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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列前 n 项和的最值问题：1、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最大值；（）如已知通项a na ,就S 最大a n10；a n0q的非零自然数时S 最大；（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近2p2、如等差数列的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最小值（）如已知通项a ,就S 最小a n10；a n0（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最小；2p数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；已知 S （即 a 1 a 2 a
2、n f n ）求 a , 用作差法 ：a n SS 1n , nS n 11 , n 2；f 1, n 1已知 a a 2 a n f n 求 a ,用作商法：a nf n f n 1 , n 2；已知条件中既有 S 仍有 a ,有时先求 S ,再求 a ；有时也可直接求 a ；如 a n 1 a n f n 求 a 用累加法 ：a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 a n 2；已知 a n 1 f n 求 a ,用累乘法 ：a n a n a n 1 a 2 a 1 n 2；a n a n 1 a n 2 a 1已知递推关系求 a ,用构造法 （构造等差、等比数
3、列）；n特殊地 ,（1）形如 a n ka n 1 b 、a n ka n 1 b （k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列 后,再求 a ；形如 a n ka n 1 k n的递推数列都可以除以 k 得到一个等差数 n列后,再求 a ；（2）形如 a n a n 1 的递推数列都可以用倒数法求通项；ka n 1 bk（3）形如 a n 1 a n 的递推数列都可以用对数法求通项；（7）（理科） 数学归纳法 ；名师归纳总结 （8）当遇到an1an1d或a n1q时, 分奇数项偶数项争论,结果可能是分段第 1 页,共 7 页a n1- - - - - - -精选
4、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观看法；（2）由递推公式求通项；对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题；1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d,q 为常数）例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；例 1、解an+1-an=2 为常数an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知 a n 满意 a n 1 1 a ,而 a 1 2,求 a =？2（2）递推式为 an+1=
5、an+f （n）例 3、已知 an中a 11,a n1a n211,求a .121 122 4 n解： 由已知可知an1an2n1n1 1 211 2 nn令 n=1, 2, ,（n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1）+（a3-a 2）+ +（an-a n-1）ana 11 11 14n3an+1=an+f （n）以 n=1,2, ,22 n4 n2说明只要和 f （1）+f （2）+ +f （n-1 ）是可求的,就可以由（n-1 ）代入,可得n-1 个等式累加而求an；3 递推式为 an+1=pan+q（p,q 为常数）例 4、 a n 中,a 1 1,对于 n1（n
6、 N）有 a n 3 a n 1 2,求 a . 解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2,an=3an-1+2；两式相减： an+1-a n=3（an-a n-1）因此数列 an+1-an 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a1=（3 1+2）-1=4 n-1an+1-a n=4 3an+1=3an+2 3an+2-a n=43n-1 即 a n=23 n-1-1 解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有：a2-a 1=4,a3-a 2=4 3,a4-a 3=4 3 2, ,an-a n-1=4 3 n-2,把 n-1 个等式累加得：an=2 3n-
7、1-1 4 递推式为 an+1=p a n+q n （p,q 为常数）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - bn1bn2b nbn1学习必备欢迎下载2 2nanb n3 1n2 1n由上题的解法,得：bn3332n23 5 递推式为an2pan1qan思路：设a n2pan1qa , 可以变形为：an2an1a n1a n,想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型；求 a ；6 递推式为 Sn与 an 的关系式关系；（2）试用 n 表示 an；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
8、,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上式两边同乘以学习必备欢迎下载1 n 2 21 a n211S n1S na nan12 1na n 1 a n a n 1 1n 1a n 122 n+1得 2 n+1an+1=2 nan+2 就2 nan 是公差为 2 的等差数列；n 22 nan= 2+ （n-1 ）2=2n 2数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前13 5 2n-1=n2n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的；【例 8】 求数列 1,（3+5）,（7+9+10）,（ 13+15+17+19）, 前 n 项
9、的和；解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有1+2+ +n=1n n1 个奇数,2最终一个奇数为：1+1 nn+1-1 2 2=n 2+n-1 因此所求数列的前n 项的和为（2）、分解转化法名师归纳总结 对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和；2）第 4 页,共 7 页【例 9】求和 S=1 （n2-1 ）+ 2 （n 2-22）+3 （n2-32） + +n（n 2-n解 S=n2（1+2+3+ +n）- （ 1 3+23+3 3+ +n 3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）、倒序相加法适用于给定式
10、子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和；例 10、求和：S n3 C16C26C23nCn3nCnnnn例 10、解S n0C03 C1nnnn S n=3n 2n-1 （4）、错位相减法假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和n-1 前 n 项的和例 11、 求数列 1,3x,5x2, ,2n-1x解设 Sn=1+3+5x2+ +2n-1xn-12x=0时, Sn=13 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x2+5x3+ +2n-1xn,
11、-,得 1-xSn=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1-2n-1xn5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消；常见裂项方法：例 12、求和1112n1n31 53 75 912名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多；在把握常见题型的解法的同时,也要留意数学思想在解决数列问题时的应用；二、常用数学思想方法 1函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决；【例 13】等差数列 a n
12、的首项 a10,前 n 项的和为 Sn,如 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时 Sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数；a10 Sl=Sk（l k）, d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】设等比数列 an 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q；分析 此题考查等比数列的基础学问及推理才能；解依题意可知 q 1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1；由此应推出 q 1 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q 0 此题仍可以作如下摸索：S6=S3+q 3S3=（1+q 3）S3 ；S9=S3+
13、q 3S6=S3（1+q 3+q 6）,由 S3+S6=2S9 可得 2+q 3=2（1+q 3+q 6）, 2q 6+q 3=0a1=0 与等比数列不符；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3换元思想【例 15】已知 a,b,c 是不为 1 的正数, x,y,zR+,且求证： a,b, c 顺次成等比数列；证明 依题意令 a x=b y=c z=k x=1og ak,y=log bk,z=log ck b 2=ac a,b, c 成等比数列（ a,b,c 均不为 0）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页