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1、,1.1.2 四种命题,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。,问题1.什么是命题？,它由条件和结论两部分构成。,问题2、命题是由哪几部分构成的？,问题3、命题有哪几种？,真命题，假命题,复习:,A,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,【问题引入】,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和
2、条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,【问题引入】,互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原
3、命题。 否 命 题：另一个命题叫做原命题的否命题。,即 原命题:若p,则q,否命题:若p,则q,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,【问题引入】,互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆否命题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。,即
4、 原命题:若p,则q,逆否命题:若q,则p,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则q”的形式）,2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。,注意：三种命题中最难写 的是否命题。,一些常见的结论的否定形式,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,不等于,某个,存在某x， 不成立,存在某x， 成
5、立,某些,一些常见的结论的否定形式,诀窍:全部肯定的否定是部分否定 部分肯定的否定是全部否定,2）原命题：若a=0, 则ab=0。,逆命题：若ab=0, 则a=0。,否命题：若a 0, 则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：,1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。,逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。,逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3) 原命题：若a b, 则 ac2bc
6、2。,逆命题：若ac2bc2,则ab。,否命题：若ab,则ac2bc2。,逆否命题：若ac2bc2,则ab。,（假）,（真）,（真）,（假）,例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。,分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。,解：逆命题：若m+n0，则m0或n0。,否命题：若m0且n0, 则m+n0.,逆否命题：若m+n0, 则m0且n0.,（真）,（真）,（假）,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。,把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写
7、出它们的逆命题，否命题与逆否命题 （1）由x+3=8,得x=5 （2） 正偶数不是质数 （3）全等三角形相似,例1：,解（1）原命题：,若x+38，则x 5,逆命题：,若x=5 ，则x+3=8,否命题：,逆否命题：,若x 5 ，则x+38,若x+3=8，则x =5,逆否命题：,若一个数是质数，则它不是正偶数,原命题：,若两个三角形全等，则它们相似,逆命题：,若两个三角形相似，则它们全等,否命题：,若两个三角形不全等，则它们不相似,逆否命题：,若两个三角形不相似，则它们不全等,(3)全等三角形相似,原命题：,若一个数是正偶数，则它不是质数,逆命题：,若一个数不是质数，则它是正偶数,否命题：,若一
8、个数不是正偶数，则它是质数,(2)正偶数不是质数,逆命题:角的平分线上的点,到这个角的 两边距离相等. 否命题:到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个角的平分线上.逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这 个角的两边距离不相等.,(1)到一个角的两边距离相等的点,都在 这个角的平分线上.,原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真),（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数是0。这是假命题。,否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能能被5整除。这是假命题。,逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0。这是真命题。,（2）逆命题：若一
9、个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等。这是真命题。,否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角也不相等。这是真命题。,逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边也不相等。这是真命题。,（3）若x2=1,则x=1； （4）若整数a是素数，则a是奇数。,（3）若x2=1,则x=1； （4）若整数a是素数，则a是奇数。,.,逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等. 否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等.,(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.,原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否
10、命题 (真),逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.,(3)相等的角是对顶角,原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假),逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.,(4)凡质数都是奇数.,原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假),原命题与逆命题未必同真假. 原命题与否命题未必同真假. 原命题与逆否命题一定同真假. 原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.,几条结论:,例题应用,例3:写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1) p: y=si
11、nx是周期函数; (2) p: 32; (3) p: 空集是集合A的子集.,解(1) p : y=sinx不是周期函数命题p是真命题, p 是假命题 (2) p :32命题p是假命题, p 是真命题 (3) p :空集不是集合A的子集命题p是真命题, p 是假命题,练习：,写出下列命题的否定，然后判断它们的真假： （1）225 （2）3是方程x29=0的根； （3）5不是15的约数. 解 (1) p ：2+25，其中 p是假命题, p是真命题 (2) p ： 3不是方程x29=0的根，其中 p是真命题, p是假命题 (3) p ： 5是15的约数，其中 p是假命题, p是真命题,四种命题形式:
12、 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,【知识小结】,例1,写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： (1)若ab,则a2b2； (2)已知x R,若x 1, 则x 2； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为0； (4)正方形的四条边相等,解:(1)逆命题:若a2b2,则ab;,否命题:若ab,则a2b2;,逆否命题:若a2b2,则ab;,原命题为 ; 逆命题为 ; 否命题为 ; 逆否命题为 .,假,假,假,假,“”的否定是“”,【典例演练】,点评：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的条件和结论,例
13、1,写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： (1)若ab,则a2b2； (2)已知x R,若x 1, 则x 2； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为0； (4)正方形的四条边相等,解:(2)逆命题:已知x R,若x 2, 则x 1;,否命题:已知x R,若x 1, 则x 2;,逆否命题:已知x R,若x 2, 则x 1;,原命题为 ; 逆命题为 ; 否命题为 ; 逆否命题为 .,假,真,真,假,【典例演练】,分析：“已知x R”是大前提，保留不变,例1,写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： (1)若ab,则a2b2； (2)已知x R,若x 1, 则x
14、 2； (3)若a2 + b2=0，则a 、b都为0； (4)正方形的四条边相等,解:(3)逆命题:若a 、 b都为0，则a2 +b2=0;,否命题:若a2 +b20，则a 、b不都为0;,逆否命题:若a 、b不都为0，则a2+ b2 0;,原命题为 ; 逆命题为 ; 否命题为 ; 逆否命题为 .,真,真,真,真,【典例演练】,析：“a 、b都为0”的否定是:a=0、b 0;a 0、b=0; a 0 、 b 0.,即a 、b不都为0,例1,写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断真假： (1)若ab,则a2b2； (2)已知x R,若x 1, 则x 2； (3)若a2 + b2=0，则
15、a 、b都为0； (4)正方形的四条边相等,解:(4)逆命题:若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形;,否命题:若一个四边形不是正方形， 则它的四条边不相等；;,逆否命题:若一个四边形的四条边不相等， 则这个四边形不是正方形;,原命题为 ; 逆命题为 ; 否命题为 ; 逆否命题为 .,假,真,真,假,【典例演练】,析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,【知识小结】,例如，命题“同位角相等，两直线平行” 的逆命题是“ ”。,两直线平行，同位角相等,例如
16、，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“ ”。,同位角不相等，两直线不平行,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“ ”。,两直线不平行，同位角不相等,否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若p , 则q 。 命题的否定: 若 p ，则q 。,例.命题：ABC中，若C90，则A、B都是锐角.命题的否命题是（ ），命题的否定是（ ） (A)ABC中，若C90，则A、B都不是锐角 (B)ABC中，若C90，则A、B不都是锐角 (C)ABC中，若C90，则A、B都不
17、一定是锐角 (D) ABC中，若C90，则A、B不都是锐角,否命题与命题的否定,【答案】B,高考链接,1. （2009年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个数的平方是正数，则它是负数”.,B,2. （2005年江苏）命题“若ab,则2a2b-1”的否命题为_.,若a=b，则2a=2b-1,解析：因为一个命题的否命题
18、是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a=b，则2a=2b-1 .,3.（2007重庆理）命题“若x21或x1; D.若x 1或x -1，则x2 1,D,解析：交换原命题的条件和结论，并且同时 否定，所得的命题，因此答案为D.,随堂练习,（1）命题“若ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是_ _逆否命题_ _否命题_ _,1.填空题,若ABC的任,何两个内角不相等，则它不是等腰三角形,若ABC的任何两个内角相等，则,它是等腰三角形,若ABC是等腰,三角形，则它的任何两个内角相等,（2）命题“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_逆命题是_.它是
19、命题（“真”或“假”）.,若x2+2x+q=0没有实根，则q1,若x2+2x+q=0有实根，则q1,真,（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ） A逆命题 B否命题 C逆否命题 D以上判断都不正确,2.选择题,A,（2）命题“若AB=A则AB=B”的逆否命题是（ ） A若AB=B则AB=A； B若ABA则ABB； C若ABB则ABA； D若ABB则AB=A,C,3.解答题,（1）写出 命题“两条平行线不相交 ”的逆命题，否命题、逆否命题 .,解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条 直线平行； 否命题：若两条直线不平行，则这两条 直线相交； 逆否命
20、题：若两条直线相交，则这两条 直线不平行,（2）将命题“锐角的余角是钝角 ”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题,解： “若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角. 逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角； 否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角； 逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角 .,（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.” 的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假.,解：逆命题：若x、y中至少有一个是0，则 xy=0，这是真命题. 否命题： 若xy 0,则x、y没有一个是0， 这是真命题. 逆否命题：若
21、x、y没有一个是0，则xy 0， 这是真命题.,P6习题解答,（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这 个整数的末位数字是0.这是假 命题.,否命题：若一个整数的末位数字不是0， 则 这个整数不能被5整除. 这是假命题.,逆否命题：若一个整数不能被5整除， 则 这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.,（2）逆命题：若一个三角形的两个角相等， 则这个三角形的两条边相等. 这是真命题. 否命题：若一个三角形的两条边不相 等，则这个三角形的两个角也 不相等.这是真命题. 逆否命题：若一个三角形的两个角不相 等，则这个三角形的两条边 也不相等.这是真命题.,（3）逆命题：图像关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.这是真命题. 逆否命题：图像不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.,