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1、-第二章 平面向量-第 17 页第二章 平面向量211 向量的概念 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1在下列各命题中，是正确命题的有( )(1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；(2)温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；(3)方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量；(4)坐标平面上的x轴和y轴都是向量A1个B2个C3个D4个2下列命题中错误的是( )A非零向量与非零向量是共线向量；B对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；C向量的模可以比较大小；D向量a、b、c，若ab，bc，则ac3已知向量a、b，在下列命
2、题中正确的是( )A若ab，则abB若ab，则abC若ab，则abD若a0，则a04如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，下面与向量相等的向量是( )A和B和C和D和(二)填空题5两个相等的向量，若起点相同，则它们的终点_；若起点不相同，则它们的终点_6已知平面上不共线的点A、B、C、D满足，以下四个命题：ABCD是平行四边形；ACBD是平行四边形；ADBC是平行四边形；ACDB是平行四边形；则所有正确命题的序号是_7四边形ABCD中，且，则四边形ABCD是_8如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个与互不相等的非零向量9已知，若BAC60，则_(三)解答题
3、10用有向线段，分别表示一个方向向西大小为20N的力和一个方向向东南大小为28N的力(1cm的长度表示10N)11如图，四边形ABCD为矩形，且BEAB写出图中，(1)与向量共线的向量；(2)与向量相等的向量；(3)与向量模相等的向量12某人从点O出发向西走400m到达点A，然后改变方向朝西北方向走600m到达点B，最后又向东走400m到达点C，(1)按120000的比例作出向量，和；(2)求点C相对于点O的位置向量212 向量的加法 (一)选择题：(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列命题或等式中，不正确的是( )A两个向量的和仍是一个向量B向量a与b的和是以a的始点为始点
4、，以b的终点为终点的向量CabbaDa0a下列命题：(1)如果非零且模不相等的向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a、b之一的方向相同；(2)ABC中，必有；(3)若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；(4)若a、b均为非零向量，则ab与ab一定相等其中正确命题的个数为( )A0B1C2D33在平行四边形ABCD中，等于( )ABCD4已知正方形ABCD的边长为1，则abc的模等于( )A0B3CD2(二)填空题5化简(1)_(2)_6正六边形ABCDEF中，若，则_(结果用a、b表示)7若向量a、b满足a6，b12，则ab的最小值是_，最大值是_8当非零向量a、b满足_时，使得a
5、b平分a、b间的夹角9在ABC中，已知D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则_(三)解答题10设a表示“向东走4km”，b表示“向南走3km”，c表示“向西走3km”，d表示“向北走4km”，说明下列向量的意义：(1)ad；(2)bd；(3)bc；(4)aa11一艘船从A点出发以2kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2kmh，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)12试用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形213 向量的减法 (一)选择题：(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1设a表示向西走10km，b表示向北走10km，若先向
6、西再向北走，则ab表示( )A向北偏西30走20kmB向南偏西30走20kmC向南偏东30走20kmD向北偏东30走20km2在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )A.BCD3如图，向量，则向量可以表示为( )AabcBbacCabcDbac4已知ABC为正三角形，下列各式不成立的是( )ABCD(二)填空题5已知下列四个命题：对任意两向量a、b，均有abab对任意两向量a、b，ab与ba是相反向量；在四边形中，)0；，其中正确命题的序号是_6化简下列各式：(1)_(2)_7如果向量，那么_；_8平面内有四边形ABCD和点O，若，则四边形ABCD的形状是_.9已知，则的取值范围是_(三
7、)解答题10要使下列各式成立，非零向量a、b应满足什么条件：(1)abab；(2)abab；(3)abab；(4)abab；(5)abab11已知正方形ABCD的边长等于1，、，试作向量：(1)abc；(2)abc12在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且，试用a、b、c表示向量、和214 向量的数乘 (一)选择题：(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列命题：实数l 与向量a的积是一个向量；l al a(l R)；l a的方向与a的方向是否相同，由实数l 决定其中正确的命题有 ( )A0个B1个C2个D3个2下列四个命题中不正确的是( )A对于实数m和向量a、
8、b恒有m(ab)mamb；B对于实数m、n和向量a，恒有(mn)amana；C若mamb(mR)，则有abD若mana(m、nR，a0)，则有mn3设点O是ABC所在平面内一点，且，则点O是ABC的( )A重心B内心C外心D垂心4若点O为平行四边形ABCD的中心，则3e22e1等于( )ABCD(二)填空题5与a的方向相同，长度是a的5倍的向量可表示为_，与b的方向相反，长度是b长度的的向量可表示为_6已知向量，用向量b表示向量a，其结果是_7如图，点M在线段AB上，且_，则_，_8若ae12e2，b2e12e2，则ab_，ab_；_.9化简：(1)_(2)_(三)解答题10已知向量a、b，求
9、作向量2ab11设x、y是未知向量，(1)解方程：2(3ax)2b5xa；(2)解方程组：12设OADB是平行四边形，其对角线相交于C点，试求向量与向量、的关系215 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (一)选择题：(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等其中正确命题的个数是( )A0B1C2D32已知ae12e2，b3e14e2，且e1、e2共线，则a与b( )A相等B共线C不共线D不能确定3若点M是三角形ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )ABCD4设a是任一向量，e是单位向量，且a
10、e，则下列表示形式中正确的是( )ABaaeCaaeDaae(二)填空题5与向量a平行的单位向量的个数是_6若数轴上A、B两点的坐标分别为x15，x27，则BA_，AB_点D也在数轴上，且BD2，则D点坐标x3_，AD_.7若，且，e0，则四边形ABCD的形状是_8已知向量a、b满足，则a与b的关系是_(填“共线”或“不共线”)9设e1、e2是两个不共线的非零向量，若8e1me2与me12e2共线，则实数m_(三)解答题10判断下列各小题中的向量a、b是否共线，并说明理由(其中e1、e2不共线)(1)a5e1，b7e1(2)a2e12e2，(3)，b3e12e2(4)ae1e2，b3e13e2
11、11设a、b是不共线的两个向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值12在平行四边形ABCD中，点N在BD上，M为AB中点，求证：M、N、C三点共线单元达标一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1化简等于( )A0B2CD2已知四边形ABCD是菱形，有下列四个等式：，其中正确等式的个数是( )A4B3C2D13如图，D是ABC的边AB的中点，则向量( )ABCD4已知向量a、b，且，则一定共线的三点是( )AM、N、QBM、N、RCN、Q、RDM、Q、R5下列各题中，向量a与b共线的是( )Aae1e2，be1e2B，Cae1，be2D，二、填空题6一飞机从甲地按南偏东1
12、5的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是_.7化简_.8已知数轴上三点A、B、C，其中A、B的坐标分别为3、6，且2，则_，数轴上点C的坐标为_9已知2ab3c，3ab2c，则a与b的关系是_三、解答题10已知向量a、b，求作ab，ab(1)(2)(3)(4)11如图所示，D、E是ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知a，b试用a、b表示、和12已知梯形ABCD中，ABDC，设E和F分别为对角线AC和BD的中点，求证EF平行于梯形的底边221 平面向量基本定理一、学习目标了解平面向量的基本定理及其意
13、义了解直线的向量参数式方程会用线段的中点的向量表达式二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1设e1，e2是表示一个平面内所有向量的一组基底，给出下列三个结论：e1与e2中不含零向量；e1与e2不平行；当l 1e1l 2e20时，则l 1l 20；以上结论正确的共有( )A0个B1个C2个D3个2已知e1，e2是不共线向量，ae1l e2，b2e1e2，当ab时，实数l ( )A1B0CD23已知正方形ABCD，E是DC的中点，且，则( )ABCD4已知点P是线段AB的中点，且，则实数t的值为( )A0B1CD1(二)填空题5已知基底e1，e2，ae1e2，b
14、3e12e2，c2e13e2，且ambnc，则mn_6已知，且C点是AB的中点，则_7已知点D是ABC的边BC上一点且，若，则_8已知i、j不共线，且3i6j，则一定共线的三点是_9已知点D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且，,给出的下列四个等式，其中正确命题的序号是_(三)解答题10已知梯形ABCD中，M，N分别是DC、AB的中点，若，用e1，e2表示、11已知l 1l 21，且l 1，证明A、B、C三点共线12如图OAB，其中、，M、N分别是边、上的点，且，设与相交于P，用向量a，b表示222 向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、学习目标掌握平面向量的正交分解及其坐标运算
15、二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知(8，5)，点B坐标为(7，8)，则点A坐标为( )A(1，3)B(1，3)C(15，23)D(1，3)2已知角，角a 终边上一点为A，且OA2，则( )A(1，)BC(1，)D(，1)3若e1(3，0)，e2(0，1)，ae1e2，b(x1，y)，且ab，则实数x，y的值是( )Ax1，y4Bx2，y1Cx4，y1Dx1，y24给出下列几种说法：相等向量的坐标相等；一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确的说法是( )A1个B2个C3个
16、D4个(二)填空题5若a(2，3)，且2a3b0，则b_6设向量(2，1)，(4，1)则_7已知ab(1，3)，ab(3，3)，则a_，b_8已知向量a(3，2)，b(2，1)，c(7，4)，若cl ab，则实数l _，_9已知(2，4)，(2，3)，其中O为坐标原点，则BC中点坐标为_.(三)解答题10已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，试求点的坐标和M，N两点间的距离11已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点(1)求的长度和方向；(2)求ABC的重心坐标12已知平面上三点坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使得这四点构
17、成平行四边形的四个顶点223 用平面向量坐标表示向量共线的条件一、学习目标掌握平面向量的坐标表示，理解用坐标表示的平面向量共线的条件二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知a(1，3)，b(x，1)，且ab，则x等于( )A3B3CD2已知A(1，3)，B(8，)，且A、B、C共线，则C点的坐标为( )A(9，1)B(9，1)C(9，1)D(9，1)3已知点A(2，3)、B(2，6)、C(6，6)、D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的四边形是( )A梯形B邻边不等的平行四边形C菱形D两组对边均不平行的四边形4下列四组向量中，可作为一个平面的基底向量
18、的一组是( )Aa(1，2)，b(2，4)Ba(，2)，b(2，8)Ca(0，2)，b(0，3)Da(3，2)，b(2，4)(二)填空题5已知A(1，3)，B(7，8)，C(1，2)，D(x，y)，且，这x，y满足的关系式为_6已知A(0，2)，B(2，0)，则与向量方向相同的单位向量为_7设向量a(2，1)，向量ba，且b2，则b_8设a(，sina )，b(cosa ，)，且ab，则锐角a _9已知向量a和b不共线，实数x，y满足向量等式(2xy)a4b5a(x2y)b，则xy的值等于_(三)解答题10已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，2ab，且uv，求x11已知四边形ABCD
19、四个顶点坐标依次为A(3，1)，B(1，2)，C(1，l)，D(3，5)，求证：四边形ABCD是梯形12已知向量a，b是不共线的两个向量，cl 1a1b，dl 2a2b，(1)当cd时，求l 1，1，l 2，2满足的关系式；(2)根据所求结论分析与直角坐标系中两向量平行条件有什么联系231 向量数量积的物理背景与定义一、学习目标通过物理中“功”等实例，理解平面向量积的含义及其物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1如图，力f大小为5N，一个物体在力f作用下产生一个位移s，s的大小为2米则力f对该物体作的功的大小为(
20、 )A10B10C5D52已知a2，b4，ab4，则a，b( )A30B60C150D1203向量a，b夹角a，b的范围是( )A(0，)B0，C(0，p )D0，p 4已知向量a，b，则下列关系正确的是( )AababBababCababD以上答案都不正确(二)填空题5两个向量的数量积是一个_当两个向量的夹角为一个钝角时，则这两个向量的数量积_；当两个向量的夹角为一个直角时，则这两个向量的数量积_；当两个向量的夹角为一个锐角时，则这两个向量的数量积_6当abab，则a，b的位置关系是_7已知ab2，a3则b在a方向上的正射影的数量为_8已知a22ab，b22ab，且a，b为非零向量，则a，b
21、_9已知a3，b2，且ab，则ab_(三)解答题10在ABC中，AB3，AC4，BC5，求、11长为4的向量a与单位向量e的夹角为120，求向量a在向量e上的投影12已知向量a，b，探讨abab成立的条件232 向量数量积的运算律 (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知a1，b，且ab与a垂直，则a与b的夹角为( )A90B60C45D302设a，b，c是三个向量，给出下列四个命题：abba；若ab0，a0，则b0；若abbc，且b0，则ac；若a0，b0，c0，则(ab)ca(bc)；以上四个命题中正确的有( )A1个B2个C3个D4个3非零向量a，b满足ab，
22、且a，b不共线，则向量ab与ab的位置关系是( )A平行B垂直C共线且同向D共线且反向4设向量a4，b3，a，b60，则ab等于( )A37B13CD(二)填空题5若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且ab1，则(3a)(ab)_6已知a2，b5，ab3，则ab_，ab_7非零向量a，b满足(ab)2a2b2，则a，b的夹角为_8已知a，b为非零向量，a2b22ab，那么a，b_9设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(2)()0，则ABC的形状是_(三)解答题10已知a3，b4，(akb)(akb)，求实数k的值11已知e1，e2是夹角为60的单位向量，且a2e1e2，b3
23、e12e2，求ab及a，b12已知abc0，a3，b5，c7，求a，b233 向量的数量积的坐标运算与度量公式一、学习目标掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算理解用坐标表示向量垂直的条件，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系掌握向量的长度、距离和夹角公式二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知点A(2，4)，B(2，3)，则( )A1B7CD2已知，则ab( )A0B2C2D43已知，其中，则有( )AabBabCa，b45Dab4已知a(2，x)，b(3，4)，且a，b是锐角，则x的取值范围是( )AB，且Cx，且xDx，且x(二)填
24、空题5已知，若，则y_6已知a(3，4)，b(2，1)，如果al b与b垂直，则l _7已知a(3，0)，b(k，5)，a，b135，则k_8三角形ABC的三个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，)，则三角形ABC的形状为_9已知a(3，4)，且ab10，则b在a方向上射影的数量等于_(三)解答题10在ABC中，且ABC的一个内角是直角，求k11已知a(cosa ，sina )，b(cosb ，sinb )，(0a b p )(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与kab大小相等，求b a (其中kR，k0)12用向量运算证明：若a1，a2，b1，b2都是实数，则(a1b1a2
25、b2)2()() (一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1已知三点坐标分别为下列选项，共线的三点是( )A(1，3)、(0，2)、(1，1)B(1，3)、(0，1)、(1，1)C(1，2)、(0，1)、(1，1)D(1，3)、(0，1)、(1，2)2在ABC中，若ab，则ABC一定是( )A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形3已知A(1，1)，B(2，3)，在x轴上有一点P，使得最小，则点P的横坐标为( )ABCD4已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于( )ABCD(二)填空题5在ABC中，有下列结论： 若，则ABC为等腰
26、三角形若，则ABC为锐角三角形则正确的结论是_6若，B(2，6)是ABCD的两个顶点，AC与BD交于点E，则C、D的坐标分别为_7已知ABC的三个顶点坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则ABC的形状为_8若四边形ABCD满足，则四边形的形状是_9已知，则点M是线段AB的_(三)解答题10用向量方法证明勾股定理11用向量方法证明平行四边形的两对角线长的平方和等于四边平方和12用向量方法证明三角形的三条高交于一点242 向量在物理中的应用一、学习目标经历用向量方法解决力学问题、运动问题等其他一些简单的物理问题过程，体会向量在解决实际问题中的作用二、知识梳理(一)选择题(每道题的四
27、个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1下列各个量中不是向量的为( )A功B速度C位移D力2物体受到一个水平向右的力F1及与它成60角的另一个力F2的作用。已知F1的大小为N，它们的合力F与水平方向成30角，则F2的大小为( )A3NB3NCNDN3已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是( )4设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”，则“ab”表示( )A东偏北45方向走3kmB西偏北45方向走3kmC北偏东45方向走3kmD东偏南45方向走3km(二)填空题5已知两个力F1，F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹
28、角为60，则F1_，F2_6三个大小相同的力a，b，c作用在同一个物体P上，使物体P沿着a方向作匀速运动，设，则ABC的形状是_7一架飞机向南飞行100km，又向西飞行100km，则此飞机飞行的路程为_，位移的大小为_8一个人由东往西骑车，此时刮东风，风速为10kmh，骑车人的速度为25kmh若风停了，此人还以原来的力骑车，则车速为_9一个物体重量为4N，还受到两个大小为3N，4N的力的作用，则物体所受合力大小范围是_(三)解答题10在水流速度为10kmh的河中，如果要使船以10kmh的速度与河岸成直角横渡，求船的速度11如图，1kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两细绳与水平线分别
29、成30，60角，求两细绳各受到多大的力?12某人骑摩托车以20kmh的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40kmh时，感到风从西南方向吹来，求实际风向和风速的大小单元达标一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1设，其中，则B的坐标为( )ABCD2给出下列四个命题，若a0，则对任意非零向量b，都有ab0；若a0，ab0，则b0；若a0，abac，则bc；对任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)，其中正确的命题个数是( )A3B2C1D03在ABC中，若BC为斜边，则y的值为( )AB9C9D4若a1，b2，ab，则cosa，b等于( )ABCD5已知A、
30、B、C三点共线，且，则l 1l 2等于( )A1BC1D二、填空题6已知三点A(0，1)，B(2，3)，C(3，x)共线，则x_7设a(2，5)，且a与b反向共线，则b的坐标为_8若a(1，3)，b，且(a2b)(2ab)，则x_9与向量a(12，9)平行的单位向量坐标为_三、解答题10如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标11已知向量a(cosq ，sinq )，q 0，p ，向量b(，1)(1)当ab，求q ；(2)当ab时，求q ；(3)求2ab的最大和最小值12如图，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角q 取何值时的值最大？并求出这个最大值