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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 圆的总结一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心,定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线三 位置关系：1 点与圆
2、的位置关系:点 C在圆内ABrddO点在圆内 dr 点 A在圆外2 直线与圆的位置关系无交点C直线与圆相离 dr 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 dR+rr图 4dRrd图 5dr外切（图 2）有一个交点 d=R+rR相交（图 3）有两个交点 R-rdR+r内切（图 4）有一个交点 d=R-r内含（图 5）无交点 dR-rddRRRr图1图 2图 31_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 四 垂径定理 : 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦
3、,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即CA可推出其它3 个结论,即：CE=DEBC .BD . AC. ADAB是直径ABCD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在O 中, AB CDADCDOOABEC五 圆心角定理BE圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所 对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等OF此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的D3
4、个结论也即：AOB= DOE AB=DE ACBOC=OF . BAED .六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即： AOB和ACB是所对的圆心角和圆周角OCAOB=2ACBB圆周角定理的推论：D推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧即：在O 中, C、D 都是所对的圆周角BOC=DA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半 C圆,所对的弦是直径即：在O 中, AB 是直径或 C=90BOCAC=90AB 是直径推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形BOA2_精品
5、资料_ - - - - - - -第 2 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 即：在 ABC中, OC=OA=OB ABC是直角三角形或 C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理；七 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在O 中,四边形 ABCD是内接四边形C+BAD=180B+D=180DAE=C八 切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 O两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可MAN即： MNOA 且 MN过半径
6、OA外端MN是O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最终一个条件MN是切线MNOAPBAO切线长定理 : 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA、 PB是的两条切线PA=PB PO 平分 BPA九 圆内正多边形的运算（1）正三角形在O 中 ABC是正三角形,有关运算在Rt BOD中进行, OD:BD:OB=1:3:23_精品资料_ - - - - - - -第
7、3 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）正四边形Rt OAE中进行, OE :AE:OA=1:1:2同理,四边形的有关运算在（3）正六边形Rt OAB中进行, AB:OB:OA=1:3 : 2同理,六边形的有关运算在CBOABOCAODAEDB十、圆的有关概念 1 、三角形的外接圆、外心；用到：线段的垂直平分线及性质 2 、三角形的内切圆、内心；用到：角的平分线及性质SAl 3 、圆的对称性；轴对称 中心对称十一、圆的有关线的长和面积； 1 、圆的周长、弧长O C=2r, l=RB 2 、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 SS 圆=r2,S 圆锥
8、 = r底面圆l母线2 + r底面圆扇形 =1 2lr 3 、求面积的方法直接法由面积公式直接得到间接法即：割补法（和差法）进行等量代换十二、侧面绽开图：圆柱侧面绽开图是形, 它的长是底面的 ,高是这个圆柱的；圆锥侧面绽开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的；十三、正多边形运算的解题思路：4_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 正多边形连 OAB等腰三角形作垂线OD直角三角形；转化转化可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直 圆角三角形的学问进行求解；一、细心选一选,信任自己的判定；每道
9、题 4 分,共 40 分D. 内切）1. 如图,把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆,就它们的位置关系是（A. 外离B. 外切C. 相交2. 如图,在 O中, ABC=50,就 AOC 等于（）D100BA 50B80C90ADBOO第 1 题图第 2 题图C第 3 题图AC 第 4 题3. 如图, AB 是 O 的直径, ABC=30,就 BAC =（）A 90B60C45D30（）4.如图, O 的直径 CD AB, AOC=50 ,就 CDB 大小为 A25B30C40D505.已知 O 的直径为 12cm,圆心到直线 为（）L 的距离为 6cm,就直线 L 与 O 的公共点的个数A
10、 2 B1 C0 D不确定6. 已知 O1 与 O2 的半径分别为 3cm 和 7cm,两圆的圆心距 O1O2 =10cm ,就两圆的位置关系是（）A 外切 B内切 C相交 D相离 1A7. 以下命题错误选项（）A经过不在同始终线上的三个点肯定可以作圆B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 H C O 1 H 1C平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 A O B C 1D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 128. 在平面直角坐标系中,以点（2,3）为圆心, 2 为半径的圆必定（）A 与 x 轴相离、与 y 轴相切 B与 x 轴、 y 轴都相离C与 x 轴相切、与 y 轴相离 D与
11、x 轴、 y 轴都相切29 已知两圆的半径 R、r 分别为方程 x 5 x 6 0 的两根,两圆的圆心距为 1,两圆的位置关系是 A 外离 B内切 C相交 D外切10. 同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A 21 B21 C12 D1211. 在 Rt ABC 中, C=90 ,AC= 12,BC= 5,将圆锥,就该圆锥的侧面积是（）ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到A 25B65C90D13012. 如图, Rt ABC 中, ACB= 90, CAB=30 ,BC=2,O、H 分别为边 AB、AC 的中点,将ABC 绕点 B 顺时针旋转120 到 A1BC1 的位置,就整个
12、旋转过程中线段OH5_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）7 7 4 7 4A 3 8 3 B + 3 8 3 C D + 3 3二、细心填一填,试自己的身手；（本大 题共 6 小 题,每道题 4 分,共 24 分）13. 如图, PA、 PB 分别切 O 于点 A 、 B ,点 E 是 O 上一点,o且 AEB 60,就 P _ _度D C PP O A BQ第 13 题图14.17 题图A第 18 题图B在 O 中,弦 AB 的长为 8 厘米,圆心O 到 AB 的距离为
13、3 厘米,就 O 的半径为_ .15. 已知在 O 中,半径 r=13,弦 AB CD,且 AB= 24,CD=10,就 AB 与 CD 的距离为_.16. 一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是 10cm,当重物上升 10cm 时,滑轮的一条半径 OA绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为 _ 假设绳索与滑轮之间没有滑动 17. 如图,在边长为 3cm 的正方形中,P 与 Q 相外切,且 P 分别与 DA、DC 边相切, Q 分别与 BA、BC 边相切,就圆心距PQ 为_18. 如图, O 的半径为 3cm,B 为 O 外一点, OB 交 O 于点 A,AB=OA,动点 P 从点A 动身,以 cm/
14、s的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立刻停止当点P 运动的时间为 _s 时, BP 与 O 相切三、专心做一做,显显自己的才能；（本大 题共 7 小题,满分 66 分）19. （此题满分8 分）如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD= 20cm,水深 GF= 2cm.如水面上升2cm（ EG= 2cm）,就此时水面宽AB 为多少？OEBA,B 为切点, AC 是 O 的直径,AGDCF20. （此题满分8 分）如图, PA,PB 是 O 的切线,点 ACB=70求 P 的度数ACOBP6_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - -
15、- - - - - - 21. （此题满分8 分）如图,线段AB 经过圆心 O,交 O 于点 A、 C,点 D 在 O 上,连接 AD、BD,A=B=30 ,BD 是 O 的切线吗？请说明理由22. O的一条弦,ODAB,垂足为C,交 . O于点D,点E在. O上（OC3,o,求DEB的度数；ACOE（2）如OA5,求AB的长 10 分BD23. 如图,AB、CD是. O的两条弦,延长AB、CD交于点P,连结AD、BC交于点EP30o,ABC50o,求A的度数 8 分 AOEBPDC24. 12 分 如图,在 ABC 中, AB=AC,D 是 BC 中点, AE 平分 BAD 交 BC 于点
16、E,点O 是 AB 上一点, O 过 A、E 两点 , 交 AD 于点 G,交 AB 于C点 F（1）求证： BC 与 O 相切；（2）当 BAC=120 时,求 EFG 的度数AGDEFBO25. （此题满分12 分）已知：如图ABC 内接于BOHA第 24 题图O,OH AC 于 H,过 A 点的切线与OC 的延长线交于点D, B=30, OH= 53恳求出：CD（1） AOC 的度数；（2）劣弧 AC 的长（结果保留）；（3）线段 AD 的长（结果保留根号）.7_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 26. （
17、此题满分 y12 分）如图,在平面直角坐标系中,M 与 x 轴交于 A、B 两点, AC 是M 的直径,过点C 的直线交 x 轴于点 D,连接BC,已知点 M 的坐标为（ 0, ）,直线 CD 的函数解 3析式为 y= 3 x53AMCDx求点 D 的坐标和 BC 的长；B求点 C 的坐标和 M 的半径；求证： CD 是 M 的切线O中学数学圆学问点总结 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4、同圆或等圆的半径相等 5、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 6、和
18、已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 8、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直 线 9、定理不在同始终线上的三点确定一个圆；10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 12、推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理：在同圆或等圆中,
19、相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦 的弦心距相等 15、推论：在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有 一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半8_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 17、推论： 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等18、推论： 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径19、推论： 3 假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直
20、角三 角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角21、直线 L 和O 相交 d r 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 d r 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 24、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 25、推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等 28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 29、推论
21、：假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 30、相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例 中项 32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两 条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等34、假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上35、两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-r d R+rR r 两圆内切 d=R-rR r两圆内含 d R-rR r9_精品资料_ - - - - -
22、 - -第 9 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成 nn 3:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆39、正 n 边形的每个内角都等于（n-2 ） 180n40、定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形41、正 n 边形的面积 Sn=pnrn2 p 表示正 n 边形的周长42、正三角形面积 3a 4 a 表示边长43、假如在一个顶点四周有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360 ,因此 k n-2180 n=360化为（ n-2 ）k-2=444、弧长运算公式：L=n 兀 R18045、扇形面积公式：S 扇形 =n 兀 R2360=LR246、内公切线长 = d-R-r 外公切线长 = d-R+r10_精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 10 页