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1、-竞赛专题-因式分解-第 5 页竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2b2=(ab)(ab)；an1=(a1)( an-1an-2an-3 a2a1)2、a22abb2=(ab)2；3、x2(ab)xab=(xa)(xb);4、a3b3=(ab)(a2abb2); a3b3=（ab）(a2abb2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；1、添项拆项例1因式分解：（1）x4x21；（2）a3
2、b3c33abc（1）分析：x41若添上2x2可配成完全平方公式解：x4x21x42x21x2=(x21)2x2=(x21x)(x21x)（2）分析：a3b3要配成（ab）3应添上两项3a2b3ab2解：a3b3c33abca33a2b3ab2b3c33abc3a2b3ab2 =(ab)3c33ab(abc) =(abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) =(abc)(a2b2c2abacbc)例2因式分解：（1）x311x20； （2）a5a1（1）分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）解：x311x20x316x5
3、x20x(x216)5(x4)=x(x4)(x4)5(x4) =(x4)(x24x5)（2）分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5a1a5a2a2a1=a2(a31)a2a1=a2(a1)( a2a1)a2a1=(a2a1)(a3a21)2、待定系数法例3因式分解2x23xy9y214x3y20解：2x23xy9y2=(2x3y)(x3y),故用待定系数法，可设2x23xy9y214x3y20=(2x3ya)(x3yb)，其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得 解得 2x23xy9y214x3y20=(2x3y4)(x3y5)另
4、解原式=2x2(3y14)x(9y23y20)，这是关于x的二次三项式 常数项可分解为(3y4)(3y5),用待定系数法，可设2x2(3y14)x(9y23y20)=mx(3y4)nx(3y5)比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=12x23xy9y214x3y20=(2x3y4)(x3y5)三、 重点定理1、余式定理：整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。当一个多项式f(x) 除以(x a) 时， 所得的余数等于 f(a)。例如：当 f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4。2、因式定
5、理：即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2ab=99，则a= ，b= 。2、计算：(x6)2(x6)2=(x236)2 。3、若xy=4，x2y2=10，则(xy)2= 。4、分解因式：a2b24a2b3= 。5、分解因式：4x331x15= 。6、分解因式：x41987x21986x1987= 。五、选择题7、x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz因式分解后的结果是（ ）。 （A）(yz)(xy)(xz) （B）(yz)(xy)(x
6、z) （C）(yz)(xy)(xz) （D）(yz)(xy)(xz)8、已知7241可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）。（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，479、n为某一自然数，代入代数式n3n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ）。（A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948六、将下列各式分解因式10、x4x2y2y4 11、x4412、x423x2y2y4 13、x34x2914、x341x30 15、x35x21816、x33x2y3xy22y3 17、x33x23x718、x39ax227a2x26a3 19、x36x211x620、a3b33(a2b2)3(ab)221、3x37x10 22、x311x231x21七、解答题23、已知xy4是x2y2mx3y4的一个因式，求m的值。24、求方程xyxy1=3的整数解。 解：原方程可化为(x1)(y1)=3 x，y整数,原方程可化为四个方程组:x1=1 x1=3 x1=1 x1=3y1=3 y1=1 y1=3 y1=1 解得：（x,y）的解为(2,4)、(4,2)、(0,2)、(2,0)