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1、-解析几何练习题及答案-第 29 页解析几何一、选择题1已知两点A(3，)，B(，1)，则直线AB的斜率是()A.BC.D解析：斜率k，故选D.答案：D2已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1D2或1解析：当a0时，y2不合题意a0，x0时，y2a.y0时，x，则a2，得a1或a2.故选D.答案：D3两直线3xy30与6xmy10平行，则它们之间的距离为()A4BC.D解析：把3xy30转化为6x2y60，由两直线平行知m2，则d.故选D.答案：D4(2014皖南八校联考)直线2xy10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy5
2、0Dx2y50解析：由题意可知，直线2xy10与直线x1的交点为(1,3)，直线2xy10的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2xy10的斜率为2，故所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程是y32(x1)，即2xy50.故选C.答案：C5若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.BC.D解析：由题意，可作直线2x3y60的图象，如图所示，则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0)，B(0,2)，又直线l过定点(0，)，由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为.故选B.答案：B6
3、(2014泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40B2xy70Cx2y30Dx2y50解析：直线2xy50的斜率为k2，所求直线的斜率为k，方程为y3(x2)，即x2y40.答案：A二、填空题7过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_解析：由题意知截距均不为零设直线方程为1，由解得或.故所求直线方程为xy30或x2y40.答案：xy30或x2y408(2014湘潭质检)若过点A(2，m)，B(m,4)的直线与直线2xy20平行，则m的值为_解析：过点A，B的直线平行于直线2xy20，kAB2，解得m8.答案：89若过点P(1a,1a)
4、与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是_解析：由直线PQ的倾斜角为钝角，可知其斜率k0，即0，化简得0，2a1.答案：(2,1)10已知kR，则直线kx(1k)y30经过的定点坐标是_解析：令k0，得y30，令k1，得x30.解方程组得所以定点坐标为(3，3)答案：(3，3)三、解答题11已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，试求的值，使(1)l1l2；(2)l1l2.解：(1)法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin ，k，kZ.故当k，
5、kZ时，l1l2.法二由l1l2，得sin ，k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.(2)l1l2，2sin sin 0，即sin 0.k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.12设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1l2即k1k2，代入k1k220，得k20，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)法一由方程组解得交点P的坐标为，而2x2y22221.即P(x，y)在椭圆2x2y21上即l1与l2的交点在椭圆2x2y21上法
6、二交点P的坐标(x，y)满足故知x0.从而代入k1k220，得20，整理后，得2x2y21.所以交点P在椭圆2x2y21上第八篇第2节 一、选择题1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析：由题意，设圆心(0，t)，则1，得t2，所以圆的方程为x2(y2)21，故选A.答案：A2(2014郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216Dx2(y1)216解析：设P(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x
7、2y216，故选B.答案：B3(2012年高考陕西卷)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能解析：x2y24x0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d10，对mR，直线l与圆C总有两个不同交点法二直线l：mxy1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2(y2)25内部，对mR，直线l与圆C总有两个不同交点(2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由方程(m21)x22mx40，得x1x2，x.当x0时m0，点M(0,1)，当x0时，由mxy10，得m，代入x
8、，得x ，化简得x22.经验证(0,1)也符合，弦AB的中点M的轨迹方程为x22.12已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|2时，求直线l的方程解：将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7，或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.第八篇第3节 一、选择题1设P是椭圆1上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5
9、C8D10解析：由方程知a5，根据椭圆定义，|PF1|PF2|2a10.故选D.答案：D2(2014唐山二模)P为椭圆1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260，则等于()A3BC2D2解析：由椭圆方程知a2，b，c1，|PF1|PF2|4.|cos 6042.答案：D3(2012年高考江西卷)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.BC.D2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用由椭圆的性质可知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，又|AF1|，|F1F2
10、|，|F1B|成等比数列，故(ac)(ac)(2c)2，可得e.故应选B.答案：B4(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A.BC.D解析：|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10064210836，则|AF|6，AFB90，半焦距c|FO|AB|5，设椭圆右焦点F2，连结AF2，由对称性知|AF2|FB|8，2a|AF2|AF|6814，即a7，则e.故选B.答案：B5已知椭圆E：1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：ykx
11、1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()Akxyk0Bkxy10Ckxyk0Dkxy20解析：取k1时，l：yx1.选项A中直线：yx1与l关于x轴对称，截得弦长相等选项B中直线：yx1与l关于原点对称，所截弦长相等选项C中直线：yx1与l关于y轴对称，截得弦长相等排除选项A、B、C，故选D.答案：D6(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1)BC.D(1,1)解析：由题意知点P不在x轴上，在PF1F2中，由正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.由
12、椭圆定义可知|PF1|PF2|2a，所以e|PF2|PF2|2a，解得|PF2|.由于ac|PF2|ac，所以有acac，即1e1e，也就是解得1e.又0e1，1eb0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为_解析：不妨设|F1F2|1，直线MF2的倾斜角为120，MF2F160.|MF2|2，|MF1|，2a|MF1|MF2|2，2c|F1F2|1.e2.答案：29(2014西安模拟)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_解析：由题意可设椭圆方程为1(mb0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF
13、1F2的面积为9，则b_.解析：由题意得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，即4a22|PF1|PF2|4c2，|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|b29，b3.答案：3三、解答题11(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解：(1)由椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上，可得故椭圆C1的方程为y21.(2)由题意分析，直线l斜率存在且不为0，设其方程为ykx
14、b，由直线l与抛物线C2相切得消y得k2x2(2bk4)xb20，1(2bk4)24k2b20，化简得kb1.由直线l与椭圆C1相切得消y得(2k21)x24bkx2b220，2(4bk)24(2k21)(2b22)0，化简得2k2b21.联立得解得b4b220，b22或b21(舍去)，b时，k，b时，k.即直线l的方程为yx或yx.12(2014海淀三模)已知椭圆C：1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y kx交椭圆C于A，B两点，在直线l：xy30上存在点P，使得PAB为等边三角形，求k的值解：(1)因为椭圆C：1(ab0)
15、的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点所以a，b1，椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l：xy30的交点为P(0,3)，又因为|AB|2，|PO|3，所以PAO60，所以PAB是等边三角形，所以直线AB的方程为y0，当直线AB的斜率存在且不为0时，则直线AB的方程为ykx，所以化简得(3k21)x23，所以|x1|，则|AO|.设AB的垂直平分线为yx，它与直线l：xy30的交点记为P(x0，y0)，所以解得则|PO|，因为PAB为等边三角形，所以应有|PO|AO|，代入得，解得k0
16、(舍去)，k1.综上，k0或k1.第八篇第4节 一、选择题1设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上答案均不对解析：由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17.故选B.答案：B2(2013年高考湖北卷)已知00，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为ca1，又e2，两式联立得a1，c2，b2c2a2413，方程为x21.答案：x219(2014合肥
17、市第三次质检)已知点P是双曲线1(a0，b0)和圆x2y2a2b2的一个交点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，PF2F12PF1F2，则该双曲线的离心率为_解析：依题意得，线段F1F2是圆x2y2a2b2的一条直径，故F1PF290，PF1F230，设|PF2|m，则有|F1F2|2m，|PF1|m，该双曲线的离心率等于1.答案：110(2013年高考湖南卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_解析：设点P在双曲线右支上，由题意，在RtF1PF2中，|F1F2|2c，PF1F230，得|PF2|c，|PF1|c
18、，根据双曲线的定义：|PF1|PF2|2a，(1)c2a，e1.答案：1三、解答题11已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？解：法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程成为2x24x30.162480，方程没有实数解不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点法二设A
19、(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1x2不符合题意，所以由题得x1，x1，两式相减得(x1x2)(x1x2)0，即20，即直线l斜率k2，得直线l方程y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，162480，x20，过A，B两点的直线方程为xmy1，将xmy1与y24x联立得y24my40，y1y24，则由解得x13，x2，故线段AB的中点到该抛物线的准线x1的距离等于1.故选B.答案：B5已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D解析：|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中
20、点到y轴的距离为.故选C.答案：C6设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|MF|y02.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2(y2)2(y02)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.故选C.答案：C二、填空题7动直线l的倾斜角为60，且与抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为_解
21、析：设直线l的方程为yxb，联立消去y，得x22p(xb)，即x22px2pb0，x1x22p3，p，则抛物线的方程为x2y.答案：x2y8以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264.答案：x2(y4)2649(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析：抛物线y24x，焦点F的坐标为(1,0)又直线l倾斜角为60，直线斜率为，直线方
22、程为y(x1)联立方程解得或由已知得A的坐标为(3,2)，SOAF|OF|yA|12.答案：10已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|PM|的最小值是_解析：设点M在抛物线的准线上的射影为M.由已知可得抛物线的准线方程为x，焦点F坐标为.求|PA|PM|的最小值，可先求|PA|PM|的最小值由抛物线的定义可知，|PM|PF|，所以|PA|PF|PA|PM|，当点A、P、F在一条直线上时，|PA|PF|有最小值|AF|5，所以|PA|PM|5，又因为|PM|PM|，所以|PA|PM|5.答案：三、解答题11若抛物线y2x2上的两点A(x1，y1)、B(x2，y
23、2)关于直线l：yxm对称，且x1x2，求实数m的值解：法一如图所示，连接AB，A、B两点关于直线l对称，ABl，且AB中点M(x0，y0)在直线l上可设lAB：yxn，由得2x2xn0，x1x2，x1x2.由x1x2，得n1.又x0，y0x0n1，即点M为，由点M在直线l上，得m，m.法二A、B两点在抛物线y2x2上y1y22(x1x2)(x1x2)设AB中点M(x0，y0)，则x1x22x0，kAB4x0.又ABl，kAB1，从而x0.又点M在l上，y0x0mm，即M，AB的方程是y，即yxm，代入y2x2，得2x2x0，x1x2，m.12已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4知4x25pxp20可化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，即C(41,42)，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.