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1、-第三章 连续动态系统-第 10 页第三章 连续动态系统讨论可以用数学模型描述的系统，分为确定性模型（演化方程表示为状态变量的函数）、随机性模型（演化方程（动力学方程状态变量的导数对状态变量的依赖关系，例速度、位移表达式）可用一个随时间变化的随机变量描述），每一类模型又分连续型和离散型两种。例，离散与连续的形象解释。1连续动态系统的数学描述在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论，但系统科学重点研究非线性系统。1.1 线性动态系统用线性数学模型描述的系统，线性系统的基本特征是满足叠加原理。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志。所谓叠加原理指加和性（和的函数等于函数的和）和齐次
2、性（常数项直接提取到函数外）。例，判断与是否属于线性操作。线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，即矩阵形式：据的取值随时间的变化情况，分为常系数方程、变系数方程，本章讨论常系数方程。1.2 非线性动态方程如果函数关系不满足叠加原理，则称函数是非线性函数。线性函数本质上只有一种，即： 不同线性函数只是比例系数不同，经过平移（？）旋转等数学变换，可以完全重合。而非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，例抛物线、指数、对数或三角函数，不可能由一种或几种形式经过简单变换产生出来。非线性的这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源。非线性连续系统的动力学方程一般形式如下：矩阵形
3、式：中至少应有一个为非线性。称为状态变量，称为控制参量。动力学方程是动力学中的术语，在系统科学中，通常称为演化方程。据演化方程对系统分类，系统分为线性与非线性、自由与强迫系统（是否包含外来作用，）、自治与非自治系统（是否明显包含时间变量，）。非自治系统的两个特例，一是变系数系统，二是强迫系统。强迫系统、非自治系统分别可以转化自由系统、自治系统，所以为本章主要讨论自由、自治系统。有了演化方程，有三种方法研究非线性系统的行为特性： 解析方法一般地，解析求解不可能，只在某些特殊情形下才可以。例具有适当形式时，用分离变量法获得解析方程。 几何方法分析系统的定性性质，从方程结构和参数中直接提取系统的定性
4、信息。 数值计算方法使用计算机进行数值计算，求得方程的近似解。例，有关混沌动力学的几个重大发现，都是通过计算机实验得到的。3）系统科学是关于非线性的科学，但线性系统理论仍是系统科学中不可忽视的内容？这不仅因为线性理论的成熟和体系化，还在于线性理论是非线性理论必要的基础性知识准备，例构造非线性方程的解往往要利用线性方程的解，并且非线性可做到线性化处理： 非线性因素微弱，允许忽略不计，演化方程近似满足叠加原理； 非线性系统的局部线性化处理，关心系统的局部性质，非线性模型又满足连续性和光滑性要求。线性化的实质是忽略非线性因素，而非线性因素正是系统产生多样性、奇异性和复杂性的根源，线性化所“化”掉的恰
5、好是这种根源。2轨道、暂态、定态线性动态系统只要求出方程的解析解，从给定的初始条件出发，既可预见系统的一切未来状态，也能回溯过去的所有状态，达到对系统行为特性的全面而定量的把握。但非线性动力学方程能够获得解析解的情形极少，求解析解不是处理非线性系统的普适方法，对于一般非线性系统，可行的方法是定性描述，即在状态空间和参量空间中用几何方法等定性手段来研究。2.1 状态空间、参量空间由系统所有状态构成的集合，称为系统的状态空间又称相空间。设系统有个独立状态变量，记做，以状态变量为轴支撑起来的几何空间，就是系统的状态空间，每一组具体的数值代表系统的一个具体状态或相，是状态空间的维数，可以取任何正整数，
6、例，其状态空间可以画出来，4维以上的属于抽象空间，是决定系统行为特性的重要参数。状态空间是在控制参量（常数项）给定的条件下建立的，但控制参量也是可变的。以控制参量为轴构造的维空间称为参量空间。参量空间的每个点都对应一个确定的系统，所以在参量空间研究的是演化方程结构相同的无穷多系统构成的系统族，例或。2.2 轨道演化方程的每个解代表状态空间的一个点集合，称为一条相轨道。状态在相空间沿轨道运动可以形象地比喻为物理空间的水流，一个解就是一个流。演化方程的解无穷多，空间的轨道亦无穷多。状态空间不是分别研究每个轨道，而是考察全部可能轨道及其分布，从而达到整体把握系统的动态特性。2.3 暂态、定态状态空间
7、包含系统的所有可能状态，有关系统动态特性的所有信息都蕴藏于其中，如何提取这些信息，虽然状态空间有无穷多个状态，但在系统学意义上可以划分为很少的几类，它们显示不同性质，代表系统不同动力学行为特性，所以在状态空间研究系统归结为划分不同类型的状态，动态系统有两类可能的状态。 暂态系统在某个时刻可能到达但不借助外力就不能保持或不能回归的状态； 定态系统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态。状态空间几乎全是由暂态点填充的，定态只是其中极其微小的一部分，例：图3-1图31 系统定态直观例子系统的定性性质是由定态决定的，不同的定态代表不同的定性性质。暂态只是系统为了确立某种定性性质所必须的量的积累。相变：
8、系统从一种定态到其它定态的变化反映的是系统从一种定性性质向另一种定性性质的转变。动态系统有以下几种定态： 平衡态在数学上用不动点来刻划，所有状态变量的导数都为0，状态不再发生变化，表明系统处于平衡运动，即 周期态设是演化方程的一个解，满足条件，为常数，则称是演化方程的一个以为周期的周期解。周期解由相空间的一条闭曲线表示，代表系统的一条周期轨道，数学上称为极限环，图3-2、图3-3分别表示平面极限环、空间极限环，特点是当无穷大时附近的相轨道以该闭合曲线为极限。图3-2 平面极限图 图3-3 空间极限图 拟周期态由多个不同周期且周期比为无理数的周期运动叠加在一起形成的复杂运动形式。 混沌态 复杂有
9、序运动体制（确定性方程描述的非线性动态系统的一种尚未认识的定态）。定态与状态维数有密切关系。表1 定态与状态维数的关系维数1维2维3维状态空间直线或直线段平面复杂定态平衡态平衡、周期态四种定态2.4 初态、终态初态：起始时刻的系统状态称为系统的初始状态。终态：当时间趋于无穷大时系统的极限状态，即系统终了时刻到达的状态。研究动态系统，主要关注的是系统的终态。3稳定性系统不可避免地承受来自环境和系统自身的各种扰动，扰动会使系统的结构、状态、行为有所偏离，小扰动引起的是否为小偏离，出现偏离后系统能否恢复原样，就是稳定性研究要回答的基本问题。系统是稳定性与不稳定性的统一？一个系统的状态空间如果没有任何
10、稳定定态，必定是物理上不可实现的，系统理论无需讨论它。从应用角度看，一个不稳定的系统无法正常运行，无法实现其功能目标。因而是没有用的。从演化角度看，如果一个系统的所有状态在所有条件下都是稳定的，它就没有变化、发展、创新的可能。只有原来的状态、结构、行为模式在一定条件下失去稳定性，系统才有可能向新的结构、状态、行为模式演化，即系统有发展创新的可能，不稳定性在系统演化理论中具有非常积极的建设性作用。例，基因的复制与突变是稳定性与不稳定性的统一。所有生命的遗传因子都储存在细胞核中的DNA上，人类的遗传因子储存在一条长长的由个碱基对组成的信息磁带上。在每次细胞分裂期间，所有这些碱基对必须精确复制并传递
11、到下一个细胞时代中。难以想象这项如此复杂、看上去似乎不可完成的精确工作是如何完成的。而突变的产生是轻而易举的。产生突变的内因是细胞分裂过程中有限的复制精度，产生突变的外因也广泛存在，例，高能辐射、紫外线照射、化学制品作用。然而，生命却依然故我地稳定存在。生命之稳定全因DNA不断地得到修复。遗传信息同时储存在两条核酸链上，当突变在其中一条链上出现的时候，一支“修理队”立即赶赴现场，并识别出异常所在，这支“修理队”不是一虚构事物，修复酶不停地沿着DNA双链巡逻，检查双螺旋是否仍井然有序。碱基对的每个差错都被双链几何构型的改变所显示，“修理队”一下子就能将它识别出来，并替换有毛病的部位。在人类的基因
12、组中，个碱基对每年只有15对发生置换，这是一件难以想象的精确工作，精度达到。突变率之低是由于选择机制的作用。选择机制滤出合适的突变体，并抛弃不合适的个体。进化就是这样一个从大量突变获得的可能性中不断进行滤除的过程，这个滤除过程把某些有利的性状成功选择出来，这将有利于提高该个体在一个特定的自然生态位置生存的机会。动态系统理论的稳定性研究围绕状态及由状态构成的轨道这两个概念进行。暂态轨道的稳定性可以归结为定态轨道的稳定性问题，一个定态轨道的稳定性判定后，它周围的暂态轨道的稳定性也确定了。3.1 定态的稳定性稳定性：系统行为在受到扰动后能否消除偏离的问题。一个定态是否稳定可以通过它周围的所有轨道的终
13、态走向来判别。2维系统不动点（导数为0）的稳定性分下列4种类型： 焦点型不动点周围布满螺旋形的相轨道。稳定的焦点轨道：螺旋式地向不动点收缩，随时间的无限延伸，演化方程衰减为0，如： 图3-4 稳定的焦点型不动点不稳定的焦点轨道：螺旋式地远离不动点，随时间的无限延伸，演化方程向无穷发散，如： 图3-5 不稳定的焦点型不动点 结点型不动点在正规情形下，周围布满非螺旋轨道，相轨道是指向不动点的直线，如图3-6和图3-7： 图3-6 稳定的结点型不动点 图3-7 不稳定的结点型不动点非正规情形，如图3-8： 图3-8 非正规稳定结点型不动点 中心点型不动点不动点周围布满周期不同的闭合轨道，如图3-9所
14、示，中心点是稳定的。 鞍点型不动点相轨道从相反方向向不动点收敛，又从不动点沿相反方向向外发散，每条相轨道先向鞍点靠近，后又远离鞍点而去，故鞍点在整体上是不稳定的。如图3-10所示。图3-9 稳定的中心点型不动点 图3-10 不稳定的鞍点型不动点极限环或周期轨道的稳定性，可分为3种情形：稳定的、不稳定的、单侧稳定的极限环，如图3-11、3-12、3-13： 图3-11 稳定的极限环 图3-12 不稳定的极限环 图3-13 单测稳定的极限环3.2 线性系统的稳定性线性系统的演化方程存在一般解法，可以直接分析方程解来确定系统稳定与否。例，设初态，则解为，由值判断发散（不稳定）或收敛（稳定）。3.3
15、非线性系统的稳定性与线性系统不同，非线性系统由某个解的稳定与否一般不能判定其它解的稳定与否，例，如图3-14：图3-14 图形同一系统既有稳定定态，又有不稳定定态，所以非线性系统只能讨论某个解的稳定与否，不能一般地讨论系统的稳定与否。4吸引子与目的性4.1 吸引子相空间中满足以下3个条件的点集合（可能包含1个点或有限个点或无限多个点）称为动态系统的吸引子。 终极性吸引子代表系统演化行为要达到的终极状态，处于非吸引子态的系统“不安于现状”，力求离之远去；处于吸引子态的系统“安于现状”，不再具有力图改变这种状态的动力。 稳定性吸引子态是系统自身质的规定性的体现，具有抵制干扰，保持自身特性的能力。
16、吸引性作为吸引子态的状态集合对于周围的其它状态或轨道具有吸引性，只要系统尚未到达吸引子态，现实状态与吸引子态之间必定存在非零的、指向吸引子的牵引力，牵引着系统向吸引子态运动。由知，吸引子只能是定态，一切暂态被排除在外；由知，吸引子只能是稳定定态，一切不稳定的定态都不可能成为吸引子；由知，稳定而无吸引性的定态被排除于吸引子的候选，具有吸引性是目的态的根本要素，没有吸引性的状态不能成为系统演化所追求的目标。作业1：稳定性与吸引性是否一致？试举例说明。常见的吸引子： 焦点和结点，代表系统的平衡运动； 极限环，代表系统的周期运动； 环面，代表拟周期运动； 奇怪吸引子，代表系统的混沌运动。 鞍点，非吸引
17、子？不稳定。目的性是系统的一种动力学特性，凡存在吸引子的系统，均为有目的的系统；凡是有目的的系统，也是存在吸引子的系统。一切存在吸引子的系统，在演化过程中均表现出“不达目的不罢休”的行为特征。系统的目的态不是单纯由系统自身决定，还同环境紧密相关。每个稳定定态都是系统与环境相互作用而达成的均衡状态，环境改变了，原有的均衡打破了，系统就要相应地调整目的态，以求与环境达成新的平衡。例，“好汉不吃眼前亏”、“三十六计走为上策”，“水的沸点是”对或错？排斥子：相空间还存在一类特殊的点或点集合，它们对于周围的任何轨道都是排斥的，从附近任何点开始的轨道随着时间的展开将离开该点或点集合而远去。不稳定焦点、结点
18、、极限环及环面都是排斥子。排斥子又称为源，吸引子又称为汇，一切有意义的相轨道都是从源流向汇。4.2 吸引域每个吸引子在相空间都在自己的周围划分出一定的“势力范围”，凡是以那个范围内的点为初态而开始的轨道都趋向于该吸引子。相空间中这样的点集合，称为吸引子的吸引域。相空间的吸引子与吸引域的关系类似于真实空间的江、湖与它们流域的关系，流域内的雨水总是流向域内的江、湖。4.3 相图 在状态空间用定性方法研究系统，目的不在于刻划每一条具体轨道，而在于刻划一切可能的轨道集合，弄清轨道的类型和分布，做到整体地把握动态系统的运动规律和特性。对于的系统，相图是一个得力工具。相图：取定控制参量的一组数值，在相空间
19、用几何图形直观地表示出系统所有的可能定态，表明定态的类型、个数、分布以及每个定态周围轨道特性和走向，这种图形称为系统的相图。表2列出了线性系统和非线性系统相图的特点。表2 线性系统和非线性系统相图的区别相图线性系统非线性系统定态平衡态各种定态的组合不动点各种类型不动点并存不动点或极限环吸引子至多可能有一个吸引子多个吸引子并存吸引域整个相空间都是吸引域若干个吸引域作业：2 分析多个定态的2维非线性系统的相图，例图3-15、图3-16。 图3-15 2维非线性系统的相图 图3-16 2维非线性系统的相图3 概括线性系统与非线性系统相图的特点。同一系统中并存的不同吸引子之间存在竞争关系，初态落在哪个
20、吸引域，系统就以那个吸引子为目的态而运行演化。5周期运动 振荡：系统状态在不断作时起时伏、或升或降的运动，这种现象称振荡。例，钟表（利用物理单摆原理制成的）。 根据周期运动的成因（是否有周期性强迫作用），振荡分为他激振荡（系统在外部作用下的周期运动）和自激振荡（由于系统内部非线性相互作用而出现周期运动，）。6分岔 前面都是在给定控制参量条件下在相空间研究系统的转移，现在讨论在参量空间中系统的行为特性如何随控制参量的改变而变化。6.1 分岔 在参量空间中，控制参量改变引起动态系统定性性质的改变。例，图一承载重物的钢条。 定性性质的改变，包括： 定态的创生（从无到有）和消失（从有到无）。 稳定性的
21、改变原本稳定的定态失去稳定性，或原本不稳定的定态变为稳定的。 原稳定定态失稳，出现一个或几个新的稳定定态，但新、旧定态属于同一类。 从一类定态经分岔出现不同类型的定态，即定态类型的改变。 相空间中定态分布的改变，即定态分布的改变。和是平庸的分岔，线性系统也可能出现，其余几条属于系统的非平庸性质，只能出现于非线性系统中。6.2 结构稳定性 状态空间是在给定控制参量的前提下建立的，研究的是给定控制参量的特定系统在相空间的状态转移。参量空间研究具有相同数学结构的演化方程描述的系统族，而不是单个系统，更不是系统的某条轨道。控制参量的变化不改变系统演化方程的数学结构，但可能改变系统的相图结构，这涉及系统
22、结构稳定问题。结构稳定：给定参量空间的一点，即给定一个系统及其相图结构，改变控制参量（可以看作对其扰动），考察它所引起的系统相图变化。如果系统相图只有量的变化，即控制参量的小扰动不会引起系统相图定性特征的变化，就说系统是结构稳定的；如果控制参量的小扰动引起系统相图发生定性性质的改变，就说系统是结构不稳定的。区分运动稳定与结构稳定，第一运动稳定是在状态空间中研究系统的特性，反映的是系统的运动或行为具有稳定性；结构稳定是在参量空间研究系统的特性，反映的是系统动力学规律的稳定性。第二，结构稳定性不是指系统组分之间的关联方式的稳定性，而是指系统相图结构的稳定性。但两者有内在联系，如果系统在参量空间表现
23、出相图的稳定性，系统组分之间的关联方式即结构也是稳定的；反之，如果相图结构发生定性性质变化，组分之间关联方式必定出现定性性质的变化。7突变 在系统演化中，分岔总是伴随着突变现象，即系统定性性质的突然改变，分岔和突变是对同一动力学现象从不同角度的解释。突变是非线性系统的通有行为，只要满足一定条件，突变就会由系统的内在因素产生出来。突变有两种含义：一是强调变化发生的瞬时性、骤然性，指的是在可以忽略的时间间隔内完成的变化。例，英语学习中某些动词无进行时，die；二是突变论讲的突变，指的是非常剧烈的变化。 正确认识突变，传统观点把突变视为灾难性现象，力求避免系统出现突变，例，工程实践中的突变多是灾难性
24、的，如桥梁突然断裂、锅炉突然爆炸。但从系统演化观点看，突变往往具有非常积极的作用。例，基因突变是生物得以生存的手段，帮助系统脱离通常的特征状态。只有基因突变，物种才有可能进化。8连续混沌 当研究对象是1维或2维非线性动态系统时，不论控制参量如何改变，系统经过分岔、突变所出现的新运动定态只能是平衡态或周期态，即简单有序运动。对于3维以上的系统，如果在参量空间中按照适当方式改变控制参量，系统经过一系列分岔、突变，所有可能出现的平衡态、周期态、拟周期态都会失去稳定性，这时就会出现一种表现极其混乱、无序、极不规则、异常复杂的运动形式。100多年来，科学家虽在不同场合下碰到过这类现象，但都没有意识到它代
25、表一种新的运动定态，未加研究。直到20世纪60年代以来才发现，这种异常复杂的、表现上极其混乱无规的运动，是确定性方程描述的非线性动态系统一种尚未认识的定态，一种叫做混沌的复杂有序运动体制。线性系统不可能出现混沌，混沌运动是非线性系统特有的现象（但并非所有非线性系统都会出现混沌）。课本上介绍了连续系统混沌运动的几个著名例子。8.1 洛伦茨方程蝴蝶力量（微妙影响的鉴识） 洛伦茨是一位气象学家，也被尊为混沌理论的缔造者之一。当时，洛伦茨正在检验一个简单的气象预测模型，这一模型汇总了风速、气压、温度3种数据，并将其输入3个相互耦合（联系）的方程中，计算时把1个方程的计算结果作为其它方程的输入数据代入计
26、算，如此反复，经过了冗长的计算之后，需要对结果进行复核。由于当时尚不具备高速计算机，他决定走捷径，只保留小数点后3位而不是原先的6位有效数字。他知道，这样做将产生的误差，并预计在其气象预测结果中和原来的计算将有同等小的差异。然而，令他大为震惊的是，新的天气预测和原先保留小数点后6位有效数字的结果几乎没有什么相似之处。他立刻意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为源数据重新输入（即迭代）时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异（0乘以无穷大不同于无穷小乘以无穷大？），这一推论使洛伦茨成为混沌理论的缔造者之一。课本式描述了洛伦茨的气象预测模型，该系统是非线性的，这种系统的
27、特征在于，微小的影响例如初始数据的细微误差，会突然膨胀并改变系统的状态。图描述了式三维空间图形。传统科学理论所描述的线性系统却不然，微小的影响只会导致缓慢的变化，就像逐渐地踩油门，汽车会缓慢加速一样微小影响产生微小变化。当然，你也可以猛踩油门，汽车向前猛冲而去，你被突然弹回座位。这里线性变化已让位于非线性变化。熟悉的日常生活中的混沌。8.2 河流在众多混沌系统中是个较好的例子炎炎夏日，河水缓缓流淌，水面平静而安宁。遇到大石块，河水分流而行。但要是在春天，特别是大雨过后，河水便完全异样。这时有部分河水比周围的河水流得稍微快一点，于是带动那部分水流，而后者则反过来牵制流得快的水。河水的每一部分对其
28、他部分都有影响，影响又被反馈回来。于是湍流产生了不同的区域以不同的速度运动，成为典型的混沌运动。有时急流刚碰上大石块就打了个转，倒流回去，于是在石块后面形成一个高度稳定的涡旋。在这个例子中我们可以找到混沌的全部特征。它的行为高度复杂化，包括了无规、不可预测的水流，还有稳定的涡旋。8.3 电气化高速公路上行驶的汽车 在电气化的高速公路上，行驶的汽车互相影响，使得交通时而拥挤阻塞，时而畅通无阻，汽车则停停走走。尽管从个别的汽车来看，路况的变化毫无规律可言，但是若从空中俯视，我们却能看出其中的微妙模式混沌内部的隐秩序。8.4 无力者的力量 50年代的南方，种族歧视依然较严重，当时在美国阿拉巴马州的蒙
29、哥马利，帕克斯是当地全国有色人种协进会的秘书，她曾多次争取选举权。非裔美国人几乎不可能参加选举。帕克斯是本故事的主人公。1955年12月1日，结束了一天的繁重工作后，帕克斯坐上了一辆当地的公共汽车。当司机要求她把座位让给一个白人时，她拒绝了。就在那一天，帕克斯并未意识到她正在发起一场革命。当时真理就在她的身边，她努力工作，一身疲惫，她和那个白人一样有权拥有那个座位，但是那个人却要她让座。结果，帕克斯拥有的真理斩断了联系当地种族歧视体系的纽带。她个人抗议的小小影响出乎意料地迅速得到其他人的放大。蒙哥马利的居民震惊了。城内的非裔美国人开始了历史上381天的联合拒乘城市公交车的行动他们步入了光荣的精
30、灵们的神殿。他们步行上班，合用汽车，在白人势力的压力下保持冷静。这一运动基于这样的一种共识：如果黑人公民想改变种族歧视体系的极限环，他们就不能孤立于白人社团之外，从帕克斯寻求真理开始，这一运动逐渐发扬光大。白人们开始注意到并参与反对非正义的交通种族隔离制。1956年，美国最高法院宣布种族隔离制违反宪法。帕克斯的故事说明，因寻求真理而产生的微妙影响力有时候会造成戏剧性和不可想象的结果。蝴蝶力量使不可能成为可能。帕克斯也许永远不会想到自己的小小举动会成为改变种族歧视体系顽固势力的关键动力。然而，她自身的真实行为是一个触发器、导火索，使得许多普通人为追求当时的真理而采取行动，改变整个民族的意识。所谓
31、不可能的事，孩子们天生就会做。后来，我们长大了，进入并生活在一个概念僵化（固定模式）的世界，这个世界的边界已经被确定，“不可能”的事被隔绝在实践之外。但是，混沌理论提醒我们，现实世界永远在流动，任何语境都能够而且会改变。我们今天认为不可思议的事情，明天也许完全能做到。帕克斯的故事对我们的启示：敢于说“不” 受传统文化的影响，中国是一个注重人治、情治的社会，行事往往采取中庸之道，说“不”确实需要很大的勇气，尽可能以委婉的方式，以免“死要面子，活受罪”。敢于“质疑” 研究生在大量阅读文献资料时，在对各种现象、事物以及前人工作总结的基础上，要多问几个“为什么？”。有人把这种思考称为“质疑”，但“质疑
32、”不应是空想，作为“创新”的起端，这种质疑应建立在客观事实的基础上。8.5 混沌特点 混沌至今仍无公认的严格定义，常识将混沌等同于纯粹随机的表现。例，洗一副扑克牌；科学术语的“混沌”指的是貌似随机的事件背后存在着的内在联系。微观混沌（气体分子的运动，运动速度、方向每时每刻都在变化，源于大量的各个部分的不规则运动或行为）、宏观混沌（源于极少数自由度或变量的不规则行为）。其特征如下：非周期性 混沌是非线性动态系统的一种可能定态，轨道在相空间不是单调变化的，但又不是周期性的，而是非周期地曲折起伏变化的。自相似性 在相空间中具有某种自相似结构的分形点集才能描述这种复杂运动。所谓的自相似性，曲线的形状与
33、放大率无关，即任意取出一部分放大看，仍然像整体那样极不规则、具有无穷精细结构和某种自相似性。例，海岸线，部分与整体的相似性。既是稳定的，又是不稳定的 奇怪吸引子对外部的轨道有吸引力，进入吸引子就不可能再走出，因而整体是稳定的。但吸引子内部的不同轨道相互排斥，极不稳定。形象地说，混沌运动是“对外吸引，对内排斥；进得来，出不去；出不去，又安定不下来”。确定性随机性 混沌系统的轨道一旦进入奇怪吸引子，其不规则性原则上与随机运动无法区分。但这种随机性是确定性系统自身内部非线性因素产生的，与外部条件无关。长期行为不可预测性 对于确定性系统，短期、长期行为都可以预测，而随机系统（例掷硬币）短期、长期行为都无法预测（掷硬币）。由于是确定性系统，短期行为可预测；由于初态敏感依赖性，系统的长期行为同随机运动一样无法预测。演化方程中出现非线性项，例洛伦茨的气象预测模型：上述模型包含2个非线性项，更简单的系统，由下述方程描述：