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1、-第八章方差分析与回归分析-第 9 页第八章 方差分析与回归分析1 单因素试验的方差分析试验指标：研究对象的某种特征。例 各人的收入。因素：与试验指标相关的条件。例 各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。因素水平：因素所在的状态例 学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。问题：各因素水平对试验指标有无显著的差异？单因素试验方差分析模型假设1） 影响试验指标的因素只有一个，为，其水平有个：；2） 每个水平下，试验指标是一个总体。各个总体的抽样过程是独立的。3），且。问题：分析水平对指标的影响是否相同1）对每个总体抽样得到样本，由其检验假设：原假设
2、，；备选假设：，；2）如果拒绝原假设，则对未知参数进行参数估计。注1）接受假设即认为：各个水平之间没有显著差异，反之则有显著差异。2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。检验方法数据结构式：，偏差是相互独立的，。不难验证，。各类样本均值水平的样本均值：；水平总样本均值：，；偏差平方和与效应组间偏差平方和：；（衡量由不同水平产生的差异）组内偏差平方和：；（衡量由随机因素在同一水平上产生的差异）总偏差平方和：；（综合衡量因素，水平之间，随机因素的差异）定理1（总偏差平方和分解定理） 。即，或直接证明。注：利用即可证明。定理2（统计特性）证 定理31），且与独立；2
3、）如果假设成立，那么，；且如果假设，则还有，。证 1）由于不同水平的样本间的独立性，较易处理。对固定的，且独立，所以由第五章定理2的结论，利用可加性，即得，且与独立。注意到，因此也与独立，从而也与独立。注 这里只需方差假设相同，不需要假设均值相同。2），且独立，同样利用第五章定理2，但在假设成立时，即得结论。且与独立。同时，。注 此处结论证明利用了都相等，即利用：。但上述结论在组样本容量不同时，直接利用正交变换仍可类似证明。 从统计角度看，如果假设成立，那么，而在假设不成立时，即统计量将有偏大的趋势。那么，大到何值可以采信为推翻假设的反例，就回到前面的假设检验问题了。定理 置信度为时，假设的检
4、验问题的拒绝域为。参数估计问题如果各因素有显著差异，即对某些水平，那么就需要估计这些参数的值和。1最大似然估计总体，密度函数为，所以最大似然函数为一般，我们把分成两部分：，其中。所以即表示了各水平的差异，有。由此最大似然函数可表示为，对数最大似然函数：约束条件：求其最大值点得：即：；或，。（是拉格朗日乘子）即；或，；即，或，整理结果得：由此利用，解得。因此。所以，同时，因此2区间估计第个水平的均值：，即；且与其独立，所以即可得到置信区间：但，必须注意，对整个问题而言，置信水平不再是。记事件则。但。2 一元线性回归 设有两个总体，它们之间不是独立的，而是具有某种依赖关系，即对它们抽样，得到的是一
5、对样本和观测值：，。例 父子的身高；某种动物体重和体积，等等。现在关心的问题是：从观测的结果，能否找出它们之间的联系？即，其中是随机变量。从实际问题出发，也可认为是非随机的确定自变量，本来两者之间应该有确定的函数关系，但由于某种干扰，这种关系产生了某种不确定性。如何合理地确定其关系？一元线性回归模型假设1）；2）。每次抽样，其中，且相互间是独立。等价的观点：。问题 由样本观测数据，如何合理估计参数？方法 1） 确定性观点：最小二乘法 使观测得到的的样本平方和偏差最小。解 记，求偏导得，解方程组得，即，因此解为：2） 随机观点：最大似然估计最大似然函数。因此，由，即得类似结论。注 把是确定值，则
6、都是关于的统计量。所以，在不代入观测值时，也都是随机变量。有结论，定理 （1），；（2）；（3）。证：，显然服从正态分布，类似，也服从正态分布，且最后，是正态分布显然成立，该定理表明，上述参数估计都是无偏的，但要提高有效性，即减小其方差，就要和足够大。回归方程的显著性检验如果回归方程中，那么即说明和不具有线性关系，就称回归方程不显著；否则，就称其是显著的。显著性检验 ：；：（我们是准备接受结论的，以进行后面的工作；但是，如果直接把其作为原假设，所谓接受该假设，意思是说，成立时，没有出现小概率事件，就是说对该次抽样，不能否定。所以，对自已的主张一般不作为原假设。我们把其对立面作为原假设，意思是说
7、，如果小概率事件出现，就有理由认为该假设不合理，该次抽样是一个反例。因此，接受其对立面）抽样后，得到样本，及其回归值。各类偏差平方和先把记号定义整理一下：或不具有随机性的量。是样本，满足，而是其观测值。是参数，是其无偏估计量，而是其函数。都是统计量。总偏差平方和，回归偏差平方和（由随机因素引起的偏差）可以直接计算得到：； 残差平方和（回归值和观察值的偏差：由随机误差，可能存在的非线性关系，都会引起该偏差）直接计算得到：。关于这些偏差有如下结果。定理 （1）；（利用，）（2）；由此，。（3）在假设成立时（即时），；（4）（或）与独立。证 （2）对，做正交变换，与是单位正交的向量，其余向量具有一定的任意性，只要使其成为正交阵。这时，（与正交）；，（与正交）。这时，。同时，是个独立标准正态分布的随机变量的和，所以。（3）如果假设成立，即。但即得结论。1检验：如果假设成立，构造统的计量应该是偏小的，所以拒绝域为2检验：构造统计量，拒绝域相关性检验