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1、-研究生高等代数复习题-第 3 页1.设A是数域上线性空间的线性变换且,证明: （1）A的特征值为1或0；（2）;（3） .2.已知A是n维欧氏空间的正交变换，证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间 3.已知复系数矩阵， （1） 求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）4.已知二次型，通过某个正交变换可化为标准形，（1）写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定的值； （2）求出作用的正交变换. 6.设为阶方阵，证明为幂等矩阵，则.7.若设W=,证明：W是的子空间，并求出W的一组基及维数. 8.设是一个n维欧氏空间，为中的正交向量组，令（1）证明：是的一
2、个子空间；（2）证明：.9.试求矩阵的特征多项式、最小多项式. 10.在线性空间中定义变换：（1）证明：是的线性变换.（2）求值域及核的基和维数. 11.证明二次型是半正定的. 12.求的值，使 是正定二次型. （12分）13.设 （1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形. 14.设的线性变换A在标准基下的矩阵为，（1）求A的特征值和特征向量，（2）求的一组标准正交基，使A在此基下的矩阵为对角矩阵. 15.设是四维线性空间的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为（1）求线性变换A的秩，（2）求线性变换A核与值域. 16.求正交变换使二次型化为标准形，并判定该二次型是否正定. 17.设是5维的
3、欧几里得空间的一组标准正交基，其中，求的一组标准正交基. 18. 设是矩阵，其中（1）求的值；（2）设，求W的维数及W的一组基. 19.设T是线性空间上的线性变换，满足，求T在基下的矩阵. 20.设A是维线性空间上的线性变换，是的一组基.如果A是单射，则也是一组基. 21.二次型，1）写出二次型的矩阵A；2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将化为标准形. 22.求方阵的不变因子、初等因子和若当标准形.23.设V是n维欧氏空间，n3, 给定非零向量，令证明：（1）是正交变换；（2）如果是正交基，则存在不全为零实数使得是V上的恒等变换. 24.是和的解空间,则.25.设和是线性空间中依
4、据如下方式定义的两个线性变换：，求.26.设欧氏空间中有，证明：如果，那么 27.求实二次型 的规范形及符号差.（15分）28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形. 29.设为数域上的维线性空间，且(1）证明：是的一组基；(2) 若在基下的坐标为，求在基下的坐标. （14分）30.在三维空间中，已知线性变换在基下的矩阵是，求在基下的矩阵. 31.在线性空间中，定义，其中。（1）证明：是的内积，因而按此内积构成一个欧氏空间，（2）求的一组标准正交基，（3）求矩阵，使得.32.设的两个子空间为：,.求与的基与维数. 33.设是3维线性空
5、间，为它的一个基.线性变换，求（1）在基下的矩阵；（2）求核和值域.34.设是实数域上所有阶对称阵所构成的线性空间，对任意，定义，其中表示的迹.（1）证明：构成一欧氏空间；（2）求使的子空间的维数；（3）求的正交补的维数. 35.试找出全体实2级矩阵所构成的线性空间到的一个线性同构. 36.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基和维数. 37.设，求(1)的不变因子、行列式因子、初等因子.(2)的标准形. 38.设是数域上矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，定义变换，.（1）证明：是上的对合线性变换，即是满足（恒等变换）的线性变换；（2）求的特征值和特征向量. 39.已知实二次型（
6、1）假设是负定二次型，求的值；（2）当时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵. 40.设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为（1）令，证明是个单位向量；（2）若与正交，求.41.已知,是的两个子空间，求的一个基和维数. 42. V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令证明：W1、W2皆为V的子空间，且.43.由三个函数1,生成的实线性空间记为,求线性变换T:,的迹，行列式和特征多项式. 44.求-矩阵的初等因子和不变因子. 45.设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：证明： A为第二类的正交变换47.在线性空间P22中，(1)求的维数与
7、一组基； (2)求的维数与一组基. 47.设为维线性空间的一个线性变换，且(恒等变换)，证明:(1) 的特征值只能是1或 -1；(2). 48.已知二次型通过正交变换化为标准形，求的值及所作的正交变换 49.中，线性变换关于基，的矩阵为（1）求关于标准基的矩阵；（2）设,求关于基的坐标. 50.设是的线性变换,（1）求值域的一个基和维数；（2）求核的一个基和维数51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类； （2）某四元二次型有标准形，求其规范形. 52.设（1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若当标准形. 53.设，在中求与同时正交的单位向量（内积按通常的定义）. 54.已知的两个子空间，证明： 55.求下面矩阵的列空间在中的正交补的一个标准正交基.（15分）56.设为阶方阵，证明：为幂等矩阵当且仅当.57.设是数域P上线性空间V的线性变换，,是的特征值，且，,分别是对应于,的特征子空间，试证：是直和. 58.设是4维空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为，求的核和值域. 59.已知向量,，（1）求线性子空间的维数与一个基；（2）求 的值，使得W ，并求在（1）所选基下的坐标.