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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载分数阶微分方程第三讲 分数阶微分方程基本理论一、 分数阶微分方程的显现背景及争论现状1、显现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论,它与整数阶微积分是统一的,是整数阶微积分的推广；整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受,许多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题,其无论在理论分析仍是数值求解方面都已有较完善的理论；但当人们进入到复杂系统和复杂现象的争论时, 经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下 问题：（1） 需要构造非线性方程,并引入一些人为的体会参数和
2、与实际不符的假 设条件；（2） 因材料或外界条件的微小转变就需要构造新的模型；（3） 这些非线性模型无论是理论求解仍是数值求解都特别繁琐；基于以上缘由,人们迫切期望着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理 来对这些复杂系统进行建模； 分数阶微积分方程特别适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程, 其对复杂系统的描述具有建模简洁、参数物理意义清晰、 描述精确等优势,因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一；2、争论现状 在近三个世纪里, 对分数阶微积分理论的争论主要在数学的纯理论领域里进 行,好像它只对数学家们有用； 然而在近几十年来, 分数阶微分方程越来越多的 被用来描述光学和热学系统
3、、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、掌握和机器人及其他应用领域中的问题；分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注, 特殊是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为许多数 学工作者的争论热点； 随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里显现,无论 对分数阶微分方程的理论分析仍是数值运算的争论都显得尤为迫切；然而由于分 数阶微分是拟微分算子, 它的保记忆性 （非局部性） 对现实问题进行了美丽刻画 的同时,也给我们的分析和运算造成很大困难；而且证明方法也 在理论争论方面, 几乎全部结果全都假定了满意李氏条件,和经典微积分方程一样, 换句话说, 这些工作基本上可以说只是经典微积分方程
4、 理论的一个延拓； 对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果,大多只是 给出了一些特别特殊的方程的求解,且常用的求解方法都是具有局限性的；在数值求解方面,现有分数阶方程数值算法仍很不成熟,主要表现为：（1）在数值运算中一些挑战性难题仍未得到完全解决,如长时间历程的计 算和大空间域的运算等；（2）成熟的数值算法比较少,现在争论较多的算法主要集中在有限差分方 法与有限单元法；（3）未形成成熟的数值运算软件,严峻滞后于应用的需要；_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载鉴于此,进展新数值算法, 特
5、殊是在保证运算牢靠性和精度的前提下,提高运算效率, 解决分数阶微分方程运算量和储备量过大的难点问题,进展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题；二、 预备学问1、 分数阶微积分经典定义回忆作为分数阶微积分方程的基础, 本书在其次章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍,为了接下来争论的需要, 我们第一对其进行一个简要的回忆；（1）分数阶微积分的主要思想如上图所示, 分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分,从而将微积分的概念延拓到整个实数轴,甚至是整个复平面； 但由于延拓的方法多种多样,因而依据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式；然而这些定义方式不仅只能针对某些特定
6、条件下的函数给出,而且只能满意人们的某些特定需求,迄今为止,人们仍旧没能给出分数阶微积分的一个统一的定义 , 这对分数 阶微积分的争论与应用造成了肯定的困难；（2）几种经典的分数阶微积分定义 下面我们试图从理论依据、 定义域、表达式和优缺点几个方面给出常见的四 种分数阶微积分定义的比较图；分数阶微积分定义f依据1：整数阶微分的差分定义依据2：整数阶积分的柯西公式 n 1 tn 1f t u f u du a lim h 01k rkr 1kf trh,kNk h0r定义域：f t f t 在 a,b具有RD先积分后微分f t 定义域：C定义域：先微分后积分定义域：f t 在 a,b上逐段连续且
7、f t f t 在 a,b具有p+1阶连续导数在任意有限子区间上可积f t f t 0;ta p+1阶连续导数G pa D tG-L分数阶微积分定义：t an 1 hr pf t limh 0 h pr 0 1r f trh R-L分数阶微积分定义：Caputo分数阶微积分定义：基于广义函数的分数阶微积分定义：p dnRDtnp ,n1pn nND t p 1p t tu n p1f u du p0ap D f t f t , tp atdtaa nap tp10RD t n p 1p t tu n p1f u duCD tp 1t tu p1f u du p0 缺点：定义域较窄运算复杂a n
8、aa a0,t0优点：定义域较宽 缺点：Laplace 变换较复杂优点：Laplace 较简洁 缺点：定义域太窄优点：有利于工程中对系统 的描述从上图我们看到, 在分数阶微积分的进展过程中,人们依据不同的需求, 从不同角度给出了分数阶微积分的定义,但这些定义无论从对象上仍是从表达式上都无法实现统一,它们之间的关系大致可以用下图来表示；_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载注：条件 1：f t在 , a b上逐段连续,且在任何有限子区间上可积；条件 2：f t在 , a b上具有 p 1 阶连续
9、导数；条件 3：f k 0,k 1,2, , p；条件 4：f t 0, t a；由上图我们可以看到,对于不同的分数阶微积分定义方式有着不同定义域,即便是在公共区域内, 不同的定义方式之间也无法实现完全的统一,这对分数阶微积分的应用和争论造成了肯定的困难,种哪怕是形式上的统肯定义方式；2、 M-R序列分数阶微分的定义因此人们迫切期望着分数阶微积分的一为了满意实际需要, 下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的 表达式；分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分,全部推广方法的共同目标是以非整数参数p 取代经典微积分符号中的整数参数n ,即：dndpdtndtp实际上,任意的 n 阶微
10、分都可以看成是一列一阶微分的叠加：n d f t d dd f t dt（1）dtndt dtn由此,我们可以给出一种在许多实际应用中特别重要的分数阶微积分的推广方1）（2）式；第一,我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为（ 0阶微分,即d dtD是可实现的；那么类似地可得到（1）的推广式为：Dnf t D DDf t n_精品资料_ 这种推广方式最初是由K S Miller 和B Ross提出来的,其中D 采纳的是第 3 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载R L 分数阶微分定义,他们称之为序列分数阶
11、微分；序列分数阶微分的其他形 式可以通过将 D 替换为 G L 分数阶微分、 Caputo 分数阶微分或其他任意形式 分数阶微分来得到；进一步,假如我们将（ 2）中的分数阶微分 D 替换为不同阶数的分数阶微分 可得到序列分数阶微分更一般的表达式：Df t D1D2Dnf t （3）L 分数阶微分、 Caputo12n依据问题的需要, D 可以是 RL 分数阶微分、 G分数阶微分或其他任意形式的分数阶微分,从这一点看来, 我们可以说序列分数阶微分从形式上给出了分数阶微积分在时域上的一个统一表达式,R L 分数阶微分、G L 分数阶微分和 Caputo 分数阶微分都只是序列分数阶微分的一种特殊情形
12、；故而,下面我们在对分数阶微积分方程进行理论分析的时候可以仅仅针对序列分数阶微积分来给出结论；3、M-R序列分数阶微分的Laplace 变换aLaplace 变换；（4）下面我们考虑如下形式的序列分数阶微分的aD tmaDtmaDtm1Dt1aDtm1aDtm1aDtm1aDt1（5）mmj1j0j1,j1,2,m（6）在 R-L 分数阶微分定义下有：L0Dtf t ; s F s 0D t1f t t0（7）重复利用上式 m 次可得：L 0Dtmf t ; smF s m1smmk0D tmk1f t t0（8）k0注：虽然上述序列分数阶微分的Laplace 变换是在 R-L 分数阶微分定义
13、下进行证明的,但是该结论对其他几种分数阶微积分也是成立的；4、泛函理论基础 定理 1（Schauder 不动点定理）_精品资料_ 设U 是 Banach空间 X 的有界闭子集, 假如T UU 是连续映射,那么 T 在第 4 页,共 15 页U 中存在不动点,即使得Txx 的点存在；定义 1（Lipschitz条件）设X d 是距离空间, T 是从 X 到 X 的映射,假如存在常数q0,使得对全部的x yX ,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载d Tx Ty qd x y 就称 T 满意 Lispschitz 条件, q 成为
14、T 的 Lispschitz 常数；特殊的,假如 q 1,就 T 称为压缩映射；定理 2（ Banach 压缩映像原理）设 X d 是距离空间,T : X X 是压缩映射,就 T 在 X 中恰有一个不动点；设这个不动点为 x ,就对任何初始点 x 0 X ,逐次迭代点列 x n 1 Tx ,n 1,2,收敛于 x ,且关于收敛速度有如下估量式：n 1d x n , x q 1 q d Tx 0 , x 0 其中, q 是 T 的 Lipschitz 常数；三、 解的存在唯独性理论近年来,分数阶微分方程已经在国内外引起极大的争论爱好,特殊是关于其解的性质的争论, 诸如存在性及唯独性等, 其中大多
15、数的争论方法是通过把分数阶初值问题转换成等价的分数阶积分方程 , 然后运用不动点定理来得到分数阶初值问题解的存在唯独性结果；已有争论结果主要有以下限制：（1） 函数的定义区间为有限区间 , a b ；（2） 函数在定义域上需满意 Lipschitz 条件；因此,目前人们在这方面所做的工作都是期望设法在放宽上述两个限制条件后给出分数阶微积分方程的解的存在唯独性定理；下面我们对分数阶微分方程初值问题的现有理论结果作一个简洁的介绍,相应的结论都是针对定义在有限区间 0, T 上的 M-R 序列分数阶微分形式,在满意Lipschitz 条件下给出的, 当然,由前面的介绍可知, 这些结论也可直接推广到其
16、他分数阶微分形式；1、 线性分数阶微分方程解的存在唯独性定理考虑如下形式的初值问题：0Dtny t n1pj t0Dtnjy t pn t y t f t , 0tT9j10Dk1y t t0b k,k1,2,n10T且f t L 10,T,即f t dt（11）0第一步：假设p k 0 , k1,2, n ,考虑由此得到的退化问题解的存在唯独性；定理 1 假如f t L 10,T ,就方程L 10,T ；（12）0Dtny t f t 有满意初值条件（ 10）的唯独解y t 定理的证明过程如下：步骤一 通过 Laplace 变换证明解的存在性；_精品资料_ - - - - - - -第 5
17、页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载下面我们设法构造一个待求解问题解,对式（12）做 Laplace 变换可得：其中,Y s 、n10Dtnk1y t t0F s （13）s Y s snnkk0F s 分别是y t 、f t 的 Laplace 变换；利用初值条件（ 10）可得：Y s snF s n1b n ksnk（14）k0对上式做 Laplace 逆变换可得：y t 1nttn1f dinb iiti1（15）01步骤二 由分数阶微分的线性性和Laplace 变换的性质证明唯独性；假设有存在两个满意上述初值问题的解y t 、y2
18、 （16）令z t y t y2 ,有分数阶微分方程的线性性可得：0Dtnz t 00Dtk1y t t0b k,k1,2,n从而有Z s 0T 上几乎到处成立；（17）由 Laplace 变换的性质可知：z t 0在 0,故原方程的解在L 10,T 上唯独；注：上述证明过程中用到的Laplace 变换法是一种常用的分数阶微分方程求解方法,该方法步骤简洁,适用范畴较广,在实际中有着重要应用,后面将对其 进行具体介绍；其次步：运用第一步的结论证明原初值问题解的存在唯独性；定理 2 假如f t L 10,T 且p t j1,2, n 是 0,T 上的连续函数, 就初值问题（ 9）（ 10）有唯独解
19、y t L10,T ；定理的证明过程如下：步骤一 化微分方程为积分方程_精品资料_ 假设原方程有解y t 并记 0Dtny t t ,那么运用定理 1 可得：（18）第 6 页,共 15 页y t 1ntt t dtin1b iti1n10i- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载将上式代入到原微分方程表达式（9）可得：t K t , dtg t （19）0其中K t , p n t tn1tn1p n k tn1k1t iik1k（20）k1knng t f t p ni1nn（21）n1 b ib ip n k iki11i k
20、步骤二 证明变换后的积分方程有唯独解用不动点定理易证结论成立；步骤三 说明原微分方程有唯独解 由定理 1 易得；2、 一般形式的分数阶微分方程的存在唯独性定理考虑如下形式的微分方程：其中,0Dtk0Dtny t f t y（22）1y t t0b ,k1,2,n（23）f t y 的定义域为平面 , t y 上的一个子区域G ,且存在 G 上的子区域R h K 满意：定理 3 设0th,t11y t nb iti1K（24）ii1f t y 为 G 上的连续实值函数,且在G 上关于 y 满意 Lipschitz 条件,即f t y 1f t y2A y 1y2（25）从而f t y , M,对
21、任意 , t yG且KMhn111n那么,方程（ 22）（ 23）在区域 定理的证明过程如下：R h k 有唯独的连续解；步骤一 化微分方程为等价积分方程；_精品资料_ 对方程（ 22）按Dn,Dn1,D1逐次进行分部积分可得：第 7 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - y t inb iiti优秀学习资料 t欢迎下载 ,f ,y d（26）11tn1f1n0步骤二 证明上述等价积分方程解的存在性；构造函数序列y0 t ,y t ,y2 t ,如下：（27）（28）（29）（30）y0 in1b iiti1ym inb iiti11i
22、t tn1f ,y m1 d10第一,我们可以证明对任意的0th 及任意的 m 有ym R h k ；t11y m inbti1t11ttn1f ,y m1 d1in0Mtn1n1Mhn11K11n进一步,我们可由数学归纳法证明,对任意的m 有下式成立：ym y m1 m MA1 tmn1mn证明过程如下：_精品资料_ 在式（ 29）中令m1可得：k1 nd（31）第 8 页,共 15 页y t y t Mtnn1假设当 mk 时,式（ 30）成立,即下式成立 : （32）yk yk1 MAk1 tkn1kn那么,当mk1 时有：yyk1 yk Anttnyk 0n1kd（33）MAkn1nt
23、t1k0MAkn0Dtntknnn1kMAk1kntk1kn1knnk MA tk1n1k1n- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载从而由归纳法可知,对任意的 m ,式（ 30）成立；进而,有m MA1 tmn的收敛性可知,函数序列ym 收敛；1mn令y t lim mym t ,易证y t 是等价积分方程 （26）的解,也即是原微分方程 （22）的解；步骤三 证明上述等价积分方程解的唯独性；假设y t 也是等价积分方程（ 26）的解,令z t y t y t ,有：（34）z t 1nt tn1f , dth ,z t B ；0
24、由 z t 的连续性可知,存在常数B ,使得对任意的 0利用式（ 34）可得：将该估量过程重复z t ABt 1jnn,0th（35）j 次可得：n,j1,2,（36）z t j A Bt1n又故 0,0tlimj A Btjn0th ；1nh ,也即y t y t ,0注：有上面的介绍可知,整个线性分数阶微积分方程解的存在唯独性理论的证 明过程都是建立在不动点理论的基础上的,使得我们必需将争论范畴限制在有限区间内的满意Lipschitz条件的函数上,如何打破这个限制是一个值得摸索的问题；在某些情形下,定理 称之为存在唯独性解法；3 可直接作为分数阶微分方程的求解方法,通常由上面的介绍, 我们
25、可将分数阶微积分方程存在唯独性理论及其所面临的问 题描述如下：_精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载分数阶微积分方程的存在唯独性理论线性分数阶微积分的方程存在唯独性理论理论基础：Laplace变换法、不动点原理非线性分数阶微积分的方程存在唯独性理论理论基础：等价积分方程、不动点原理？ 修改现有理论基础限制条件：（1）有限区间 0, T 2 f t L 1 0, T 即 f t 肯定可积？打破限制条件3、 分数阶微分方程初值问题解的依靠性下面我们来考察初值条件的微小变化将对方程的解造成怎样的影响
26、,为此,我们在初值条件中引入一个微小的转变量； 0 D t k 1y t t 0 b k k,k 1,2, , n（37）其中 kk 1,2, , n 为任意常数；定理 4 设 y t 是初值问题（ 22）（ 23）的解,y t 是初值问题（ 22）、（37）的解,那么对任意的 t 0, h 有：ny t y t i t i 1E n , i At n （38）i 1其中 E n , i 为 M L 函数；证明：步骤一 用定理 3 的方式构造两组函数序列y t , 1 y t , 2 t ,和y t , 1 y t ,y2 t ,使得y t m limy m t ,y t m limy m t
27、 ；步骤二 由数学归纳法简洁证明_精品资料_ y m y m niti1mk A tknii（39）第 10 页,共 15 页i1knk0步骤三 对上式两端取极限 mn可得：k A tkn（40）iti1my t y t i1knk0niti1En,iAtni1- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 四、优秀学习资料欢迎下载Laplace 变换求解法随着分数阶微分方程在工程应用中显现得越来越频繁,给出分数阶微分方程的有效而简便的求解方法便显得越来越重要,然而现有的求解方法都有着各种各 样的缺陷； 下面我们介绍一种基于 Laplace 变换的分数阶微分方程
28、求解方法,该 方法简洁、直观,适用于常系数线性分数阶微分方程的求解；1、 Laplace 变换求解法（1） Laplace 变换求解法的主要步骤步骤一：对原微分方程做Laplace 变换,化微分方程为代数方程；步骤二：求解该代数方程,得到原问题在变换域上的解；步骤三：对该变化域上的解做 Laplace 逆变换得到原问题的时域解；（2） Laplace 变换求解法的应用下面我们通过两个例子来说明Laplace 变换法的应用方法；例 1 我们考虑用 Laplace 变换法对如下的非齐次标准分数阶微分方程的初值问题进行求解；0D y t ty t h t , t0（41）0Dtky t 0b , k
29、1,2, （42）其中,n 1 n解：对方程（ 41）两端做 Laplace 变换,并利用初值条件（ 42）可得：nk 1s Y s Y s H s b sk 1从而Y s H s n1b kssk1（43）sk对式（ 31）做 Laplace 逆变换可得原微分方程的解为：y t n1b tkE,k1ttt1E, t d（44）k0注：某些文献中也给出了该问题用迭代法进行求解的过程,虽然两种解法的结果相同,但明显 Laplace 求解法更为直观、简便；例 2 下面我们考虑用 Laplace 变换法对序列分数阶微分方程的初值问题进行求解；0 D t2 0 D t1 y t y t h t （45
30、） 0 D t2 1 0 D t1 y t t 0 b , 0 D t 11 y t t 0 b 2（46）解：对方程（ 45）两端做 Laplace 变换,并利用初值条件（ 46）可得：_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - s12优秀学习资料欢迎下载2b 1Y s H s s b从而Y s H s 2s b 2b 1（47）s1对式（ 35）做 Laplace 逆变换可得原微分方程的解为：ty t b t 211 E,1tbt 11 E,tt1E, t d（48）0其中,12；注：对比上面两个初值问题简洁看到他
31、们在形式上特别相像,唯独的差别表达 在一个是基于经典分数阶微积分定义的标准分数阶微分方程,一个是基于序列 分数阶微积分定义的序列分数阶微分方程,从而在初值地给法不一样；但我们 发觉它们的解在表达式上也特别地相近,对比结果如下：y t nb t kkE,k1 tt1E, t dy t bt11 E,1tbt1 E,ttt1E, t d tk1 t0y t nb t kkE令G t t1 E,ty t b t 21E , 1t01Et h t令G t ,k1tG t h t 1 b tE ,t G tk1通过上面的对比可以发觉,对应的标准分数阶微分方程和序列分数阶微分方程的解有一个共同点,即它们具
32、有同样的 争论；2、 Green 函数考虑如下的初值问题：Green函数,下面我们就 Green 绽开0L y t f t ,0Dtk1y t t00,k1,2, （49）其中0L y t 0Dtny t n1pk 0Dtnky t p t y t k1（1） 定义_精品资料_ 如函数G t , 满意如下条件,就称其为方程（37）的 Green 函数：函数）；第 12 页,共 15 页1）tL G t , 0对任意的0, t ；k n是 Kronecker delta2）lim tDtk1G t , k n,k0,1,n （3）lim , t 0tDtkG t , 0,k0,1,n ；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2） 性质1）y t tG t , f d是方程（ 49）的解；0）的线性无关解；02）对常系数分数阶微分方程有：G t , G t3）对G t , 的适当微分可得到一组齐次方程（f t 下面我们利用 Green函数的定义来证明上述三个性质；证明 1）：运算 0Dtky t 如下：（50）（ 51）0Dtky t 0Dtk0Dtk1y t 0DtktDtk1G t , f d0tDtkDtkG t , 1f dlim tDtk1