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1、精品_精品资料_9、等腰三角形【学问精读】（）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等.定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.推论 2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合
2、一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据.（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”.）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2. 定理及其推论的作用.等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点.3. 等腰三角形中常用的帮助线等腰三
3、角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题的帮助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合,添加帮助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时就需要作高或中线,这要视详细情形来定.【分类解读】例 1. 如图,已知在等边三角形ABC 中, D 是 AC 的中点, E 为 BC 延长线上一点,且CECD , DM BC ,垂足为 M .求证： M 是 BE 的中点.AD1BMCE分析： 欲证 M 是 BE 的中点,
4、已知DM BC ,所以想到连结BD ,证 BD ED.由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 是等边三角形,DBE 1 E,从而问题得证.1 ABC ,而由 CE CD ,又可证 E21 ACB ,所以2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 由于三角形 ABC 是等边三角形, D 是 AC 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 11 ABC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 CE CD ,所以 CDE E所以 ACB 2E即 1 E所以 BD BE ,又 DM BC,垂足为 M所以 M 是 BE 的中点（等腰三角
5、形三线合肯定理）例2.如 图 , 已 知 ：ABC中 , ABAC, D是 BC上 一 点 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADDB , DCCA ,求BAC 的度数.ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 题中所要求的BAC 在 ABC 中,但仅靠 ABAC 是无法求出来的.因此需要考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_虑 ADDB 和 DCCA 在题目中的作用.此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关系.因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求.解： 由于 ABAC ,
6、所以BC由于 ADDB ,所以BDABC .由于 CACD ,所以CADCDA（等边对等角）而ADCBDAB所以ADC2B, DAC2B所以BAC3B又由于BCBAC180即BC3B180所以B36即求得BAC108说明 1. 等腰三角形的性质是沟通此题中角之间关系的重要桥梁.把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在.本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后 边的解题中将进一步表达.2. 留意“等边对等角”是对同一个三角形而言的.3. 此题是利用方程思想解几何运算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 已知：如图,AB
7、C 中, ABAC , CDA 1 2AB 于 D.求证：BAC2 DCB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBE 3C分析： 欲证角之间的倍半关系,结合题意,观看图形,BAC 是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与DCB 的关系.证明： 过点 A 作 AEBC 于 E,ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1由于1212B90BAC（等腰三角形的三线合一性质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 CDAB ,所以CDB90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以3B90
8、（直角三角形两锐角互余）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以13 （同角的余角相等）即BAC2DCB说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系.因此添加底边的高是一条常用的帮助线.2. 对线段之间的倍半关系,常采纳“截长补短”或“倍长中线”等帮助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”.因此,此题仍可以有其它的证 法,如构造出DCB 的等角等.4、中考题型：1.如图, ABC 中, AB AC, A36, BD、CE 分别为 ABC 与 ACB 的角平分线,且相交于点F,就图中的等腰三角形有（）A. 6 个B.
9、 7 个C. 8 个D. 9 个A 36EDFBC分析： 由已知条件依据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个,故挑选 C.2.）已知：如图,在 ABC 中, AB AC, D 是 BC 的中点, DE AB , DF AC ,E、F分别是垂足.求证： AE AF .AEFBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 由于 ABAC ,所以BC又由于 DEAB , DFAC所以BEDCFD90又 D 是 BC 的中点,所以DBDC所以 DEBCFD AAS 所以 BECF ,所以 AEAF说明： 证法二：连结 AD ,通过AEDAFD 证明即可5、题形展现：
10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1. 如图,ABC 中, ABAC,A100, BD 平分ABC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： ADBDBC .1B2ADEFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析一： 从要证明的结论动身,在BC 上截取 BFBD ,只需证明CFAD ,考虑到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 ,想到在BC 上截取 BEBA ,连结 DE ,易得,就有 A
11、DFD ,只需证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DECF ,这就要从条件动身,通过角度运算可以得出CFDFDE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明一： 在 BC 上截取 BEBA , BFBD ,连结 DE、DF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABD 和 EBD 中, BABE , 12, BDBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABDEBD SAS可编辑资料 - - - 欢迎下
12、载精品_精品资料_ADDE ,BEDA100DEF80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ABAC ,A100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCC1 1802100 40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12140202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 BDBFDBFBDF1 180221 180220 80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DEFDFE80DEDF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DFE8
13、0 ,C40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FDC FDCDFE CC8040 DFFC40ADDEDFFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCBFFCBDAD即 ADBDBC分析二： 如图,可以考虑延长BD 到 E,使 DE AD ,这样 BD AD=BD+DE=BE,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只需证明 BE BC,由于220,只需证明A1EBCE803 DE 45 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B2FC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易证EDCADB1801002060 ,BDC120,故作BDC 的
14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角平分线,就有ABDFBD,进而证明DECDFC,从而可证出E80 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明二： 延长 BD 到 E,使 DE AD ,连结 CE,作 DF 平分BDC 交 BC 于 F.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由证明一知：1220 ,A100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有31801002060 ,6360 ,BDC18060120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DF 平分BDC4560可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_345660,在ABD
15、 和 FBD 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12, BDBD ,34ABDFBD ASA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADFD ,BFDA100,而 ADDE , DFDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 DEC 和 DFC 中, DEDF , 56, DCDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DECDFC SAS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EDFC180BFD18010080可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BCE 中,220 , 380可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
16、_BCE80 ,EBCE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCBE, ADBDBC说明：“一题多证”在几何证明中常常遇到,它是培育思维才能提高解题水平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去摸索、去体会,进一步提高自身的解题才能.【实战模拟】1. 挑选题：等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,就腰长为（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.以上都不对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如图,ABC 是等边三角形,CBD90 , BDCBC ,就1 的度数是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
17、_A213DB3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. ABC 中, ABAC , A120, AB 的中垂线交 AB 于 D ,交 CA 延长线于 E,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： DE1 BC .2AEDO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B12C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【试卷答案】1. B解答：当底长时,腰为5-3=2cm,三边为 5 , 2 , 2 不能构成三角形,这种情形不行以当腰长时.腰为 5+3=8,
18、 三 边 为 , 5, 8, 8能 构成三角形故故腰选长为A8点评：此题考查等腰三角形的性质等腰三角形有两边相等以三角形的三边关系2. 分析： 结合三角形内角和定理,运算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用.解： 由于ABC 是等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ABBC ,ABC60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 BD所以3BC ,所以 ABBD 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABD 中,由于CBD90 ,ABC60可编
19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以ABD150,所以215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以12ABC753. 分析： 第一将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言.已知： 如图,在ABC 中, ABAC , D、E 分别为 AC 、AB 边中点, BD 、CE 交于 O 点.求证：点O 在 BC 的垂直平分线上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 欲证此题结论,实际上就是证明OBOC .而 OB 、OC 在 ABC 中,于是想到利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
20、- - 欢迎下载精品_精品资料_用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有1、 2 的两个三角形全等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 由于在ABC 中, ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以ABCACB（等边对等角）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 D 、E 分别为 AC 、AB 的中点,所以 DCEB （中线定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BCD 和 CBE 中,DCEB已证 DCBEBC 已证 BCCB公共边 所以 BCDCBE SAS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1所
21、以 OB2 （全等三角形对应角相等）.OC （等角对等边）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即点 O 在 BC 的垂直平分线上.说明：（ 1）正确的懂得题意,并正确的翻译成几何符号语言是特别重要的一步.特殊是把“在底边的垂直平分线上”正确的懂得成“OB OC”是关键的一点.（ 2）实际上,此题也可改成开放题：“ABC 中, AB AC , D、E 分别为 AC 、AB 上的中点, BD 、CE 交于 O.连结 AO 后,试判定 AO 与 BC 的关系,并证明你的结论”其 解决方法是和此题解法差不多的.4. 分析： 此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形.题目中是求线段的倍半
22、关系,观看图形,考虑取BC 的中点.证明： 过点 A 作 BC 边的垂线 AF,垂足为 F.EA312DBFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中, ABAC ,BAC120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以BC3031可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1260, BF1 BC2（等腰三角形三线合一性质）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以3所以160 （邻补角定义）.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 ED 垂直平分 AB ,所以E30（直角三
23、角形两锐角互余）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD1 AB2（线段垂直平分线定义）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 AF1 AB （直角三角形中角所对的边等于斜边的一半）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ADAF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 RtABF和 RtAED 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13已证 AFAD 已证AFBADE90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 RtABFRtAEDASA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 EDBF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ED说明：1 BC .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）依据题意,先精确的画出图形,是解几何题的一项基本功.（ 2）直角三角形中 30 角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺当证明打通了思路.可编辑资料 - - - 欢迎下载