2022年整式的乘除与因式分解 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 整式的乘除与因式分解式；同底数幂相乘,底数不变,指数相加；留意底数可以是多项式或单项一、学习目标：1.把握与整式有关的概念；2.把握同底数幂、幂的乘法法就,同底数幂的除法法就,积的乘方法就；3.把握单项式、多项式的相关运算；4.把握乘法公式：平方差公式,完全平方公式；5.把握因式分解的常用方法；二、学问点总结：如：ab2 ab 3ab 55、 幂的乘方法就： a mnamn（m,n都是正整数）幂的乘方,底数不变,指数相乘；如：5 3210 3幂的乘方法就可以逆用：即amn amnanm如：46 423 4321、 单项式的概念：由数与字母的乘积

2、构成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的数字因数叫做单项式的系 数,字母指数和叫单项式的次数；6、 积的乘方法就：abnanbn（ n 是正整数）如：2a2bc的系数为2 ,次数为 4,单独的一个非零数的次数是0；积的乘方,等于各因数乘方的积；如：（2x3y2z 5=2 5x35y255 z3215 xy105 z2、 多项式： 几个单项式的和叫做多项式；多项式中每个单项式叫多项式 的项,次数最高项的次数叫多项式的次数；7、 同底数幂的除法法就：amanamn（a0,m ,n都是正整数,且如 ：a22abx1, 项 有a2、2ab、 x 、 1 , 二 次 项 为a2

3、、mn2ab,一次项为 x,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为 1, -2,1,1,叫二次四项式；3、 整式： 单项式和多项式统称整式；留意：凡分母含有字母代数式都不是整式；也不是单项式和多项式；同底数幂相除,底数不变,指数相减；如： ab 4ab ab 3a33 b8、 零指数和负指数；4、 同底数幂的乘法法就：amanam n（m,n都是正整数）a01,即任何不等于零的数的零次方等于1；1 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ap1（a0 ,p是正整数）,即一个不等于零的数的p 次方等

4、于11、多项式与多项式相乘的法就；多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,ap这个数的p 次方的倒数；再把所的的积相加；如：23131如：3 a2 ba3 b ab aba2b2留意平方差公式绽开只有28x5 x6 ：9、 单项式的乘法法就：单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为12、平方差公式积的一个因式；留意：两项积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再运算确定值；相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法就；公式特点：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相 同,另一项互为相反数；右边是相同项的

5、平方减去相反项的平方；只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式如：xyzxyz 单项式乘法法就对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式；如：2x2y3z3 xy13、完全平方公式： ab 2a22 abb2公式特点：左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左10、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所 边二项式中每一项的平方,而另哪一项左边二项式中两项乘积的2 倍；得的积相加,留意：b 2即m abcmambmcm ,a,b,c都是单项式 a2b2 ab22 ab ab 22ab留意：ab 2ab 24 ab积是一个

6、多项式,其项数与多项式的项数相同；运算时要留意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号；ab 2ab 2ab 2ab 2 ab2 a在混合运算时,要留意运算次序,结果有同类项的要合并同类项；如：2x 2x3y3yxy完全平方公式的口诀：首平方,尾平方,加上首尾乘积的2 倍；14、三项式的完全平方公式：2 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - abc 2a2b2c22 ab2 ac2 bc2.积的乘方15、单项式的除法法就：cab n=a nb nn 为正整数 . 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再单

7、项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除把所得的幂相乘. 式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式；1、运算：nm3pmnnmp4留意：第一确定结果的系数（即系数相除）,然后同底数幂相除,假如只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式3. 乘法公式如：7 a2b4m49a2b平方差公式：ababa2b2完全平方和公式：ab2a22abb216、多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加；完全平方差公式：ab2a22abb2即： ambmcm mammbmmcmmab1利用平方差公式运算：2 20222

8、007202217、因式分解：2（a2b3c d）（ a2b 3cd）常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 三、学问点分析：n 33 8,就 n=. 变式练习1. 同底数幂、幂的运算：a ma n=a m+n m, n 都是正整数 . a m n=a mn m,n 都是正整数 . 1广场内有一块边长为2aM 的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3M ,东西方向要加长3M ,就改造后的长方形草坪的面积是多少？2.如2a264,就 a=；如272. 已知x12 ,求x21的值3.运算x2y3n2yx2mxx23、已知xy216 ,xy 24,求 xy 的值4.如a2n3,就a6

9、=. 3 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.假如 a2 b2 2a 4b 50 ,求 a、b 的值5 一个正方形的边长增加4cm ,面积就增加56cm ,求原先正方形的边长7（ 11 ）（ 12 21 ）（ 12 31 ） （ 12 41 ）（ 12 91）的值4. 单项式、多项式的乘除运算1 023（a1b）（ 2a1b）（ 3a 21b 2）；122 （ a 2 2ab b 2） 2ab8已知 x1 2,求 x x21,x41的值634 （ab）（ ab）5已知2xy1,xy2,求2x4y33 x

10、y4的值；x2x436如 x、y 互为相反数,且x2 2y124,求 x、y 的值9已知（ a1）（ b2） a（ b 3） 3,求代数式a22b2 ab 的提高练习值1（ 2x 24x10xy） （）1x15y2 22如 xy8, x 2y 24,就 x 2y 2_3代数式 4x 23mx9 是完全平方式就 m _4（ a1）（ a1）（ a 2 1）等于（）（A ）a 41 （B）a 41（C）a 42a 21 （ D） 1a5已知 ab10,ab24,就 a 2b 2 的值是（）410如（ x2pxq）（ x22x3）绽开后不含x2,x3项,求 p、q 的值（A ）148 （B） 76

11、（C）58 （D）52 6（ 2）（x 3y） 2（4x 3y） 2；（ 2）（ x22x1）（ x22x4整式的乘除与因式分解技巧性习题训练 一、逆用幂的运算性质1）；4 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1420050.252004. c2022x2022,22 32002 1.52003 12004_ ；求a2b2c2abbcac的值；3如x2n3,就x6n. 8如n 2n10,就n 32 n22022_.9已知x25x9900,求x36x2985x1019的值；4已知：m x3 ,xn2,求x3m

12、2n、x3m2n的值；5已知：2ma,32nb,就23m 10n=_ ；10 已 知a2b26a8 b250, 就 代 数 式ba的 值 是二、式子变形求值1如mn10,mn24,就m22 n. ab_ ；2已知ab9,ab3,求a23 abb2的值 . 11 已知：x22xy26y100,就x_,3已知x23x10,求x21的值；y_ ；三、式子变形判定三角形的外形x21 已知：a、b、c是三角形的三边,且满足4已知：xx1x2y2,就x22y2xy=. a2b2c2abbcac0,就该三角形的形状是522 124 121的结果为 . _. 2如三角形的三边长分别为a 、 b 、 c ,满意

13、a2ba2cb2cb30,6 如 果 （ 2a 2b 1 ） 2a 2b 1=63 , 那 么a b的 值 为就这个三角形是_ ；_ ；3 已 知 a 、 b、 c 是 ABC的 三 边 , 且 满 足 关 系 式a2c22ab2ac2b2,试判定ABC的外形；7已知：a2022x2007,b2022x2022,四、分组分解因式5 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1分解因式：a21b22ab_ ；二、反复运用2分解因式：4 x24xyy2a2_ ；2例 3、分解因式： 4a 2+4ab+b 24a2b+

14、1 五、其他解：原式 4 a2+4ab+b2 4 a+2b+1 1已知： m 2n2,n2m2m n ,求： m 32mnn3 的值；2 a+b222 a+b+1 2运算：111111112112 a+b12. 22324299100三、先提取公因式再运用乘法公式与因式分解 公式法是因式分解的重要方法之一,我们在这里介绍乘法公式在因式分解中的十种用法；这些方法娴熟把握后,对我们今后解决许多相应的问 题都有帮忙；一、直接运用 例 1、分解因式： a+b 21 解：直接运用平方差公式,得：原式 a+b+1 a+b 1. 例 2、分解因式： 4x 212xy+9y22解：原式 2 x22 2 x 3

15、y+3 y2 x3y2. 6 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、几个公式联合运用解：把 7x2拆成 2x 29x2；就例 7、分解因式： x2+2xy+y 2z2 原式 x 42x 2+1 9x 2 解：原式 x 2+2xy+y2 z2 x2123 x2 x+y2z2 x 2+3x1 x23x1 x+y+z x+y- z. 六、先用十字相乘法再运用九、先添项后运用例 11、分解因式： a 4+4b4解：原式 a 4+4a2b 2+4b 44a2b 2例 8、分解因式： a+b413 a+b2+36 解

16、：公式 a+b24 a +b2 9 a 2+2b222 ab2 a+b +2 a +b2 a+b +3 a +b3 七、先绽开再运用 a 2+2ab+2b2 a22ab+2b 2 十、先换元再运用例 9、分解因式： 1 a 21 b2 4ab例 12、分解因式： ca24 bc ab 解：原式 1a 2b 2+a2b24ab解：设 bcx, aby,那么 ca x+y ,就 =12ab+ a 2b 2 a 2+2ab+b2 原式 x+y24xy1 ab2 a+b2x22xy+y21 ab+a+b1 abab 八、先拆项再运用 xy2 bc ab22 ba c2例 10、分解因式： x 47x2

17、+1 7 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：把以下各多项式分解因式：答案： （ 1）xyxyxy；（2）3xx32；1、a 2b 2+ab 2、a2b2+2b1 （3）x1 x2；（4）2xy22xy3、x 4y 45x 2y2+4 4、x2 x 2y+ y 22 y x 2【例 2】分解因式：y5、x 4+4 6、x n+22x n+1+x n（1）x23xy10精典例题：【例 1】分解因式：（2）2x 3y2x 2y212xy3（1）x3yxy 3（3）x24216x2（2）3x318x227x

18、分析： 对于二次三项齐次式,将其中一个字母看作“ 末知数” ,另一（3）x12x1个字母视为“ 常数” ；第一考虑提公因式后,由余下因式的项数为3 项,可考虑完全平方式或十字相乘法连续分解；假如项数为2,可考虑平方（4）4xy22yx3差、立方差、立方和公式；（3）题无公因式,项数为2 项,可考虑平方差公式先分解开,再由项数考虑挑选方法连续分解；分析： 因式分解时,无论有几项,第一考虑提取公因式；提公因答案： （ 1）x2yx5y；（ 2）2xyx3yx2y；（ 3）式时,不仅留意数,也要留意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽；x22x22xyy2a2z2；当某项完全提出后,该项应

19、为“1”【例 3】分解因式：留意ab2nba2n,ab2n1ba2n1（1）42 x4分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前,字母因数在（2）a3a2 b2b后；单项式在前,多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范畴内不能再分解为止；如无指定范畴,一般在有理数范畴内分解；（3）x22 xyy22x2y38 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采纳分组分解 可；法,；四项式一般采纳“ 二、二” 或“ 三、一” 分组,五项式一般采纳

20、略证：a2b2c2abbcac0112212“ 三、二” 分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法连续分解；2a22b22 c22 ab2bc2ac0答案： （1）2 xyz2 xyz（三、一分组后再用平方差）（2）a2 ba1a1（三、二分组后再提取公因式）ab2bc2ca20abc（3）xy3xy1（三、二、一分组后再用十字相乘法）即 ABC 为等边三角形；探究与创新：【例 4】在实数范畴内分解因式：【问题一】（1）x44；（ 1）运算：11111111223292102（2）2x23x1分析： 此题先分解因式后约分,就余下首尾两数；答案： （1）2 x2x2x2解：原式11111

21、111111111（2）2x3417x341722339910101323910911【 例5 】 已 知 a 、 b、 c 是 ABC的 三 边 , 且 满 足2234891010a2b2c2abbcac,求证：ABC 为等边三角形；11 20分析： 此题给出的是三边之间的关系,而要证等边三角形,就须考虑（2）运算：2002220012200021999219982证abc,从已知给出的等式结构看出,应构造出三个完全平方式ab2bc2ca20,即可得证,将原式两边同乘以2 即分析： 分解后,便有规可循,再求1 到 2002 的和；9 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

22、页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解22：202 0原1 0020 02式9 0102 0 219 1 10xy210xy25；20019 2099092002200119991998 3 1 3、运算： 1998 2002,2724627232；4、如a2a10,那么a2001a2000a1999；20021200225、假如8 22102n为完全平方数,就n ；2005003 【问题二】假如二次三项式x2ax8（ a 为整数）在整数范畴内可以分6、 m 、 n 满 足m2n40, 分 解 因 式x2y2m xyn；二、挑选题：解因式,那么a 可以取那些值？分

23、析： 由于 a为整数,而且x2ax8在整数范畴内可以分解因式,1、把多项式ab1ab因式分解的结果是（）因此可以确定x2ax8能用形如x2pqxpq型的多项式进行分A 、a1 b1B 、a1 b1C、a1 b1D 、a1 b1解,其关键在于将8 分解为两个数的积,且使这两个数的和等于a ,由此可以求出全部可能的a 的值；答案： a 的值可为 7、 7、 2、 2 跟踪训练：一、填空题：2、假如二次三项式x2ax1可分解为x2xb,就ab的值为（）1、9n22；2a22；am 1 bamc；A 、 1 B 、 1 C、 2 D 、2 3、如9x2mxy16y2是一个完全平方式,那么m的值是（）2

24、、分解因式：x22xyy2；A 、24 B、12 C、 12 D、 24 4、已知2481可以被在60 70 之间的两个整数整除,就这两个数是x27xy18；10 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜A 、61、63 B、61、 65 C、61、67 D、63、65 可引出什么规律？用等式将其规律表示出来：；三、解答题：22a12x3 y的值；（ 2 ）5 、 已 知a 、b、 c是 ABC的 三 边 , 且 满 足1、因式分解：a4b2c2b

25、4a2c2,试判定ABC 的外形；（ 1 ）6xn114xn8xn1阅读下面解题过程：x23 x22x23x8（4 ）解：由a4b2c2b4a2c2得：（3 ）a2b22ab2 ba4b4a2c2b2c20x1x2x3x41a2b2a22 bc2a2b2（5）1a21b24 ab即a2b2c2,求 ABC 为 Rt ；2、已知x26x8yy225试问：以上解题过程是否正确：；如不正确,请指出错在哪一3、运算：1002992982972212步？（填代号）；错误缘由是；此题的结论应为；4、观看以下等式：3 1123262102 3 1233 1233 33 1233 34311 / 12 名师归

26、纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 形；参考答案一、填空题：x1、3 n,2a,amabc； 2、xxyy2,xy9 x2,y522x23、3999996610；4、0；5、10 或 4；6、二、挑选题： DADD 三、解答题1、（ 1）2xn1x13 x4；（ 2）x1x2x4x12 x5x52（3）ab12；（4）1（5）1abababab2、323、5050 4、3 1233 3433 nnn1225、不正确,等式两边除以了可能为零的数,等腰或直角三角12 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页