2022年大一高数复习资料.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -大一高数复习资料高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数 函数基础（高中函数部分相关学问）（） 邻域（去心邻域） （）【题型示例】运算：1（或）函数在的任一去心邻域就有 limg（特殊的,当（不定型）时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法就求解）2即对成立,【题型示例】求值,当lim时,始终有不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 30 页 - - - - - - -

2、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【求解示例】解：由于A第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）,从而可为函数,所以原式函数函数无穷小无穷大为有界函数,其中的可去间断点假如运用罗比达法就求解（详见第三章其次节）： 无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设为无穷小,就（定理四）在自变量的某个变化过程中,如解： lim 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）如函数为无穷大,就为无穷小.反之,如是定义域上的连续函数,那么,为无穷小,且,就为无穷大高等数学期末复习资料第 1 页

3、（共 8 页）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：由于即所以原式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim【求解示例】【题型示例】求值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第八节函数的连续性 函数连续的定义（） 间断点的分类（P67）（）第六节极限存在准就及两个重要极限 夹 迫 准 就 （ P53）（） sinx可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,第一个重要极限：lim跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）其次类间断点）无穷间断点（极限为（特殊的,可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数（特殊的,应当怎样挑选数a,使得成为在 R上的连续函数？【求解示例】）x 单调有界收敛准就（ P57）（）2由连续函数定义其次

5、个重要极限：（一般的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -）【题型示例】求值：,其中第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（）【题型示例】证明：方程【证明示例】至少有一个根介于a 与 b 之间1（建立帮助函数）函数2（端点异号）在闭区间上连续.【求解示例】解：3由零点定理,在开区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名

6、师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 2 页（共 8 页）1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12切线方程：【求解示例】由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边对 x 求导即化简得法线方程：其次节函数的和（差） 、积与商的求导法就 函数和（差） 、积与商的求导法就（）特殊的,当时,有函数积的求导法就（定理二） ：3函数商的求导法就（定理三）：1线性组合（定理一） ：第三

7、节反函数和复合函数的求导法就 反函数的求导法就（）111切线方程：法线方程：【题型示例】设参数方程,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的导数【求解示例】1.2.参数方程型函数的求导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域D上单调、可导,且.【题型示例】求函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

8、 - - - - 复合函数的求导法就（）【题型示例】设【求解示例】e,求第三章第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法就（）中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【题型示例】现假设函数在上连续,在上可导,试证明：,2使得

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2成立【证明示例】1（建立帮助函数）令在闭区间明显函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

10、- - - - - - - - - -上连续,在开区间上可导.2又 即3由罗尔定理知第四节高阶导数,使得成立 拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当【证明示例】1（建立帮助函数）令函数的 n 阶导数, 【求解示例】,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求函数,（或）（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,就对,明显函数在闭区间上可导,并且上连续,在开区间.2由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,又,即证得：当时,【题型示例】证明不等式：当时,化简得【证明示例】1（建立帮助函数）令函数 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名

11、师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -；（）x 求导）y【题型示例】试求：方程所给定的曲线C：在点的切线 隐函数的求导（等式两边对方程与法线方程第五节隐函数及参数方程型函数的导数,就对,函数在闭1区间上连续,在开区间上可导,并且.高等数学期末复习资料第 3 页（共 8 页）2由拉格朗日中值定理可得, 使得等式解：设两边取对数得：化简得1成立,lnxx1x,又,1,x即证得：当时, e其次节罗比达法就

12、运用罗比达法就进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判定极限不定型的所属类型及是否满意运用罗比达法就的三个前提条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -对对数取时的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1limlny,从而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型（对数求极限法）属于两大基本不定

13、型（再进行1、2 步骤,反复直到结果得出）B不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）且满意条件,就进行运算：【题型示例】求值： 【求解示例】11x解：令两边取对数得型（转乘为除,构造分式）【题型示例】求值：limx【求解示例】lnx解：1（一般的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,x对 lny 求时的极限,从而可得limlny可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanx型（对数求极限法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：【求解示例】,其中）型（通分构造分式,观看分母）【题型示例】求值：【求解示例】解：令tanx,两边取对数得解：00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2对 lny 求时的极限,20000 型（对数求极限法）x【题

15、型示例】求值：limx从而可得 运用罗比达法就进行极限运算的基本思路（）limlny【求解示例】通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间） （）高等数学期末复习资料第 4 页（共 8 页）【题型示例】试确定函数【求解示例】1函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在区间在其定义域R 上连续,且可导上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上凹,在区间,解得：函数的拐点坐标为第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数2令的定义域为D,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的某个邻域我们就称函数,使得对,都适合不等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点处有极大值.4函数令满意：fx 的单调递增区间为.就函数在闭区间上的最大值M单调递减区间为.

17、设函数【题型示例】证明：当【证明示例】时,的定义域为D,假如的某个邻域,使得对1（构建帮助函数）设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,（,（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）我们就称函数2,都适合不等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,【题型示例】证明：当时,3既证：当【证明示例】1（构建帮助函数）设

18、在点处有微小值.令就函数在闭区间上的最小值m 满意：,（.）【题型示例】求函数【求解示例】1函数在上的最值1, 2（）3既证：当在其定义域上连续,且可导时,2令, 连续函数凹凸性（）【题型示例】试争论函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【证明示例】解得：3 4又2得：的单调性、极值、凹凸性

19、及拐点令解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4函数单调递增区间为0,1,1,2单调递增区间为.函数第六节函数图形的描画（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上,可导函数的导函数为,即当自变量时,有或成立,就称为在定义区间I使得的一个原函数原函数存在定理： （） 假如函数上连续,就在极大值在23的微小值在时取到,为,I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页,共 30 页 - - -

20、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上必存在可导函数时取到,为.,也就是说：连续函数肯定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）高等数学期末复习资料第 5 页（共 8 页）在定义区间I上,函数的带有任意常数项C 的原函数称为在定义区间I【题型示例】求【求解示例】上的不定积分,即表示为：（三角换元）22x a（1称为积分号,称为被积函数,称为积分表达式,x 就称为积分变量）a222 基本积分表（） 不定积分的线性性质（分项积分公式）（）212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

21、资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 18 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的逆向应用）1【题型示例】求（【求解示例】其次节换元积分法 第一类换元法（凑微分）（）第三节分部积分法 分部积分法（）设函数, v具有连续导数,就其分部积分公式可表示为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就近凑微分： （分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序.1运用分部积分法运算

22、不定积分的基本可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）使用分部积分公式：绽开尾项【题型示例】求,判定a如x是简单求解的不定积分,就直接运算出答案（简单表示使用基本积分表、换元法与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【求解示例】有理函数积分可以轻易求解出结果）.b如照旧是相当复杂,无法通过a 中方法求解的不定积分,就重复、,直至显

23、现容2 易求解的不定积分.如重复过程中显现循环,就联立方程求解,但是最终要留意添上常数【题型示例】求【求解示例】C（）（的正向应用）对于一次根式（）：x22x2x2xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：,：令,于是就原式可化为t对于根号下平方和的形式（）：,（）22x于是,就原式可化为asect. a对于根号下平方差的形式（）：a,

24、（）22x于是,就原式可化为acost. ab,（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2a于是,就原式可化为atant.x【题型示例】求（一次根式）【求解示例】C【题型示例】求【求解示例】x xxxx解：xxxx 即：sinxdxx 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

25、 -第 22 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第四节有理函数的不定积分有理函数（）设：对于有理函数,当的次数小于的次数时,有理函数是是假分式Qx1t真分式.当的次数大于的次数时,有理函数 有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）高等数学期末复习资料第 6 页（共 8 页）将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可Qx 以表示为一次因式l,（k.而另一个多项式可以表示为二次质因式一般的：2.）2aa可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 23 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a ababb b a（线性性质）即：,就参数就参数就设有理函数（积分区间的可加性）bbbb aa c cb如函数在积分区间上满意,就a（推论一） 如函数b.、函数在积分区间上满意,就.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 24 页,共 30 页 - - -

27、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Qx 的分拆和式为：其中b a（推论二）b aa bk 积分中值定理（不作要求）其次节微积分基本公式 牛顿 -莱布尼兹公式（）（定理三）如果函数AkA1A2l是连续函数在区间上的一个原函数,就a 变限积分的导数公式（）（上上导 下下导）b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 25 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

28、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【题型示例】求【求解示例】2l lim1cosx2参数得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求【求解示例】由待定系数法（比较法）求出x（构造法）2e解：111第五章第五节积分表的使用（不作要求）定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 26 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - -

29、 - - - - - - -22xna i（b 2i称为被积函数,称为被积表达式,x 就称为积分变量,a 称为积分下限, 定积分的性质（） b 称为积分上限,称为积分区间） 21第三节定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法（）（第一换元法）高等数学期末复习资料第 7 页（共 8 页）b b【题型示例】求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 27 页,共 30 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

30、-【求解示例】解：2112111l 2设函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x也就很简单证明白,期望大家认真如此,不定积分公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_揣摩,认真懂得.最终, 限于编者水平的限制,资料中错误和疏漏在所难免,期望同学们积极指出,以便相互学习改进.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（其次换元法）,使得a b或 上,.b在区间,函数满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 28 页,共 30 页 - - - - - - - -