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1、-第4章 函数习题答案-第 4 页习题 41判断下列关系中哪个能构成函数： (1) (2) 设A1， 2， 3， 4， Bb1， b2， b3， R1AB，R2AB， 其中 R1(1， b1)， (2， b1)， (3， b1) R2(1， b1)， (2， b2)， (3， b3)， (2， b1) 解：(1) 因为有1R1， 1R(-1)， 所以R不满足像的唯一性。同时定义域为全体非负整数，不满足像的存在性。不构成函数。(2) R1不是函数， 因为4A无像；R2也不是函数， 因为2R2b2， 2R2b1， 像不唯一。 2.分析下列各个函数，指出其性质（单射、满射或双射）（1）f: ZZ,
2、f(j)=j mod 3（2）f: NN，（3）f: N0,1，（4）f: ZN，f(i)=|2i|+1（5）f: RR，f(r)=2r 15解：（1）、（2）、（4）既不是单射，也不是满射。（3）是满射。（5）是双射。3. 假设f和g是函数，求证fg也是函数。证明：fg=|xdom fxdom gy=f(x)y=g(x)=|xdom fdom gy=f(x)=g(x)令h = fg，则dom h =x|xdom fdom gf(x) =g(x)若y1 y2，因为f是函数，故必有y1=f(x1)，y2=f(x2)，且x1x2，所以h = fg是一个函数。因为dom h存在且y1 y2时x1x2
3、，即h =|xdom h，y=h(x) =f(x) =g(x)4. 设A=1，2，n，证明从A到A的任意单射函数必是满射函数，其逆亦真。证明：设f是从A到A的单射函数，则|A|=| f(A)|，因为f是A到A的函数，所以f(A) A，又因为|A|=| f(A)|，且|A|是有限的，因此必有f(A) = A，即f是满射函数。反之，若f是从A到A的满射函数，根据满射定义有，f(A) = A，于是|A|=| f(A)|，又由|A|是有限的，故f是从A到A的单射函数。5. 证明从NN到N的函数f(x，y)=x+y和g(x，y)=xy是满射，但不是单射。证明：对任意zN，显然存在0，1，zN，使得0+z
4、=z，1z=z，因而f(x，y)=x+y和g(x，y)=xy是满射。由于3+2=4+1=5，因而f(x，y)=x+y不是单射，由于32=61=6，因而g(x，y)=xy不是单射。6. 试给出满足下列条件的函数例子。（1）是单射而不是满射。（2）是满射而不是单射。（3）不是单射也不是满射。（4）既是单射又是满射。解：（1）设A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=,。（2）设A=a,b,c，B=1,2，f=,。（3）设A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=,。（4）设A=a,b,c，B=1,2,3，f=,。7. 有限集A和B，|A|=m，|B|=n，问：（1）A到B的不同的二元关系有多少？ （
5、2）从A到B存在多少不同的函数？（3）从A到B存在单射的条件是什么？有多少不同的单射？ （4）从A到B存在满射的条件是什么？有多少不同的满射？（5）从A到B存在双射的条件是什么？有多少不同的双射？解：（1）2 mn 。（2）n m。（3）mn，。 （4）nm，n!S(m，n)。（5）m=n，m！。8. 证明：（1）f(AB)= f(A)f(B)（2）f(AB) f(A)f(B)（3）f(A)-f(B) f(A-B)证明：（1）对任意的yf(AB)有，yf(AB) $xABf(x)= y$xA$xBf(x)= y ($xAf(x)= y)($xBf(x)= y) yf(A)yf(B) yf(A)
6、f(B)（2）对任意的yf(AB)有，yf(AB) $xABf(x)= y$xA$xBf(x)= y ($x1Af(x1)= y) ($x2Bf(x2)= y) yf(A)yf(B) yf(A)f(B)（3）对任意的y f(A)-f(B)有，yf(A)yf(B)。即对某个x1A，y=f(x1)，但对任意xB，yf(x)。故对某个x1A-B，y=f(x1)，即y f(A-B)于是f(A)-f(B) f(A-B)。9. 设f: AB是满射函数，且函数g: BP(A)定义为:g(b)=x|xAf(x)=b证明：g是单射。其逆成立吗？若成立给出证明，否则给出例子予以说明。证明：因为f是满射函数，则对任
7、意bB，至少存在一个xA，使得f(x)=b，故g的定义域为B。对任意的b1，b2B，且b1b2，g(b1)=x|xAf(x)= b1g(b2)=y|yAf(y)= b2因为b1b2，f(x)f(y)，而f是函数，故xy，所以g(b1)g(b2)故g是单射。逆不成立。例如：A=a,b,c，B=x,y,z，则f: AB，f(a)=x，f(b)=x，f(c)=y。g: BP(A)，g(x)=a,b，g(y)=c，g(z)= 。g是单射，但f不是满射。10. 证明：若f: AB，g: BA，且gf =IA，f g =IB，则g=f-1，且f=g-1。证明：因为gf =IA，所以gf (a1)= g(f
8、 (a1) =a1，gf (a2)= g(f (a2) =a2，若a1a2，g(f (a1)g(f (a2)，所以f (a1)f (a2)，即f:是单射。又对任意的aA有gf (a)= g(f (a) =a，即存在f (a)=bB，使得g(b) =a，因此g是满射。同理，若f g =IB，则g是单射且f是满射，故可知f和g都是双射函数。设f，因为IA，而gf =IA，故必有某个cB，使得f且g，由ffb=c因此g。反之，若g，由IB，故必有某个dA，有gf，由gga=d因此f。上述证明得到f当且仅当g，所以g=f-1且f=g-1。11. 证明：若(gf)-1是一个函数，则f和g不一定是单射。证
9、明：设A=a,b,c，B=1,2,3,4，C=x,y,z，f是A到B的函数，g是B到C的函数，f=,，g=,则gf=,，(gf)-1=,是双射函数，但g不是单射。12设，且有求和解：，且13设函数f： RR和g： RR分别为 f(x)2x1， g(x)x22。求gf， fg， f 2， （gf）f， gf 2， f -1解：14若，试写出上的全部置换，并求，。解：， ，15证明所有整数形成的集合是一个可数集。证明： 显然，f是一一对应。16证明所有偶数形成的集合是一个可数集。证明：f：EN，显然，f是一一对应。-6 -4 -2 0 2 4 6 8 7 5 3 1 3 5 6 8 17证明：。证明：令则f是单射，故又令，则g是单射，故，所以18试给出一个具体的函数，使得它是从（0，1）到0，1的一一对应。证：（0，1）中包含一个可数子集可数。可数的，故1。令即为所求。