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1、-类比的方法解题-第 16 页如何用类比的方法解题一、类比意义与含义演绎推理一般到特殊推理归纳推理特殊到一般推理类比推理特殊到特殊推理所谓类比是根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象。类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：原型模型可能的结果结果类比类比是一种数学思想方法，将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。数学家乔治皮利亚相关名言：“类比是一个伟大的引路人”. “在你找到第一个蘑菇时,千万不要停下来,往前再走,继续观察,就会发现立体几何与平面几何的类比 “对平面几何和立体几何作类比，是提出新问题和获
2、得新发现取之不竭的源泉”。“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。但是，忽视这种似真的猜想更为愚蠢。”名人名言（Kepler）：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的 。”二、平面几何与立体几何类比1、如何进行类比为了对二者进行类比，可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系：（但要注意的是这些类比关系又不是唯一的）平面几何立体几何多边形（三角形）多面体（四面体即三棱锥）平面角二面角直线平面线段长面积面积体积2、类比构造命题（1）平面上定理直线平行的传递性：平行于同一条直线的两直线平行。在空间中成立。（2）平面上定理
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。在空间中成立。（3）平面图形的研究需要建立平面直角坐标系；立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。（4）平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角；空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。（5）平面上定理平面中，不在同一条直线上的三点可确定一个圆，这是圆的确定性定理；在空间中，不在同一个平面上的四点可确定一个球，这是球的确定性定理。（6）平面上定理平面中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外一点有且只有一个平面与已知平
4、面平行。3、类比拓展结论（1）平面中，周长相等的正三角形、正方形、圆，则有 S三角形 S 正方体 S圆空间中，表面积相等的正四面体、正方体、球，则有V正四面体 V正方体 C正方体C圆空间中，体积相等的正四面体、正方体、球，则S正四面体 S正方体 S球。（3）平面中的勾股定理也可推广到空间：平面空间RtABC中C=90三棱锥P-ABC中三侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，P在面ABC上的射影为H,面积公式：设a,b是矩形相邻两边则对角线L2=a2+ b 2设a,b,h是长方体的长，宽，高则对角线L2= a2+ b 2+c2勾股定理：AC2+BC2=AB2SABC2=SPAB2+SPAC2+SPB
5、C2射影定理：三角关系：最值问题：若三边之和为定值，即，则当时，最值问题：若六棱之和为定值，即，则当时，（4）平面中，等边ABC内任一点到各边的距离之和为定值（等边ABC的高）；等腰ABC底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。（5）圆的周长公式：C=2r ；球的表面积公式：S=4r2；圆的面积公式：S=r2 ；球的体积公式：（6）平面中：三角形的三内角平分线交于一点，且该点为内切圆的圆心。空间中：四面体的六个二面角平分面交于一点，且该点为内切球的球心。4、类
6、比推理论证例1求证：正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值。平面问题：求证：正三角形内任一点到三边距离之和为定值。证明方法：面积分割。类比猜想，所给立体几何问题是否也可以通过分割方法，利用体积的关系来证明例2如图1，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形OM1N1与OM2N2的面积之比=。如图2，若从点O所作的不在同一平面上的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为 。解析:本题是平面几何与立体几何的类比，两三棱锥OP1Q1R1与OP2P2R2的体积之比证明思路也可以类比而来。如右图所示，连结P1Q1，Q
7、1R1，R1P1，P2Q2，Q2R2，R2P2，过R1，R2分别作平面OQP的垂线，垂足为H1，H2，由O、R1、R2三点共线知，O、H1、H2三点也共线，又R1H1面OPQ，R2H2面OPQ，R1H1R2H2，OR1H1OR2H2，故类比正确.例4 在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO、BO、CO、DO与四面体的面BCD、CDA、DAB、ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足，求k的所有可能的值.分析 类比平面几何中的三角形，于是命题可以从“ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形三边BC、CA、AB分别交于A1、B1、C1三点，且满足，求k的所有可能的值”的推理
8、过程。解：面积证法，即，于是得k的可能取值为2.在空间四面体中，可转化为体积关系来推理.在四面体ABCD中，有，则体积关系有，于是得k的可能取值为3.点评 运用类比进行思维时，首先要注意针对两类可作比较的研究对象；其次是两类研究对象附属的性质大体要有可比性.在此基础上可由其中一类研究对象的性质进行推测. 2.解析几何中的类比题一 圆锥曲线的统一性椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线。由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性
9、质有着许多类似之处，在研究有关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。（1）椭圆与双曲线类比例1 ：（上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值。证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）。因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理，则（定值）。评注：本题以
10、椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力及类比推理的能力。（2）椭圆与抛物线类比例2：在椭圆中，F是左焦点，是左准线，A是右顶点，过F任作直线与椭圆交与B、C两点，连接AB、AC与左准线分别交与P、Q两点，设两点的纵坐标分别为，求证：为定值。类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。分析：如图所示，以椭圆左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为：,设，过C作，设准线与 x轴交与E点，则与相似，所以,即：，所以=。同理可得，所以。类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即在无穷远处，等同于椭圆的右顶点A，因此
11、我们有以下结论：在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，分别过A、B向准线作垂线，垂足分别为C、D，设两点的纵坐标分别为，则为定值，定值为，证明从略。评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三类曲线的相似之处，才能解决此类问题，课本选修2-1（苏教版）第23页给出了三类曲线的形成模型，回归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。（3）同类曲线自身的类比例3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线xy=k,k0,上任意一点P，若点P在x轴和y轴上的射影分别为A、B，则必为定值 K”；类比于此，对于双曲线上任意一点P，类似的命题是什么？并证明你的结
12、论。分析：鉴于x,y轴是双曲线xy=k,k0的两条渐近线，因此我们可以得到下面的结论：对于双曲线上任意一点P，若在两条渐近线上的射影分别是A、B，则有必为定值。这个定值是多少呢？我们不妨先取P为顶点时，可以得到定值为，证明从略。评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线xy=k,k0而言实质上是其渐近线。（4）三类曲线间的类比例4：在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，以AB为直径作圆C，试判断圆C与准线的位置关系。类比上述结论，在椭圆与双曲线中是否仍有上述结论？若有，给予证明，若无，试说明位置关系。分析：如图所示， 分别过A,B,C向准线作垂线，垂足分别为G
13、,E,H，由抛物线的定义知，,所以，由梯形的中位线定理知：,所以：,即圆心到准线的距离等于圆的半径，所以圆与准线相切。类比上述推理过程，我们发现：由椭圆的第二定义知道：，其中e为椭圆的离心率，所以，由梯形的中位线定理知：,所以,即圆心到准线的距离大于圆的半径，所以圆与准线相离。同理：若曲线为双曲线，则圆与准线的位置关系是相交。评注：本题考查圆锥曲线的统一定义，直线与圆的位置关系。类比的关键在于推理过程的类比，由于定义的统一性，判断方法的明确性，因此，要抓住其实质进行判断，当时，圆与准线相切；当时，圆与准线相交；当时，圆与准线相离。练习：在椭圆中，A、B分别是左右顶点，过AB上任一点作直线轴，与
14、椭圆交与C、D两点，连接AC、BD交与P,求动点P的轨迹；类比于此，对于双曲线和抛物线，类似的结论是什么？并加以说明。答案提示：若曲线是椭圆，则动点P的轨迹为双曲线； 若曲线是双曲线，则动点P的轨迹为椭圆；若曲线是抛物线，则动点P的轨迹是抛物线。例2我们知道:在抛物线中,以过抛物线焦点的弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.类比这一抛物线性质,研究椭圆或双曲线中,以过焦点的弦为直径的圆与对应准线的位置关系, 同样可以得出类似的性质.请你写出一个正确的性质:.yxABFMOlABM(图3)解析:本题的类比物是圆锥曲线中的抛物线、椭圆与双曲线,类比项是以焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系.首先我们
15、探求抛物线中“以焦点弦为直径的圆与准线相切”的合理内核.如图3,、在准线上的射影为则.由抛物线的定义知,即,所以以AB为直径的圆与准线相切.xABFMlABM(图4)C现在利用圆锥曲线的统一定义“到焦点距离与其到相应准线的距离之比等于离心率”,处理椭圆或双曲线中的类似问题.如图,设曲线C是椭圆或双曲线,离心率为,、在相应准线上的射影为,则.由统一定义知,，即.若曲线C是椭圆,则,以AB为直径的圆与准线相离. 若曲线C是双曲线,则, ,以为直径的圆与准线相交.因此,类比得出的性质是“在椭圆中,以过椭圆焦点的弦为直径的圆,必与椭圆的相应准线相离”;或“在双曲线中,以过双曲线焦点的弦为直径的圆,必与
16、双曲线的相应准线相交”.二 圆与圆锥曲线的相似性圆在解析几何中占有一定的比重，也是高考的一个重点内容，那么它与圆锥曲线是否孤立呢？仔细研究教材（苏教版），课本上的例题涉及了圆与椭圆的联系，它们是可以通过伸缩变换而得到，实际上我们也可以通过几何画板形象的反映出它们之间的相互变化，当椭圆的两个焦点重合时，也就形成了圆。既然有相似之处，我们就可以通过类比研究有关的问题。例5：已知圆C的方程为，动点P为其上一点，设其坐标为，求证：该圆在点P处的切线方程为； 类比于此，对于椭圆，类似的结论是什么？并加以证明。分析：若动点P在坐标轴上，显然成立； 若动点P不在坐标轴上，可得切线的斜率为，由点斜式得直线的方
17、程为，化简为: ,又因为点在圆上，所以所求切线方程为。类比椭圆与圆，我们有以下结论：已知P为椭圆上一动点，则椭圆在该点处的切线方程为：，证明从略。评注：本题通过类比推广，可以直接归纳概括出相应的结论。波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。为此，特提出以下教学建议：（1）根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。（2）在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关
18、知识进行类比的习惯。（3）在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。（4）通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师 ”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐渐成为高考命题的新视角。3.函数与数列中的类比题例3（1）设函数f (x)=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f (5)+f (4)+f (0)+f (5)+f (6)的值为 .（2
19、）已知函数f (x)=，那么f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f ()+f ()+f ()的值为 . 解析:两小题都是求和（求函数值的和）问题，把它们与数列求和进行类比。观察各函数值中自变量的特点，联想等差数列求和的方法是a1+an=a2+an1=a3+an2，于是对于第（1）题，我们可以采用求f (5)+f (6)、f (4)+f (5)、f (0)+f (1)，而5+6=4+5=3+4=0+1。对于一般情形有:故原式的值为6。对于第（2）题，也用类比思想方法求f (2)+f ()、f (3)+f ()、f (4)+f ()。学生很快发现，于是原式的值为，这两道小题的解决方法是用类比方法求解，而这种方法源于课本。