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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用一、学问网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用.2、求导公式与运算法就的运用.3、导数的几何意义.4、导数在争论函数单调性上的应用.5、导数在寻求函数的极值或最值的应用.6、导数在解决实际问题中的应用.三、学问要点（一）导数1、导数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wor
2、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）导数的定义（）设函数在点及其邻近有定义,当自变量x 在 处 有 增 量 x （ x可 正 可 负 ）, 就 函 数y相 应 的 有 增 量,这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率.假如时, 有极限,就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处 的 导 数 （ 或 变 化 率 ）, 记 作, 即.（）假如函数在开区间（）内每一点都可导, 就说 在开区间（）内可导,此时,对于开区间（）内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间（）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间（） 内 的 导 函 数 （ 简
3、 称 导 数 ）, 记 作或,即.认知：（）函数的导数是以 x 为自变量的函数, 而函数在点处的导数是一个数值.在点处的导数是的导函数当时的函数值.（）求函数在点处的导数的三部曲：求函数的增量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求平均变化率.求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.（ 2）导数的几何意义：函 数在 点处 的 导 数, 是
4、 曲 线在 点处的切线的斜率.（ 3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区分：（）如函数在点处可导,就在点处连续.如函数在开区间（）内可导,就在开区间（） 内连续（可导肯定连续） .事 实 上 , 如 函 数在 点处 可 导 , 就 有此时,记,就有即在点处连续.（）如函数在点处连续,但在点处不肯定可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -
5、- - -导（连续不肯定可导） .反例：在点处连续,但在点处无导数.事实上,在点处的增量当时,.当时,由此可知,不存在,故在点处不行导.2、求导公式与求导运算法就（ 1）基本函数的导数（求导公式）公式 1常数的导数：（ c 为常数）,即常数的导数等于0.公式 2幂函数的导数：.公式 3正弦函数的导数：.公式 4公式 5余弦函数的导数：对数函数的导数：（）.（）公式 6指数函数的导数：（）.（）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
6、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）可导函数四就运算的求导法就设为可导函数,就有法就 1.法就 2.法就 3.3、复合函数的导数（ 1）复合函数的求导法就设,复合成以x 为自变量的函数,就复合函数对自变量 x 的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量u 对自变量 x 的导数, 即.引申：设,复合成函数, 就有（ 2）认知（） 认知复合函数的复合关系循着 “由表及里 ”的次序, 即从外向内分析：第一由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量 的函数结构设出 ,由其次层中间变量的函数结构设出,由此一层一层分析,始终到最里层的
7、中间 变量为自变量 x 的简洁函数为止.于是所给函数便 “分解”为如干相互联系的简洁函数的链条：.（）运用上述法就求复合函数导数的解题思路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分解： 分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量, 将所给函数“分解”为相互联系的如干简洁函数.求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法就和基本公式求
8、.仍原：将上述求导后所得结果中的中间变量仍原为自变量的函数,并作以适当化简或整理.二、导数的应用1、函数的单调性（ 1）导数的符号与函数的单调性：一般的,设函数 在某个区间内可导, 就如为增函数.如为减函数.如在某个区间内恒有 ,就在这一区间上为常函数.（ 2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数的定义域.（）求导数.（）令,解出相应的x 的范畴当时,在相应区间上为增函数.当时在相应区间上为减函数.（ 3）强调与认知（） 利用导数争论函数的单调区间,第一要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.如由不等式确定的 x 的取值集合为A,由确定的 x 的取值范畴为B,就可编辑资
9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -应用.（）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分 （不必要） 条件.因此方程的根不肯定是增、 减区间的分界点, 并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,仍要留意在定义域内的不连续点和不行导 点,它们也可能是增、减区间的分界点.举例：（ 1）是 R 上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当
10、 x=0 时,.（2） 在点 x=0 处连续,点 x=0 处不行导,但在（-,0）内递减,在（ 0,+）内递增.2、函数的极值（ 1）函数的极值的定义设函数在点邻近有定义,假如对邻近的全部点,都有, 就 说是 函 数的 一 个 极 大 值 , 记 作.假如对邻近的全部点,都有,就说是函数的一个微小值,记作.极大值与微小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点是区间内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 43 页 - - - - - - - - -
11、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（） 极值是一个局部性概念. 一个函数在其定义域内可以有多个极大值和微小值, 并且在某一点的微小值有可能大于另一点处的极大值.（）当函数在区间上连续且有有限个极值点时,函数在内的极大值点,微小值点交替显现.（ 2）函数的极值的判定设函数可导,且在点处连续,判定是极大（小）值的方法是（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为极大值.（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为微小值.留意：导数为 0 的不肯定是极值点,我们不难从函数的导数争论中悟出这一点.（ 3）探求函数极值的步骤：（）求导
12、数.（）求方程的实根及不存在的点.考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：如左正右负, 就在这一点取得极大值,如左负右正,就 在这一点取得微小值.3、函数的最大值与最小值（ 1）定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如函数在闭区间上连续, 就在上必有最大值和最小值.在开区间认知：内连续的函数不肯定有最大值与最小值.（）函数的最值（最
13、大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最大值.最小值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最小值.（）函数的极大值与微小值是比较极值点邻近的函数值得出的（具有相对性）,极值只能在区间内点取得.函数的最大值与最小值 是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有肯定性）,最大（小）值可能是某个极大（小）值,也可能是区间端点处的函数值.（） 如在开区间内可导,且有唯独的极大 （小）值,就这一极大（小）值即为最大（小）值.（ 2）探求步骤：设函数在上连续,在内可导,就探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I）求在内的极值.（ II）求在定义区间端点处的函数值,.（
14、 III）将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.引申：如函数 在 上连续, 就 的极值或最值也可能在不行导的点处取得. 对此, 假如仅仅是求函数的最值, 就可将上述步骤简化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ I）求出的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）.（ II）运算并比较在上述可疑点处的函
15、数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值.（ 3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具, 基本解题思路为：（ I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系.（ II）探求最值：立足函数的定义域,探求函数的最值.（ III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果,并回答所提出的问题,特殊的,假如所得函数在区间内只有一个点满意,并且在点处有极大（小）值,而所给实际问题又必有最大（小）值,那么上述极大（小）值便是最大（小）值.四、经典例题例 1、设函数在点处可导,且,试求（ 1）.（ 2）.（ 3）（ 4）.（为常数）
16、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：留意到当）（ 1）.（2）=A+A=2A（ 3）令,就当时,（ 4）点评：留意的本质,在这肯定义中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎
17、下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -自变量 x 在处的增量的形式是多种多样的,但是,不论选择哪一种形式,相应的也必需挑选相应的形式,这种步调的一样是求值胜利的保证.如 自 变 量x在处 的 增 量 为, 就 相 应 的,于是有.如令,就又有例 2、（ 1）已知,求.（ 2）已知解：,求（ 1）令,就,且当时,.留意到这里（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
18、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意到,由已知得由、得例 3、求以下函数的导数（ 1 ）.（ 2 ）.（ 3）.（4）.（ 5）.（6） 解：（ 1）（ 2）,（ 3）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4）,（ 5）,（ 6）当时,.当时,即.点评：为防止直接运用求导法就带来的不必要
19、的纷杂运算, 第一对函数式进行化简或化整为零, 而后再实施求导运算, 特殊是积、 商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时, “先变后求 ”的手法明显更为敏捷.例 4、在曲线 C：上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C 关于该点对称.解：（ 1）当时,取得最小值 -13又当时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -斜率
20、最小的切线对应的切点为A（ 2,-12）.（ 2）证明：设为曲线的对称点 Q 的坐标为C 上任意一点,就点P 关于点 A且有将代入的解析式得,点坐标为方程的解留意到 P,Q 的任意性, 由此肯定曲线 C 关于点 A 成中心对称.例 5、已知曲线,其中,且均为可导函数,求证：两曲线在公共点处相切.证明：留意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,设上述两曲线的公共点为,就有,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
21、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是,对于有.对于,有由得由得,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切.例 6、（1）是否存在这样的 k 值,使函数在区间（ 1,2）上递减,在（ 2, +）上递增,如存在,求出这样的 k 值.（ 2）如恰有三个单调区间,试确定的取值范畴,并求出这三个单调区间.解：（ 1）由题意,当时,当x 2,+ 时,由函数的连续性可知,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页,共 43 页 - - -
22、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -整理得解得或验证：（）当时,如,就.如, 就, 符合题意.（）当时,明显不合题意.于是综上可知, 存在使在（1,2）上递减, 在（ 2,+）上递增.（ 2）如,就,此时只有一个增区间, 与题设冲突.如,就,此时只有一个增区间,与题设冲突.如,就并且当时,. 当时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -
23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -综合可知,当时,恰有三个单调区间：减区间.增区间点评：对于（ 1）,由已知条件得,并由此获得k 的可能取值,进而再利用已知条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略.例 7、已知函数,当且仅当时,取得极值,并且极大值比微小值大4.（ 1）求常数的值.（ 2）求的极值.解：（ 1）,令得方程在处取得极值或为上述方程的根,故有,即又仅当时取得极值,方程的根只有或,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -
24、第 18 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方程无实根,即而当时,恒成立,的正负情形只取决于的取值情形当 x 变化时,与的变化情形如下表：11,+00+极大值微小值在处取得极大值,在处取得微小值.由题意得整理得于是将,联立,解得（ 2）由（ 1）知,点评：循着求函数极值的步骤,利用题设条件与的关系,立足争论的根的情形,乃是解决此类含参问题的一般方法, 这一解法表达了方程思想和分类争论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值 ”的必要关系.例 8、可编
25、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）已知的最大值为 3,最小值为-29,求的值.（ 2）设,函数的最大值为 1,最小值为,求常数的值.解：（ 1）这里,不然与题设冲突令,解得或 x=4（舍去）（）如,就当时,在内递增.当时,在内递减又连续,故当时,取得最大值由已知得而此时的最小值为由得（）如,就运用类似的方法可得当时有最小值,故有.又当
26、时,有最大值,由已知得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是综合（）（）得所求或（ 2）,令得解得当在上变化时,与的变化情形如下表：-1-1,001+00+微小值极大值当时,取得极大值.当时,取得微小值.由上述表格中展示的的单调性知最大值在与之中,的最小值在和之中,考察差式即,故的最大值为由此得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
27、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考察差式,即,的最小值为由此得,解得于是综合以上所述得到所求.五、高考真题（一）挑选题1、设,就（）.A 、B 、C 、D、分析：由题意得,具有周期性,且周期为4,应选 C.2、函数有极值的充要条件为（）A、B、C、D、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 22 页,共 43
28、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析：当时,且.当时,令得有解,因此才有极值,故应选C.3、设,分别是定义在R 上的奇导数和偶导数, 当 时,且,就不等式的解集是（）A、（ -3,0）（ 3,+）B、（ -3, 0）（ 0,3）C、（ -,-3）（ 3,+）D、（ -,-3）（ 0,3）分析： 为便于描述, 设,就为奇导数, 当时,且依据奇函数图象的对称性知,的解集为（ -, -3）（ 0,3）,应选 D.二、填空题1 过原点作曲线的切线,就切点坐标为,切线的斜率
29、为.分析：设切点为M,就以M为切点的切线方程为由曲线过原点得,切点为,切线斜率为.点评：设出目标（之一）迂回作战,就从切线过原点切入,解题思路反而简明得多.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 23 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 曲线在点处的切线与 x 轴,直线所围成的三角形面积为,就=.分析：曲线在点处的切线方程为即切线与 x 轴交点,又直线与切线交点纵坐标为,上述三角形
30、面积,由此解得即3 曲 线与在 交 点 处 的 切 线 夹 角 是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为,将两曲线方程联立,解得交点坐标为又,即两曲线在点处的切线斜率分别为 -2, 3,应填.（三）解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 24 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1 已知,争论导数的极值点的个数.解析：先将求导,即.当时,有两根,于是有两极值点. 当时,为增函数,
31、没极值点.此题考查导数的应用以及二次方程根、“”等学问. 解答：令,得1、当即或时,方程有两个不同的实根、, 不防设,于是,从而有下表：+00+为极大值为微小值即此时有两个极值点.2、当即时,方程有两个相同的实根,于是,因此3、当即,故当无极值.时,时,.当,时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 25 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -而,故为增函数.此时无极值.当极值点.时,
32、有两个极值点. 当时,无2 已知函数的图象在点处的切线方程为.（）求函数的解析式.（）求函数的单调区间.解析：（ 1）由在切线上,求得,再由在函数图象上和得两个关于的方程.（ 2）令,求出极值点,求增区间,求减区间.此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间.解答（）由函数的图象在点处的切线方程为知：,即,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 26 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -
33、 - - -即 解得所以所求函数解析式（）令解得当或时,当所 以时,在内 是 减 函 数 , 在内是增函数.3 已知是函数的一个极值点,其中（）求与的关系表达式.（）求的单调区间.（）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求的取值范畴.解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和运算,应用导数争论函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第 2 小题要依据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 27 页,共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的符号,分类争论的单调区间.第3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题, 用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,表达出将一般性问题特殊化的数学思想.解答：（）,是函数的一个极值点