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1、正余弦定理解三角形题型归纳总结专题：正弦定理和余弦定理考点集结一、正弦定理和余弦定理、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式;: : ;解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在中，是的充要条件。（）二、应用举例、实际问题中的常用角（）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于
2、水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）、的面积公式（）；（）；（）。考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用例（浙江文）在中，角所对的边分.若，则（ ） 答案：在中，则的取值范围是 （）（） （）（）答案：解析：由得，即，故，选考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状与求取值范围例（）（上海文）若的三个内角满足则一定是锐角三角
3、形. 一定是直角三角形.一定是钝角三角形. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由与正弦定理得 由余弦定理得，所以角为钝角（）在锐角中，则的值等于，的取值范围为解析：由正弦定理得. 即.是锐角三角形，解得.由得的取值范围为(，) 答案：(，)、在中，内角，的对边分别为，且()判断的性状；()若，求的取值范围解：()由与正弦定理得，且，若，(舍)；，则，为等腰三角形()，()，而，又，(，)、在中，(，分别为角，的对边)，则的形状为 ()正三角形 直角三角形等腰三角形或直角三角形 等腰直角三角形解析：， ，即，为直角三角形 答案：考点三：利用正余弦定理求三角形的面积例（浙江文）在中，角所
4、对的边分别为，且满足， （）求的面积； （）若，求的值解析：（） 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以、在中，角所对的边分别为，且满足， （）求的面积； （）若，求的值解 （）因为，又由得， （）对于，又，或，由余弦定理得， 、在中，(), 。（）求的值； ()设，求的面积。本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分分 解：（）由知。又所以即故()由（）得：又由正弦定理，得：所以考点四：利用正余弦定理求角例（届稽阳联考）如右图，在中，为边上一点， （）求的大小；（）当时，求的值解：（） 由已知， 分 分分分 分（）（）分（）分分（山
5、东文）在中，角，所对的边分别为，若，,则角的大小为 .【解析】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。考点五：正余弦定理实际应用问题例（本小题满分分）如图，是海面上位于东西方向相距()海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里时，该救援船到达点需要多长时间？解由题意知()海里， ，().在中，由正弦定理，得，(海里)又()，(海里)，在中，由余弦定理，得 ，(海里)，需要的时间(小时)故救援船到达点需要小时一船向正北航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它
6、在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时 ()海里 海里 海里 海里解析：如图所示，设、为相距海里的灯塔，半小时后这艘船到达点，则，即，设船的速度为，则，. 答案： 【当堂应用】.(年高考宁夏卷文科)在中，为边上一点，,.若,则【答案】 .（ 年高考全国卷文科）已知为第二象限的角，,则 .【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力与等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所.（年高考全国卷文科）已知是第二象限的角，则【解析】 ： ，.设的内角，所对的边
7、分别为，且，.()求和；()若的面积，求的值解：()由，得， 又，.又由知，则，故.()由，得，.由()().、设的内角、的对边长分别为、，求。 全国卷页分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔千米，速度为千米小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度。解：在中，根据正弦定理，所以，山顶的海拔高度为（千米）