图，把一个半圆分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这两个图形（ ）。 A、面积相等，周长也相等 B、面积相等，周长不相等 C、面积不相等，周长也不相等,3、在小数除法中，如： 要把这两个小数变成整数 才能进行计算，把小数

9、变成整数这一过程运用了（ ）的思想方法。,三、模型思想 1、模型思想的具体应用。,2、模型思想的教学。,2,第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。,长方体的认识 量一量； 比一比； 找一找； 折一折。,二年级下册余数与除数的关系,结论：余数都比除数小。,第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。,第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。,案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带文具盒，立即回家去取。

10、他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）,案例2 ：有一根20米长的绳子，要剪成2米和5米长两种规格的跳绳，每种跳绳各剪多少根？（要求绳子无剩余，并且每种规格的跳绳至少要有一根。）,案例3：一瓶矿泉水满瓶水为500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圆柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶盖拧紧，倒立过来，无水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？,设小林喝的水为v毫升，列式为： v：5004：(16+4) v100。,四、数形结合思想 “数缺形时少直觉，形少数时难入微。” 华罗庚 数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握

11、什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。,四、数形结合思想 1、数形结合思想的具体应用。 数形结合思想主要体现 ： 一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题 。 二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透 。 三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现 。 四是用代数(算术)方法解决几何问题。,四、数形结合思想 1、数形结合思想的具 体应用。,（1）数的表示和运算。 数和运算的实物化、 图形化和操作化，便于 人们直观理解数和计算。 摆小棒、画图形等。,（）解决问题中的形。 画线段图表示数量关系。 案例：五上列方程解决问题 上海

12、浦东中银大厦的总高度为258米，比上海国际饭店的3倍还高24米，上海国际饭店高多少米？,设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。,上海国际饭店,浦东中银大厦,利用画图来直观呈现各种信息， 有利于学生分析数量关系。,利用画图来直观呈现各种信息，有利于学生理解算式。,解决问题的直观策略。,利用坐标系中的图像 直观理解正比例关系。,（3）统计中的图形。 各种统计图表。,（4）空间与图形中的数。 图形的周长、面积 和体积公式。,图形中边之间的关系。,图形变换中的数。 坐标与变换,方法一： 先算：平均每个书架放多少本？ 2002=100（本） 再算：平均每层放多少本？ 100

13、5=20（本）,2、数形结合思想的教学。,方法二： 先算：两个书架一共用几层？ 52=10（层） 再算：平均每层放多少本？ 20010=20（本）,方法三： 先算：两个书架1层放多少本书? 2005=40（本） 再算：平均每层放几本书？ 402=20（本）,方法二：180（32）30（人）,方法一：1802330（人）,四、数形结合思想 2、数形结合思想的教学。 第一，如何正确理解数形结合思想。,案例1： ,1,第二，适当拓展数形结合思想的应用。 案例2：把两个形状和大小 相同的长方体月饼盒包装成 一包，怎样包装最省包装纸？,假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且abc(只要给出三个数的

14、大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。根据已知条件可知，abacbc，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：4(ab+bc+ac)2ab。,五、推理思想,1、推理思想的具体应用。,锐角比直角小，钝角比直角大，也就是直角比钝角小；可进一步引导学生思考，锐角和钝角比，哪个大？学生在一年级已经知道了2926，2623，所以2923的推理方法，自然地可以把这种推理方法迁移至此。,二年级上册第80页例4中的9的乘法口诀，这是归纳推理。,有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个。问这箱苹果至少有多少个？,有一箱苹果,3个3个地数少1个，

15、4个4个地数少2个，5个5个地数少3个。问这箱苹果至少有多少个？,2、推理思想的教学。,推理思想在小学数学教学中要注意把握以下几点： 第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。 第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。 第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。 第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。,学习“8的乘法口诀”时，便可联系“6、7的乘法口诀”提出问题：8的乘法口诀有几句？怎样推导出8的乘法口诀？前后各句口诀之间有什么规律？,（1）类比思想。,在初中代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与

16、分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。,期末测试中体现数学活动经验（类比思想）的题目： 学生在计算16824时，总结出了加法计算法则，它在学习（ ）时又一次使用了，这种方法能保证学生计算准确。这种数学活动经验要注意积累呦！,（1）类比思想。,2、如下图，在探究圆的周长时，小朋友们用到了“化曲为直”的直观学习方法，这种学习方法在学习（ ）时又一次使用了。这种数学活动经验要注意积累呦！,案例1：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？ 11 1342 （135）93 （1357） 135799,前n个奇数相加的和等于n的平方。,案例2：观察

17、下面的一组算式，你能发现什么规律？ 14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121,设任意一个两位数是ab(a和b是19的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),（2）归纳思想。,案例3：如下图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？,(3)三段论。,六、方程和函数思想 1、方程和函数思想的具体应用。 2、方程和函数思想的教学。,练习： 91 92 93 94 95 96 97 98 99,六、方程和函数思想,案例1：妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果，一共花了16元

18、。苹果的价格是香蕉的2倍多1元，苹果和香蕉的单价各是多少？,列方程：32(21)16 解方程，2 所以，苹果的单价是5元，香蕉的单价是2元,案例2：小明家的果园供游人采摘桃，每千克10元。请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数) 之间的关系式。如果某天的销量是50千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是12000元，上个月的销量是多少？,列关系式：y10。某天的销量是50千克，总收入是500元。上个月的总收入是12000元，销量是1200千克。,案例3：有一批捐赠的图书分给一个班的学生，如果每人分3本，则还缺15本；如果每人分2本，则剩余25本。这个班有多少学生？,设：这个班有学

19、生人 列方程：315225 40,七、几何变换思想,2、几何变换思想的教学。 (1)平移变换。,平移的方向，不一定是水平的。,小学阶段：直观认识平移现象。 物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变。,(2)旋转变换。,设计图案,(3)对称变换。,如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。,把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。,(4)相似变换。,形状不变，大小改变（图形的放大、缩小）,1、小学数学中几何变换思想的应用如下表。,2、几何变换思想的教学。 第一，对一些概念的准确把握。,案例2：一架直升

20、飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？,案例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？,案例3：下面的图形是轴对称图形吗？,案例4: 人教版教材, 求三角形和梯形的面积。 把两个完全相同的三角形和梯形拼成平行四边形，利用变换原理为：先把一个图形旋转180度，再平移。,第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。,案例5：小明家的院子里有一块长30米、宽20米的长方形菜地，地里有两条相互垂直而且宽都是1米的小路。这块地实际种菜的面积是多少？,种菜的面积就转化为求长29米、宽19米的长方形的面

21、积，用长乘宽就可求出面积。,第二，注意图形变换与其它几何知识的联系。,案例6：如图所示，三个同心圆的最大的圆的两条直径相互垂直，最大的圆的半径是2cm，求阴影部分的面积。,阴影的面积为：2=(cm)。,第三，对教学要求和解题方法的准确把握。 1、直观判断题,如：在方格纸上原图形中的点(2，3)，经过平移后它的对应点为A(8，10）。那么原图形可以通过先向右平移6格，再向上平移7格；或者先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移后的图形。,2、作图题,八、分类讨论思想 1、分类讨论思想的具体应用。,2的倍数的特征： （1）从生活情境“双号”引入。 （2）观察2的倍数的个位数，总结出2的倍数的特征。

22、 （3）介绍奇数和偶数的概念。 （4）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严格的证明。,质数和合数的概念： （1）根据20以内各数的因数个数把数分成三类：1、质数、合数。 （2）可任出一个数，让学生根据概念判断其为质数还是合数。,三角形按角分类 任意找一些三角形 引导学生自己分类 启发学生想怎样用集合圈 表示几种三角形之间的关系,三角形按边分类 思路同前 也可以同时进行分类 更加开放 等腰三角形的特征,分为三类：十位是1的有12、13，十位是2的有21、23，十位是3的有31、32。,只有1枚硬币的：1角、5角、1元 只有2枚硬币的：6角、1元1角、1元5角、 只有3枚硬币的：1元6角,2、

23、分类讨论思想的教学。 第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想。 第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想。 第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想。 第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。 第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。 第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。,2、分类讨论思想的教学。,案例1：下图中共有多少个长方形？,单一的长方形：339； 由两个单一长方形组成的长方形：横数236，竖数236，6+6=12； 由三个单一长方形组成的长方形：横数133，竖数133，3+3=6； 由

24、四个单一长方形组成的长方形：4； 由六个单一长方形组成的长方形：4； 由九个单一长方形组成的长方形：1。 共计 9+12+6+4+4+1=36（个）。,案例2:下面四张卡片上分别写有数字0、1、2、3，可以利用它们组成多少不同的四位数？,分析：把所有能组成的四位数分成三类，再依此按从小到大的顺序排列如下。 （1）1023 1032 1203 1230 1302 1320 （2）2013 2031 2103 2130 2301 2310 （3）3012 3021 3102 3120 3201 3210,方法是：可以按只有一种、二种、三种硬币的方法进行分类组合。 只有一种硬币：10个1分，5个2分

25、, 2个5分,3种换法; 只有两种硬币:8个1分和1个2分, 6个1分和2个2分, 4个1分和3个2分, 2个1分和4个2分, 5个1分和1个5分, 5种换法; 只有三种硬币:1个1分、2个2分和1个5分， 3个1分、1个2分和1个5分，2种换法。 共计10种换法。,案例3:把1张一角的人民币换成零钱，现有足够的1、2、5分币。有多少种换法？,还可以按照币种的范围分类讨论。,期末测试体现分类数学思想的题目：如下图，有一些扣子要分，笑笑、亮亮分别是这样分的，这一过程体现了（ ）数学思想。这一思想为继续学习数学奠定基础。,笑笑 亮亮,九、统计思想 1、统计思想的具体应用。 小学数学中统计的知识点主

26、要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，以及不恰当的数据及统计图表可能产生误导。,2、统计思想的教学。 第一，注重过程性目标的教学。 第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。 第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。 第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。 如：让学生找出下面一组数据的众数：75 84 84 89 89 92 92 96 98。,平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的数量，代表

27、一般水平。 平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。 中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。 众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。众数可能不唯一，甚至有时没有。,2、统计思想的教学。 案例1：一家公司2008年和2009年职工年工资情况如下表。,（1）这家公司2008年和2009年职工平均工资各是多少？ （2）这家公司对外宣称，2009年职工平均工资比200

28、8年增长17%以上，这种说法有不妥之处吗？,(1)2008和2009年职工平均工资分别为： (8+27+85104792)100=2.6(万元) (1028.586104.8792.3)=3.047(万元) (2)(3.047-2.6)2.617.2%,(2.3-2)2=15%。,案例2：有关部门对一个社区的100个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：,(1)计算这组数据的平均数、中位数和众数。 (2)什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？ (3)如果采取阶梯水价，标准用水量以上加价收费，希望至少70的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多少比较合适？,（1）平均数：(28324

29、4405226)100=3.94(吨)，中位数和众数都是4吨。 (2)中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差别很小，都可以作为该组数据一般水平的代表。 (3)10070%=70，用水量在4吨及以下的人数为72人，所以人均标准用水量定为4吨比较合适。,十、分析法和综合法 1、分析法和综合法的具体应用。,2、分析法和综合法的教学。 第一，在学习一般的数学概念和性质时注重分析能力和综合能力的培养。 第二，在解决问题时注重分析法和综合法的结合运用。,案例1：一件衬衫的标价是150元，现在因换季按标价打八折的优惠价出售，还能够在进价的基础上获利20%。这款衬衫的进价是多少钱？,根据分析

30、法找出的数量关系和解题思路，用综合法列式如下。 进价加获利20一共的钱数：15080%120(元) 这款衬衫的进价是：120（1+20%）100（元） 列成综合算式是：15080%（1+20%）100元）,案例2：食品店把120千克巧克力分装在两种大小不同的盒子里，先装0.25千克一盒的装了200盒，剩下的每盒装0.5千克。这些巧克力一共装了多少盒？,小盒共装的千克数：0.25200=50(千克) 大盒共装的千克数:12050=70(千克) 大盒装的盒数:700.5=140(盒) 一共装的盒数:200140=340(盒) 综合算式为:200+(120-0.25200)0.5=340(盒),案例

31、3：明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果再减少5个，就恰好是梨的个数的3倍。如果每天吃4个苹果和2个梨，当梨吃完时苹果还剩15个。那么原来梨和苹果各有多少个？,苹果和梨相比较，苹果减少15个是梨的2倍，减少5个是梨的3倍；所以，从15个中减去5个，剩下的10个就是梨的个数。,十一、概率思想,、概率思想。 生活中有很多现象是必然的，如也有很多是偶数的。偶然现象，也叫随机现象，表面上看可能无规律，但大量地收集数据或重复实验可能具有某种规律性，概率统计主要是用数学方法揭示这种统计规律性。 （1）事件的分类。 必然事件 确定事件 事件不可能事件 随机事件 （2）概率的类型。 古典概型 概率 几何概型,

32、古典概率模型： 基本事件的个数有限 每个基本事件出现的可能性相等,几何概率模型： 每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例,1、概率思想的具体应用。,(1)根据等可能性事件设计公平的游戏规则; (2)统计推断中很多情况是根据对随机事件的相关数据进行分析后，再对随机事件发生的可能性大小进行预测和决策。如：2010年南非世界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、两次获得世界杯亚军。西班牙和荷兰两队历史上一共交手9次，其中荷兰4胜1平4负，实力不分上下。所以两队夺冠的可能性各占一半。,2、概率

33、思想的教学。 第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性有大小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。 第二，避免把频率与概率混淆。 第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性。 第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。,案例1：连续两次抛掷一枚硬币，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上吗？,案例2：天气预报预测明天降水概率是90%，明天一定下雨吗？,案例3：六(2)班同学血型情况如右图。 (1)从图中你能得到哪些信息？ (2)该班有50人，各种血型各有多少人？,(1)从图中得到如下

34、信息： 在六(2)班的同学中有四种血型，这四种血型型的人最多，占40%，型和型的人数分别排第二、第三，型的人最少，只占8。 (2)50人中型、型、型和型的人数分别有：20、14、12、4人。,(3)六年级有200人，你能估计各种血型的人数吗？,2、反证法的教学。 第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。 第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。 第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。,十二、反证法 1、反证法的具体应用。,2、反证法的教学。 案例1: 把43人分成7个小组，总有一个小组至少有7人。请说明

35、理由。,假设A不是锐角，首先三角形的任何一个内角不可能等于0度，那么有A90，又因为C =90，B0，所以A+B+C180，这与三角形的内角和等于180矛盾。所以A一定是锐角。,案例2：在直角三角形ABC中，C是直角，请说明：A一定是锐角。,十三、集合思想 1、集合思想的具体应用。,案例：正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？ 分析：只要满足一一对应就基数相等。 ,案例1：乒乓球比赛有16人参加组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？,十三、集合思想 2、集合思想的教学。 第一，应正确理解有关概念。,第一轮共有8场比赛，第二轮共有4场比赛，第三轮共有2场比赛

36、，第四轮共有1场比赛；所以总共有15(8+4+2+1=15)场比赛。,在小组参赛的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比赛的场数为15场。,第二，正确把握集合思想的教学要求。,案例2：六(1)班举办文艺活动， 演出歌舞节目的有9人，演出小 品等节目的有12人，两类节目 都参加的有5人。该班共有多少 人参加这两类节目的演出？,第三，集合思想的教学要贯彻小学数学的始终。,十四、极限思想 1、极限思想的具体应用。 极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。 (1)在数的认识中体会有限与无限的思想。 （2）在数的计算中体会极限思想。 （3）在认识图形时渗透无限的思想。 （4）

37、在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。,等分后的小块组成不同的形状,近似平行四边形,近似三角形,近似梯形,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,四等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,八等分圆,圆的面积,十六等分圆,圆的面积,圆的面积,圆的面积,圆的面积,圆的面积,十六等分圆,分得越细越接近长方形,曲,直,播放,2、极限思想的教学。 案例1：把循环小数0.999 化成分数。,0.90.090.0090.999 0.999=1,十

38、五、假设法 1、假设法的具体应用。,十五、假设法 2、假设法的教学。 课例：分数的基本性质,第一，根据题目的特点，选择适当的数据进行假设。 案例1：(1) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数是女生人数的3倍。男生和女生各有多少人？ (2) 六年级参加植树的男生和女生共有36人，其中男生人数的 是女生人数的2倍。男生和女生各有多少人？,案例2：小明和妈妈恰好花100元买了10本书，单价有8元一本的和13元一本的两种。其中8元一本的和13元一本的各买了几本？,8元的买了6本，13元的买了4本。,第二，在数量之间具有一定的比例关系前提下，可假设其中的一个数量为单位“1”，可大大简化计

39、算的繁琐程度。 案例3：足球比赛门票是20元一张，平均每场有5000名观众，降价后每场观众增加了50%，收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？,降价后收入是：500020(1+20%)120000（元） 降价后的观众人数是：5000(1+50%)7500(人) 所以降价后的门票价格是：120000750016(元)。,假设降价前的观众人数是1,则降价后的观众人数是1(1+50%)=1.5, 降价前的收入是201,则降价后的收入是201(1+20%)24,所以降价后的门票价格是：241.516(元)。,案例4：如下图所示，水池和菜地组成了一个正方形，水池和林地组成了一个长方形，重叠的部分是水

40、池。水池的面积占长方形的 ，占正方形的 。林地的面积比菜地多200平方米，水池的占地面积是多少？,设水池的面积为1,那么林地的面积为 1 15 菜地的面积为1 13， 200(53)100(平方米)。所以水池的占地面积为100平方米。,十六、运筹思想 运筹学：应用数学的方法在军事、管理、规划、人力安排、交通、经济等领域找到解决问题的最佳方案。 在小学，主要讨论以下几个问题： 、分配问题。 对于有限的资源、人员、设备、时间等因素构成的系统，如何统筹规划，以最优的方式对有关因素加以安排或分配，使得耗费最小，效益最大。,、排队问题。 研究公共服务系统中，如何安排服务设施，尽量缩短服务时间，使服务系统达到最优状态。,、对抗问题。 研究竞争双方分别选择最优的对抗策略，以使本方在竞争中处于优势。,数学思想方法不同于一般的概念和技能，技能一般通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学更应该是一个通过长期的渗透和影响才能够形成思想和方法的过程。,好雨知时节，当春乃发生。 随风潜入夜，润物细无声 杜甫,谢谢！,