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1、院 系 班级 姓 名 作业编号 第十一章 无穷级数作业29 常数项级数的概念和性质1按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和：（1） ； 解：因为所以因此由定义可知该级数收敛（2）；解：因为所以，因此由定义可知该级数发散（3） ；解：因为所以，因此由定义可知该级数收敛 （4）；解：因为，依次重复所以，不存在因此由定义可知该级数发散2利用基本性质判别下列级数的敛散性：（1）；解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，由级数的基本性质，该级数发散（2）；解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项相加得到的，由级数的基本性质，该级数收敛（3）；解：观察发现该级数为，是收敛的等比
2、级数与发散的逐项相加得到的，由级数的基本性质，该级数发散（4）解：观察发现该级数一般项为，但由级数收敛的必要条件，该级数发散作业30 正项级数及其收敛性1用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，而是收敛的等比级数从而由比较判别法，该级数收敛（2）解：由于，而是收敛的等比级数从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛2用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性：（1）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（2）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（3）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（4）解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛3用柯西判别法判定下
3、列级数的敛散性：（1）；解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛（2）解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛4用判别法判定下列级数的敛散性：（1） ；解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散（2）解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散5设为正整数，证明：（1） ；解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知（2）解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知，从而由无穷大量与无穷小的关系作业31 交错级数与任意项级数的收敛性1判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：（1） ；解：该级数为交错
4、级数，其一般项的绝对值为单调减少，且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于，由判别法知发散，从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛（2）；解：由于，由判别法知，绝对收敛（3） ；解：由于不存在，由收敛级数的必要条件，从而该级数发散（4）；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛（5） 解：当时显然收敛，否则，当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，当时级数变为发散当时级数变为条件收敛7若存在，证明绝对收敛证明：由已知从而绝对收敛8若级数绝对收敛，且，试证：级数和都收敛级数是否收敛？为什么？证明：若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件由，从而级数和都有意义，而，从而级数和都收敛。级数发散，因为
5、，收敛的必要条件不满足。作业32 幂级数及其求和1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为（2）；解：当时即为，由于从而级数发散，因此收敛域为（3） ；解：当时，当时幂级数即为，由于从而级数发散当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。因此收敛域当时当时，当时即为即为，由于从而级数发散，从而当时收敛域为（4）；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为（5） ；解：因此收敛域为（6）解：对于，当时即为条件收敛，当时即为发散，从而原级数的收敛半径为1，收敛域为2求下列幂级数的收敛域及其和函数：（1） ；解：当时，即为条件收敛，当时即为发散，从而幂级数的收敛域为设，则从而故（
6、2）；解：当时，即为发散，从而幂级数的收敛域为故，（3）解：从而幂级数的收敛域为设，则，由特征方程，得通解再由得特解（4），并求数项级数的和解：，当时发散，从而幂级数的收敛域为设，则，作业33 函数展开成幂级数1将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）：（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）(提示：利用)；解：，（5）解：2将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）：（1）； 解：（2）解：3求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间：（1）； 解：（2）解：4展开为的幂级数，并证明：解：从而作业34 傅里叶级数1下列周期函数的周期为，它在一个周期上的表达式列举如下，试求 的傅
7、里叶级数展开式（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）解：2将下列函数展开成傅里叶级数：（1）；解：（2）；解：3将下列各函数分别展开成正弦级数和余弦级数：（1）解：展开成正弦级数，则作奇延拓，展开成余弦级数，则作偶延拓，（2）解：展开成正弦级数，则作奇延拓，展开成余弦级数则，作偶延拓，作业35 一般周期函数的傅里叶级数1设是周期为6的周期函数，它在上的表达式为 试求的傅里叶展开式解：2在指定区间上展开下列函数为傅里叶级数：解：取作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故时时3将函数分别展开成正弦级数和余弦级数解：展开成正弦级数，则作奇延拓，展开成余弦级数，则作偶延拓，4试将函数展开成周期为8的
8、正弦级数解：展开成正弦级数，则作奇延拓，第十一章无穷级数测试题 1选择题：（1）对级数，“”是它收敛的 B 条件 A充分； B必要； C充要； D非充分且非必要 （2）“部分和数列有界”是正项级数收敛的 C 条件 A充分； B必要； C充要； D非充分且非必要 （3）若级数绝对收敛，则级数必定 A A收敛； B发散； C绝对收敛； D条件收敛 （4）若级数条件收敛，则级数必定 B A收敛； B发散； C绝对收敛； D条件收敛2用适当的方法判定下列级数的敛散性：（1） ； 解：因为从而该正项级数发散（2）；解：因为从而该正项级数收敛（3）； 解：因为从而该正项级数收敛（4）；解：因为从而该正项级
9、数收敛（5） ；解：因为从而该正项级数发散（6）；解：因为从而该正项级数发散（7）；解：因为从而该正项级数发散（8）；解：设，则而，时，从而 收敛的必要条件满足。设，则同理可以推出而的级数收敛，从而原正项级数也收敛（9），其中均为正数，且；解：用柯西判别法当时发散，当时该正项级数收敛当时不能判定敛散性。（10）解：由积分中值定理，从而有比较判别法收敛3判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：（1） ；解：令，则时从而单碟减少，又从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛（2）；解：从而该级数是交错级数，由于单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是条件收敛
10、而不能绝对收敛（3）；解：因为从而该级数绝对收敛（4）解：去掉前面有限项即当足够大时为交错级数，由于，对足够大的单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛4求下列极限：（1）；解：由于单调增加且从而因此由夹逼准则（2）解：令，由于看从而，因此5求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）；解：看，而因一般项极限不为零而发散从而该幂级数的收敛半径也为，收敛域为（2）解：为收敛半径考虑端点，当时收敛域为；当时收敛域为；当时收敛域为；6求下列幂级数的收敛域及其和函数：（1）；解：为收敛半径考虑端点则知收敛域为。在收敛域内设，则在收敛域内再设，则（2）解：解：为收敛半径考虑端点则知收敛域为。在收敛域内设，则7将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）：（1）； 解：由于（2）；解：由于，从而（3）解：由于，从而 8将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）：（1）；解：（2）解：，而从而9将下列函数展开成傅里叶级数：解：该函数为奇函数，延拓为周期的周期函数展开，当10将函数在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数解：该函数延拓为奇函数，再延拓为周期的周期函数展开得正弦级数，；该函数延拓为偶函数，再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数，；31