群的基本知识(18页).doc

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1、-第一章第二章第三章第四章 群的基本知识-第 18 页第五章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。1.1 群 设是一些元素的集合，.在中定义了乘法运算。如果对这种运算

2、满足下面四个条件：（1） 封闭性。即对任意，若，必有。（2） 结合律。对任意，都有.（3） 有唯一的单位元素。有，对任意，都有（4） 有逆元素。对任意，有唯一的，使则称为一个群。称为群的单位元素，称为的逆元素。例1 空间反演群。设和对三维实空间中向量的作用为即是保持不变的恒等变换，是使反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对作用。集合构成反演群，其乘法表见表1.1.例2 阶置换群，又称阶对称群。将个元素的集合映为自身的置换为其中是的任意排列，表示把1映为，2映为，映为的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如定义两个置换和的乘积，为先实行置换，再实行置换，如容易看出

3、在这乘法定义下，全部阶置换构成群。群共有个元素。例3 平面三角形对称群，又称为6阶二面体群。考虑重心在原点，底边与轴平行的平面上的正三角形，见图1.1（）。保持正三角形不变的空间转动操作有不转，绕轴转，绕轴转， 绕轴1转， 绕轴2转，绕轴3转定义两个转动操作的乘积，如为先实行操作，再实行操作。由图可看出，实行操作和实行操作后位置的变化，且可看出，实行操作和实行操作一样，因此。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成群。是6阶群，它的乘法表见表1.2.例4 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，和互为逆元素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为

4、数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。例5 空间平移群。设是中的向量，是中任意一向量，定义空间平移为定义两个平移和的乘积，为先实行平移，再实行平移，故 群的单位元素是平移零向量，即不平移，其中是零向量，和是互逆元素。例6 三维转动群。保持中点不动，设是过点的任一轴，绕轴转角的转动为。定义两个转动和的乘积，为先实行绕轴转角，再实行绕轴转角。则绕所有过点轴的一切转动构成群。群的单位元素是转角，即不转。绕同一轴，转角和的元素，互为逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。当群的元素个数有限时，称为有

5、限群。当的元素个数为无限时，称为无限群。空间反演群、群、群是有限群，例4至例6是无限群。有限群的元素的个数称为群的阶，有时记为。反演群是二阶群，是6阶群，是阶群。群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。群的乘法一般不具有可交换性。即对任意，一般说来与并不相等。如果对任意，有，则称是可交换群或阿贝尔(Abel)群。从前面例子还可以看出，群的任何元素可以用指标标记。当是阶有限群时，指标取，群元用表示。当是可数的无限群时，如整数加法群，可以取所有整数值，。当是连续的

6、无限群时，如实数加法群，有时取全体实数，有时取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，是三个无界的有序实数，又如在转动群中，是3个有界的有序实数，其中是转轴的方位角，是转动角度，而且，,综上所述，群是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数标记为，给出此范围中任一个数，就对应群的一个元素。定理1.1（重排定理） 设，当取遍所有可能值时，乘积给出并且仅仅一次给出的所有元素。证明 先证中任意元素可以写成的形式。因为，所以，自然有。再证当不同时，给出中不同的元素。用反证法，设，而，两边左乘得，这与可以唯一标记中元素矛盾。故时，。于是当改变时，给出并仅一次给出的所有元素。定理证毕。系在取遍所有可能值

7、时，也给出并且仅仅一次给出群的所有元素。重排定理是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或每一列）中被列入一次而且仅仅一次。乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，不可能有两行（或两列）元素是相同的。 设是群的一个子集，若对于与群同样的乘法运算，也构成一个群，则称为的子群。常记为。容易证明，群的非空子集是的子群的充要条件为：(1)若，则，(2)若，则。任意一个群，其单位元素和本身都是的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。群的非显然子群称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。例7 在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。例

8、8 在轴方向的平移全体构成平移群的一个子群。例9 绕固定轴的转动，是群的一个子群。 阶循环群是由元素的幂组成，并且，记为循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从阶有限群的任一个元素出发，总可以构成的一个循环子群称的阶为，是由生成的阶循环群。因为当为的一阶循环子群，这是显然子群。当如，则由生成2阶循环子群。如，用重排定理，知为中不同元素。通过增加，再利用重排定理，总可以在中达到。因此，从阶有限群的任一元素出发，总可以生成一个的循环子群。 设是群的子群，。由固定，可生成子群的左陪集同样也可生成的右陪集有时也将陪集称为旁集。当是有限子群时，陪集元素的个数等于的阶。定理1.2（陪集定理）设群是群的

9、子群，则的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。证明 设，考虑由生成的的两个左陪集，设左陪集和有一个公共元素，则根据重排定理，当取遍所有可能值时，给出群的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集与左陪集重合。因此当左陪集和有一个公共元素时，和就完全重合。定理证毕。同样的证法，也适用于右陪集。定理1.3 （拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。证明 设是阶有限群，是的阶子群。取，,作左陪集。如果包括子群的左陪集串不能穷尽整个群，则取，作左陪集。根据陪集定理，与和完全不重合。继续这种做法，由于的阶有限，故总存在，使包括子群的左陪集串穷尽了整个。即群的任一元素被包

10、含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的元素，故群的元素被分成个左陪集，每个陪集有个元素。于是群的阶=（子群的阶）定理证毕。系 阶为素数的群没有非平庸子群。上面把群的元素，分成其子群的左陪集串的作法，不仅对证明拉格朗日定理有用，而且提供了一种把群分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，也可以把群分割成其子群的右陪集串。例10 有子群和。可按分成左陪集串，。也可按分成右陪集串，。类与不变子群 设是群的两个元素，若有元素，使，则称元素与共轭。记为。共轨具有对称性，当，则。且。共轨还具有传递性，即当，则有。因故 群的所有相互共轨的元素集合组成的一类。由于共轭关系具有对称性和传

11、递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类中任意一个元素，就可求出类的所有元素，类。一个群的单位元素自成一类，因对任意，有。阿贝尔群的每个元素自成一类，因对任意，有。设元素的阶为，即，则类所有元素的阶都是，因，对任意成立。应该指出，当取遍群的所有元素时，可能不止一次地给出类中的元素。如，永远给出单位元素。由共轨关系具有传递性可以知道，两个不同的类没有公共元素。因此可以对群按共轨类进行分割。这种对群按共轨类进行的分割，每个类中元素个数不一定相同。而按子群的陪集对群进行的分割，每个陪集元素的个数是相同的。按类和按陪集分割群，是分割群的两种重要方式。 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。

12、证明 设是阶有限群，是的任一个元素，看类元素的个数。作的子群，由中所有与对易的元素组成，即。对于，如果，则必属于的同一左陪集。因为按定义，。由可得，故。反之，如果属于的同一左陪集，必有。于是有因此类中元素的个数，等于群按分割陪集的个数，也就是群的阶的因子。类元素个数= 设和是群的两个子群，若有，使，则称是的共轭子群。由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若是的共轭子群，则也是的共轭子群。若和是的共轭子群，则和也互为共轭子群。的全部子群可分割为共轭子群类。 设是的子群，若对任意，有。即如果包含元素，则它将包含所有与同类的元素，我们称是的不变子群。 设是的不变子群，对任一固定

13、元素，在取遍的所有群元时，乘积一次并且仅仅一次给出的所有元素。证明 首先证明的任意元素具有的形式。因为是不变子群，故，令，则。而且当时，否则必引起矛盾。因此当取遍所有可能的元素时，一次并且仅仅一次给出的所有元素。例11 以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群的所有子群都是不变子群。不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对的不变子群，由，生成的左陪集和右陪集而由是的不变子群知。由下式可以看出左陪集的元素也是右陪集的元素。故的左右陪集重合。因此对不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群的陪集就够了。设是的不变子群。考虑没有公共元素的的陪集串，假定陪集串穷尽

14、了群，两个陪集和中元素的乘积。必属于另一陪集。因其中 设群不变子群生成的陪集串为，把其中每一个陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，定义新的元素间的乘法规则，即 陪集串 新元素乘法规则 这样得到的群，称为不变子群的商群，记为。不变子群对应商群的单位元素，每一个陪集对应商群的一个元素。陪集和陪集的乘积对应和的乘积。事实上，群和群同构，它们都可以作为商群的定义。例12 群的元素可以分为三类，即类，类，类。恒等转动自成一类，绕轴转和是一类，绕角等分线转角是一类。因此的子群，是互为共轭的子群，是不变子群。的陪集串和商群的元素间有以下对应故商群是二阶循环群。群的同构与同态 若从

15、群到群上，存在一个一一对应的满映射，而且保持群的基本运算规律（乘法）不变；即群中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群和群同构，记为。映射称为同构映射。同构映射可由图表示：其中同构映射，把的单位元素映为的单位元素，因对任意。设，则有故,必为的单位元素。同构映射，还把的互逆元素映为的互逆元素。由于同构映射是一一满映射，故逆映射恒存在，把映为，而且保持群的乘法规律不变，即所以当群和群同构，必有群与群同构，。两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何

16、区别。例13 空间反演群和二阶循环群同构。例14 三阶对称群和正三角形对称群同构。例15 群的两个互为共轭的子群和是同构的。因为存在，使与有一一对应关系，以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。 设存在一个从群到群上的满映射，保持群的基本规律（乘法）不变；即中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群与群同态，记为。映射称为从到上的同态映射。图表示从到上的同态映射其中也有定义从群到群中的同态映射，这时保持群的乘法规

17、律不变，但并不是满映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群到群上的同态。一般说，同态映射并不是一一对应的。即对群中的一个元素，中可能不止一个元素与之对应。因此群与群同态，并不一定有群与群同态。同构是一种特殊的同态，即当同态映射是一一映射时，同态就是同构。因此若群与群同构，则必与同态。反之，若群与群同态，与不一定同构。任何群与只有单位元素的群同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。 设群与群同态，中与的单位元素对应的元素集合，称为同态核。（同态核定理）设群与群同态，则有（1） 同态核是的不变子群；（2） 商群与同构。同态核定理可以用图表示。证明 先证明同态核是的子群。对任意，有故。因此同

18、态核中二元素，的乘积仍在中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素，故含有的单位元素，因设，则对任意，有,于是，如果，必有。否则，设，而又有这不可能，因此若属于，必有属于。这就证明了是的子群。再证同态核是的不变子群。对，与同类的元素为，是群的任意元素。同态映射有以下作用。故所有与同类的元素。是的不变子群。最后证明商群与同构。包括的陪集串，是商群的元素。因为同态映射保持群的乘法规律不变，故只要证明陪集串的元素与的元素有一一对应，就证明了与同构。首先，的一个陪集对应的一个元素，设，则，对任意。其次的不同陪集，对应中的不同元素，因为和不同，由陪集定理可知，它们没有公共元素。设，假设，则得到，和重合。

19、这与假设矛盾，故因此的陪集与的元素有一一对应关系，商群与同构。定理证毕。从图可以看到，如群与群同态，同态映射为。中对应单位元素的元素集合是的一个不变子群。陪集串中的每一个陪集，唯一地对应中的一个元素。中的一个元素也唯一地对应的一个陪集。已知各个陪集中元素数目相同，故中与的每一个元素对应的元素数目是相同的。同态核定理，说明同态映射保持群的乘法规律不变，它是关于同态性质的重要定理。在处理各种群的问题中，我们会经常用到它。例16 群与二阶循环群同态。同态核是不变子群，陪集是。图表示这个同态映射。 群到自身的同构映射，称为的自同构映射。即对任意。有,而且保持群的乘法规律不变，。故自同构映射总是把群的单

20、位元素映为，把互逆元素和映为互逆元素和。 定义两个自同构和的乘积，为先实行自同构映射，再实行自同构映射。 恒等映射对应单位元素。每个自同构映射有逆存在。于是群的所有自同构映射构成一个群，称为群的自同构群，记为或。的子群也称为的一个自同构群。如果群的自同构映射，是由引起，即对任意，有则称是的内自同构映射。与定义自同构的乘法一样，可以定义内自同构的乘法。于是群的所有内自同构构成一个群，称为群的内自同构群，记为或。内自同构群是自同构群的一个子群，而且是的不变子群。因为对任意，与同类的元素为，其中，设，则其中，故是的不变子群。例17 三阶循环群的自同构群有两个元素，故与同构。显然不是内自同构群。例18

21、 三阶对称群有以下的内自同构映射：因此群的内自同构群为内自同构群的子群，也都是的内自同构群。总之，同构的群作为抽象的数学群来说，是相同的。群的同态映射，是保持群结构的一种映射，是常用的重要概念。前面所讨论的都只涉及到抽象群。而将群论用于物理对称性的研究时，常常借助变换群来研究被变换对象和变换群之间的关系。因此变换群提供了把群论用到几何和物理问题中的重要途径。变换与变换群又称为置换与置换群。对置换群的讨论应包括被变换对象和变换群两部分。设被变换对象由元素组成，它是一个非空的集合，。上的置换是将映入自身的一一满映射，,即对任意，有，而且有逆。 定义上两个置换和得乘积为先实行置换，再实行置换。即对任

22、意，有，的全体置换在次乘法下构成一个群，称为上的完全对称群，记为。恒等置换是的单位元素，置换与其逆置换为的互逆元素。被置换对象的元素个数可以是无限的，如是三维实欧式空间中所有的点，或是希耳伯特空间的所有态矢量等等。的元素个数也可以是有限的，如平面正三角形的3个顶点，或正四面体的4个顶点等等。当有无限多个元素时，是无限群。当有个元素时，的完全对称群就是个元素的置换群。共有个元素。的完全对称群的任何一个子群，是的一个对称群。又称为上的变换群。同一个数学抽象群，可以对应不同的变换群。如二阶循环群，可以对应转动群的子群，,也可以对应空间反演群。群和群是的两个不同的实现。虽然这两个群是同构的，具有完全相

23、同的乘法表，但他们作用于被变换对象中的向量时，引起的后果并不相同。这说明两个同构的群，应用到物理问题上，若是不同的实现，必须注意它们的区别。 (凯莱定理) 群同构于的完全对称群的一个子群。特别地，当是阶有限群时，同构于的一个子群。证明 设。将本身看作被变换对象，则任意的元素，把按群的乘法映入，即。由重排定理知道，是把映入的一一满映射，故是将映入自身的一个变换群。因此是上完全对称群的一个子群。下面将讨论关于变换群的轨道等重要概念。设是的一个变换群，如果中两个元素和，有，使，则称元素是等价于元素，或称为点与点等价。记为。因此等价是指被变换对象中两个元素和，可以通过变换群的作用，从变到。显然等价具有

24、对称性，若，必有，因，必有。等价也具有传递性，若，,必有，因，必有。由中全部与等价的点组成的轨道称为含的轨道，即为。即从点出发，用中元素作用于，当取遍的所有元素时，给出的一个子集，这个子集就是含的轨道。含的轨道，就是点经群作用后，可以变到的所有的点。有时也简称为轨道，不过要注意是过那一点的轨道。的不变子集，是指的子集，在变换群的作用下，不会变到外面去，即对任意，有。显然，中每一个轨道是不变的；几个轨道的和集也是不变的。当集合是不变时，也是的对称群。设是的变换群，那么对于的任意子集，总可以找到的一个子群，使任意子集是不变的，即。不变的子群总是存在的，因为对由单位变换构成的显然子群总是不变的。例1

25、9 设是二维平面，是绕轴转动的二维转动群。,平面上任意一点可写为经作用变到， 与等价，,以原点为圆心，过点的圆周上的全部点，是含的轨道。一般说来，过不同的点的轨道是不相同的。如含的轨道，是以原点为圆心，过点的圆。对绕轴转动的平面转动群，轨道如图所示，是一个个同心圆。从图可以看出，中不变的子集有，原点和以原点为圆心的同心圆的任意和集，即中几个轨道的和集是不变的。因此，既是原点的对称群，又是任意以原点为圆心的同心圆及其和集的对称群。例20 平面正方形对称群。设为平面，是绕原点的转动群。中心在的正方形是的子集，用求正三角形对称群的同样办法，我们可以求出下面8个转动使不变：恒等转动，绕轴转角，绕轴转角

26、，绕轴转角，绕对角线1转角，绕对角线2转角绕轴转角，绕轴转角，见图。这8个保持正方形不变的元素，构成的一个子群，称为群。即正方形是不变的。过点的轨道包括4个点，故正方形只有一个轨道。对正方形的不同子集可以找到的不同子群，使是不变的。如或 或 或 或 或 等等。 设是上变换群，是内一点，的子群保持不变，称为对的迷向子群。在正四方形对称群中，和点的迷向子群分别为 设是对的迷向子群，则的每一个左陪集，把点映为中一个特定的点。也就是说，含的轨道上的点，和的左陪集间有一一对应关系。证明 设是含的轨道上的点，即有，使。则左陪集也将映为。因为得。反之，若有，把映为，则由，得。即只有左陪集中的元素，才可能把映

27、为。因此，含的轨道上的点和的左陪集间有一一对应关系。定理证毕。系 设是阶有限群，左陪集的个数，就是含的轨道中点的个数。设的阶为，则含的轨道中共有个点。例21 设是平面正三角形的三个顶点，是的对称群。点的迷向子群，即在作用下不变。左陪集把映为，把映为。含的轨道上共有个点。见图1.1（a）。例22 设是正四方形的4个顶点，是的对称群。点的迷向子群，即在作用下不变。左陪集将映为，将映为，将映为。含的轨道共有个点。见图。以上对迷向子群的讨论是很重要的。特别是定理，使迷向子群的陪集和轨道上的点之间，建立了一一对应关系，并把代数的陪集概念与几何的轨道概念联系起来了。积与半角积先讨论两个群和的直积。设，则和

28、直积群的元素为由于在群和间并没有乘法规则，故定义直积群时，总可以取和可交换。对，定义直积群的乘法为其中，。由并按上述乘法规则，得到和得直积群。记为或。设分别是群的单位元素，群和群分别于群和群同构。，。按以上乘法规则可得直积群。的单位元素为，元素的逆元素为。当群有子群和，若满足（1）的每个元素能够唯一地表示成其中；（2）的乘法规则满足即与的元素，按的乘法规则可以交换。这时和元素乘法规则已包含在的乘法规则中。则称群是其子群和的直积，。和称为群的直积因子。当然和本身并不一定是阿贝尔群。当群和是群的直积因子时，的单位元素是和唯一的公共元素。而且和都是的不变子群。设，而且，则在直积群中有两个不同的元素和

29、都对应，这与的每个元素可以唯一表为矛盾。故只有。对任意，与同类的元素为故是的不变子群，同理也是的不变子群。商群同构于群。例23 6阶循环群，是二阶循环群和三阶循环群的直积群。即和唯一的公共元素都是单位元素，和都是的不变子群，同构于。反之，有子群，的元素可以唯一地表为，如 。但按的乘法规则，即，不满足直积的条件，故不是其子群和的直积群。子群也不是的不变子群。下面讨论群的半直积。设群，的自同构群为，如果存在一个把映为的同态映射，即，则可定义和的半直积群，的元素可唯一地写为其中和为有序的。的乘法定义为下面证明确实是一个群。因是的自同构群，故对，有由此可以证明的乘法满足结合律，设和分别是和的单位元素，则由于是的自同构映射，有容易证明的单位元素为，即元素的逆元素为，故确实构成一个群。群和的半直积也可写成：等等，其中和的顺序不能颠倒。若,是的不变子群。因为与中元素同类的元素为因此是的不变子群。但一般说来，并不是的不变子群。当也是的不变子群时，半直积就退化为直积。可见半直积群比直积群条件弱，有些群不能作为简单群的直积，但却可以作为半直积。例24 群，取，的自同构群有元素存在到上的同构（特殊的同态）映射，因此可以定义半直积，其元素为并且群的乘法规则与完全相同，如因此