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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 欢乐课堂中学数学精讲华东师范高校出版社简称“ 华师版” 第 15 章八上第四单元平移与旋转说明：课本和一般辅导书已有内容,一般不再重复；全日制义务训练数学课程标准关于本单元内容的标准要求第一学段 13 年级 二、空间与图形 3图形与变换1结合实例,感知平移、旋转、对称现象；例：在以下现象中,哪些是平移或旋转现象 . 1方向盘的转动；2水龙头开关的转动；3电梯的上下移动；4钟摆的运动；2能在方格纸上画出一个简洁图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形；其次学段 46 年级 二、空间与图形 3图形与变换3通过观看实例,熟悉图形的平移与旋转,能在方格纸上
2、将简洁图形平移或旋转 90 ；4观赏生活中的图案,敏捷运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案；第三学段 79 年级 二、空间与图形 2图形与变换2图形的平移 通过详细实例熟悉平移,探究它的基本性质,懂得对应点连线平行且相等的性质；能按要求作出简洁平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计,熟悉和观赏平移在现实生活中的应用；3图形的旋转 通过详细实例熟悉旋转,探究它的基本性质,懂得对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；明白平行四边形、圆是中心对称图形；能够按要求作出简洁平面图形旋转后的图形；观赏旋转在现实生活中的应用；探究图形之间的变换关系轴对称、平移、旋转及其
3、组合；敏捷运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计；* 平移、旋转,再加上已经学习过的轴对称,这三种图形变换,统称为“ 全等变换”；“ 全等变换” 在九年义务训练的三个学段,都支配了学习；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,本单元的基本学问是很简洁的,学校生都可以把握好；作为中同学,在学习“ 全等变换” 时,应当留意什么呢？一、概念的精确把握；语言表达的完整和严谨；二、更重要的是体会, “ 全等变换” 在图形问题的思维中的重要性；平移的定义：将一个图形上的全部点都依据某个方向作相同距离的移动,这样的图形运动叫做
4、图 形的平移运动,简称平移；平移的基本性质：1平移变换不转变图形的外形、大小和方向平移前后的两个图形是全等形,只是位置发生变化；经过平移,对应线段平行或共线且相等对应线段相等,即不转变图形的大小；经过平移,对应角相等对应角相等,即不转变图形的外形；经过平移,对应点所连接的线段平行或共线且相等即不转变图形有方向；2平移是由方向,距离打算的平移的两个要素3多次平移相当于一次平移；4偶数次轴对称对称轴平行或中心对称后简说为“2N 次对称后” 的图形 等于平移后的图形；平移的画法：一、依据平移的定义画；1、依据平移的方向和距离,画出一个“ 要素点” 的对应点；2、用画平行线的方法,画出全部要素点的对应
5、点；3、依据平移后的要素点,画出平移后的图形；说明：要素点,即用以确定图形的外形的点；可以在图形上,如线段的端点；也可以不在 图形是,如圆的圆心；二、依据平移的性质画； 只适用于由直线或线段组成的图形1、依据平移的方向和距离,画出一个“ 要素点” 的对应点；2、用画平行线的方法,画出全部的对应线段或直线；平移的思维作用 : 平移常与平行线有关；所以,画平行线是解决图形问题时,常常使用的帮助线；名师归纳总结 平移可以将一个角 ,一条线段 ,一个图形平移到另一个位置,使分散的条件集中到一起,第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使问题得
6、到解决；例 1：平行四边形面积公式,就是用平移的方法得到的；从而得到：等底等高的平行四边形面积相等；再得到：等底等高的三角形面积相等；例 2：求此图形的周长；图形由6 条线段围成,且其中4 条线段仍不知道长度；利用平移,把图形变换成求长方形的周长；得图形周长 =3+5*2=16 例 3：如图：长 11 米宽 31 米的长方形草地内,有两条宽1 米的小道,求阴影部分的面积；利用平移,把小道平移到边上,这样就把四个小块阴影部分,集中到了一起；得出阴影部分面积 =31-1 *11-1=300 平方米名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 例 4：如图,直角梯形 ABCD 中,AB=8 ,CD=2 ,BC=8 ,求 AD 的长；利用平移,将 AD 移动后,组成直角三角形；由勾股定理得, AD=根号 6 方+8 方=10 旋转的定义 在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋 转运动,简称旋转；这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角；旋转的基本性质1旋转变换不转变图形的外形、大小旋转前后的两个图形是全等形,但是方向和位置发生变化；经过旋转,对应线段相等即不转变图形的大小；经过旋转,对应角相等即不转变图形的外形；2旋转的三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度；留意：三要素中只 要任意转变一
8、个,图形变换的结果就会不一样；3对应点到旋转中心的距离相等； 可联想到扇形,等腰三角形 ；4对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；5对应线段所在直线的夹角等于旋转角；6绕同一个定点多次旋转相当于一次旋转；7偶数次轴对称对称轴交于一点后的图形等于旋转后的图形；旋转的画法：一般旋转没有什么特殊的画法,就是依据旋转的定义画；旋转对称图形名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 把一个图形围着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对 称图形,这个定点叫做旋转对称中心, 旋转的角度叫做旋转角； 0 度 旋转角
9、360 度；常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆 等；例1 正多边形都是旋转对称图形,偶数边的正多边形仍是中心对称图形；正多 边形最小旋转角等于 360 除以边数；例2线段、长方形、平行四边形、圆是中心对称图形；等腰梯形不是旋转对称图 形；注：全部的中心对称图形都是旋转对称图形；圆的旋转角为任意角；旋转的思维作用 : 旋转与平移一样, 可以将一个角 ,一条线段 ,一个图形移动到另一个位置 ,使分散的条件 集中到一起 ,使问题得到解决；旋转常与旋转对称图形有关,而且由于旋转时 “ 对应点到旋转中心的距离相等”,所以等腰三角形也会使用到旋转；对于等腰三角形,也可以看是线段旋转而构成
10、两腰；再由等腰三角形拓展,当图形中显现两条线段长度相等地,且有一个公共端点,就 可能使用旋转方法；例 1：等边三角形 ABC 中有一点 D,使得 DA=3,DC=4 ,DB=5,求角 ADC 分析：由 3,4,5 很简洁想到勾股定理,可是它们并不在一个三角形中,怎么办？旋转呀！将三角形 ABD 绕点 A 旋转 60 度到三角形 ACE；就三角形 ADE 是等边三角形,角ADE 是 60 度,DE=AD=4 ,又 CE=BD=5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得角 EDC=90 度 最终得角 ADC=90 度+6
11、0 度=150 度；* 例 2：如图,B 在 AD 上,三角形 ABC 和 BDE 都是等边三角形, 请说明 CD 和 AE 的关系；分析： CD 在三角形 CDB 中,另两边 CB 和 BD 分别是两等边三角形的边；同样,AE 在三角形 AEB 中,另两边 AB 和 BE 分别是两等边三角形的边；且有一个公共点 B；可用旋转说明,三角形 ABE 绕点 B 旋转 60 度,可得到三角形 CBD ,所以, AE=CD ；* 例 3：如图,正方形 ABCD 中,E 在 BC 上,F 在 CD 上,BE+DF=EF ,求角 EAF；分析：条件中 BE+DF=EF ,而 BE 和 DF 不在一起,应当
12、想方法移到一起,而正方 形邻边相等,正好做旋转；将直角三角形 ADF 绕 A 旋转 90 度到三角形 ABP ,就角 PAF=90 度,PE=EF ,AP=AF 即三角形 PAE 与 FAE 成轴对称,得角 * EAF=90 度/2=45 度；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4：如图,五边形 ABCDE 中,AB=AE ,BC+DE=CD ,角 ABC+ 角 AED=180 度,请说明 AD 平分角 CDE；分析：此题同样是显现了有公共端点且相等的两边,也显现了已知条件中不在一起的线段 BC 和 DE,不在一
13、起的角ABC 和角 AED,利用旋转；将三角形 ADE 旋转到三角形 AFB ,得 FC=CD ,AF=AD ,进而得角 ADC= 角 AFC= 角 ADE 从而说明 AD 平分角 CDE；中心对称把一个图形围着某一点旋转180 ,假如它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中 心的对称点；中心对称是旋转的特殊情形,旋转角是180 度,正好成一条直线；中心对称可以简称为点对称,轴对称可以简称为线对称,一般说“ 对称”,就是说这两种情形；中心对称的性质关于中心对称的两个图形是全等形；即对应边相等,对应角相等；关于中心对称的两
14、个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分；轴 对称是垂直平分关于中心对称的两个图形,对应线段平行或者在同始终线上且相等；又是平 行且相等,不过,与平移不同的是,对应线段的方向是相反的；中心对称的画法出；一是依据定义画；即用旋转的方法；但由于 180 度的特殊性,不使用量角器即可画名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、从要素点开头,连接对称中心,并延长,在延长线上取要素点的对称点；对称中 心是要素点和对应点的中点；2、用上 1 方法,画出全部要素点的对应点；3、连接对应点,画出中心对称后的图形；二、依
15、据中心对称的性质画； 只适用于由直线或线段组成的图形1、用“ 一“ 的方法画出一个“ 要素点” 的对应点；2、用画平行线的方法,画出全部的对应线段或直线；中心对称图形留意：方向相反在平面内,一个图形绕某个点旋转 180 ,假如旋转前后的图形相互重合,那么这个 图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心；中心对称图形与轴对称图形、旋转对称图形一样,都是描述图形的整体特点对 称性的；我们在观看或描述一个图形时,第一要看整体,即对称性；再分别看边、角、对角 线等；中心对称图形的性质 中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分；对称中心是中 点,所以,中心也就可能成为对称中心； 过对称中
16、心的任意一条直线,可以把图形分成全等的成中心对称的两个图形；包 括面积相等哦；常见中心对称图形矩形,菱形,正方形,平行四边形,圆 段,直线等；,正2N边形 N 为大于 1 的正整数,线此外,以后要学的函数图像中,反比例函数的图像双曲线是以原点为对称中心的中 心对称图形；实际上,除了直线外,全部中心对称图形都只有一个对称点；留意：正偶边形是中心对称图形,正奇边形不是中心对称图形；说下语文 某对称包括中心对称、轴对称等 ,是说两个图形之间的关系；某对称在使用时,应当说：两图形“ 成” 某对称,或者,两图形“ 关于某点或某线 ” 对称；* 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11
17、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 某对称图形,是说一个图形的整体特点；某对称图形在使用时,应当说：图形是某对称图形；* 从以上可以看出,某对称图形是名词,而某对称是形容词,并引申为动词；中心对称的思维作用中心对称与旋转、平移一样,可以将一个角,一条线段 ,一个图形移动到另一个位置,使分散的条件集中到一起 ,使问题得到解决；中心对称图形中用到中心对称就不多说了；在下一章“ 平行四边形” 中,会常常用 到；由于对称中心平分对应点之间的连线,即对称中心是两对应点的中点,所以,当题 目条件中显现中点时,可使用中心对称；假如题目已显现平行,就可选非平行线的中心做对称中心；由于对应线段
18、平行且相等,使用中心对称时,所用辅导线就是平行线；由于过对称中心的任意直线将中心对称图形分成全等且成中心对称的两部分；所以,涉及面积平分,也使用中心对称,不过这时是找对称中心；例 1：梯形的面积公式就使用了中心对称；因两底平行,利用腰上的中点做中心对称；可以变成平行四边形,平行四边形的底是梯形的上底 可心变成三角形,三角形的底是梯形的上底 +下底；都得到梯形面积公式： 上底 +下底 *高/2 +下底 /2；而且第一种,仍得到梯形中位线公式； 这在以后会学到用到； 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - * 例 2：如图,
19、 BC 平分 EF,BE=CF ,试说明 AB=AC ；条件中的 BE=CF ,两线段没有直接关系,得移动,再加上 D 是 EF 中点,挑选中心 对称；做 EG 平行 AF,交 BC 于 G,因中心对称,得 EG=CF=BE 然后你就会说明 AB=AC 了；* 例 3：如图,将类似 L 型的图形面积平分；把图形用割或补的方法,变出两个中心对称图形,再取两个对称中心,过两对称中 心的直线,将图形面积平分；假如你观看细心,你会发觉什么？不错,符合要求的三条直线 可以将图形面积平分；L1、L2、L3 都交于一点；而且过这一交点的全部直线都由于这一交点,就是该图形的重心；关于重心,在这就不多说了,在物
20、理中会用到,在数学中也用到；不过在数学中,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般只说三角形的重心即三条中线的交点；关于全等,在这就不多说了,在这只要知道轴对称、平移,旋转含中心对称都 是全等变换；更多关于全等的学问,在“ 全等三角形” 时学习；最终强调一点：余外老师所举例题,进行分析时,都不是几何中的规律推理,即不是证明；由于,对于“ 华东师大版”,要到初三才正式学证明；在举例分析中所用方法,并不是在证明时就不用了,反而更重要；由于几何证明题,最重要的不是最终的证明过程；而是分析,找出通路；而对分析,查找通路时,平移、旋转、轴对称,都是重要的思维工具；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页