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1、-第一次习题课 第八章 向量代数与空间解析几何(一)-第 10 页第八章 向量代数与空间解析几何（一）练习题练习3 设，试求，和.解：因为是直角坐标系的三个单位向量，故，.因此，.当然，利用坐标表达式可得.同样，利用，可知直接利用坐标表达式计算注意：！注：计算向量的内积、外积可直接利用坐标表达式的公式，或根据单位向量的内积和外积的运算规律计算. 练习题4 已知三个单位向量满足条件，试求之值，并证明.解：注意到所以.因为，两边与作外积，得，即.同理，若两边与作外积，就有，于是.练习题5 设是的面积，是的周长之半，试证：（1）正弦定理，即；（2）三角形面积的海伦公式：；（3）如果，试求的面积. 解
2、：（1）由向量积的几何意义有2=，即 ，同时除以，即得，从而.（2）根据内积的定义及余弦定理，有，于是故.（3），故，=12.5. 练习题6 已知与垂直，与垂直，求，其中为非零向量. 解：利用两向量垂直的充要条件有，即.两边除以，并令，得，解得，即.因此，故.练习题7 已知向量和有共同起点，试确定沿着向量和间夹角的平分线方向的向量的坐标.分析：所求向量的模已知，关键是确定它的方向.向量和直接相加减，均得不到沿角平分线的向量，但由简单的几何知识可知，菱形的对角线平分两邻边之夹角.由此可考虑取和的单位向量和，则与同向的向量必平分.解：=，设，且，所以 ，由此得.故.注：向量=表示向量和夹角的角平分
3、线的方向. 练习题8 已知，求一单位向量，使，且与共面.解：设所求的向量=，依题意，与共面，可得； （1），即； （2），即. （3）由（1）（2）（3）式联立解得，所以.注：欲求一个向量，即是求满足一定条件的向量的坐标.（1）当所求向量平行于向量（或与之共线）时，可设所求向量为，然后利用其他条件求得.（2）当所求向量垂直于向量时，可设所求向量为，由此得方程，再与其他两个条件所建立的方程联立，求得.（3）当所求向量同时垂直于两个向量和时，即说明所求向量平行于向量，故可设所求向量为，然后利用其他条件求得. 练习题9 求过直线，且平行于直线的平面的方程. 分析：求平面方程一般考虑用点法式方程，即要
4、求出平面的法向量.注意到该法向量同时垂直于两条直线，故法向量可取这两条直线的方向向量的外积. 如果已知平面过一条已知直线，经常可考虑用平面束方程求得. 解：方法1 根据题意，平面过直线，所以过直线上的点.又因为平面过直线且平行于直线，所以平面的法向量为，因此平面方程为，即.方法2 将直线变为一般式.故可设所求平面的方程为，即，其法向量为.由得，解得.故平面的方程为. 练习题10 求由平面和构成的二面角的平分面方程. 分析：两个平面构成的二面角有两个，所以本题的解为两个平面.本题的解法也有两种，一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等；二是利用平面束方程. 解：方法1 设为所求平面上的任一点
5、，根据题意，到两已知平面的距离相等，所以，即因此 ，故所求平面方程为，或 方法2 设所求的平面方程为，其法向量为.记，根据题意，与所夹锐角和与所夹锐角相等，所以，解得，故所求平面方程为，或. 练习题11 一平面通过点，它在正轴，轴上的截距相等，问当平面的截距为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小？并写出此平面的方程. 分析：这是求最小值的问题.先写出体积表达式，再利用求最值的方法求解.解：设此平面的截距式方程为，根据题意，故平面方程为，因为点又在平面上，所以，解得.设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为，则，令，得（舍去），或.所以当时，此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小
6、. 练习题12 设一直线过点，并与平面平行，又与直线相交，试求此直线方程. 解：方法1 设所求直线与已知直线的交点为，因为在直线上，故有，于是有.因所求直线过点与，故向量是它的一个方向向量.又因为所求的直线与平面平行，故向量与平面的法向量垂直，于是由此解得，故，即交点.故由两点式得所求的直线方程为，即. 方法2 过点，且与平面平行可作一平面；过点与直线也可作一平面.显然，所求直线为平面与的交线.过点，且与平面平行的平面的方程为，即.直线上点与点构成向量，直线的方向向量，则平面的法向量，于是由点法式方程得平面的方程为，即.因此，所求的直线方程为.将它化为点向式方程即为方法1的结果. 练习题13
7、试求直线在平面上的投影直线方程，并将它写为点向式方程.解：方法1 过直线且垂直于平面的平面记为，的法向量记为，显然垂直于平面的法向量，又垂直于直线的方向向量，而同时垂直于构成直线的两张平面的法向量，故有.于是再在直线任取一点，如取点，于是过直线且垂直于平面的平面的方程为.将它与平面的方程联立即得在上的投影直线方程投影直线的方向向量，并在上任取一点，则投影直线的点向式方程为. 方法2 由直线的一般式方程知，以直线为轴的平面束方程是，即.选出一张平面与平面垂直，即，故.从而把它代入平面束方程得，将它与平面的方程联立便得如方法1的投影直线的方程. 练习题14 判断下列各题中两条直线的位置关系（是否平
8、行、相交或重合）.若相交求出交点的坐标.若共面求出所确定的平面方程.（1）.（2）. 解：（1）的方向向量，它通过点，的方向向量，它通过点.因为，所以与不共线，即与不平行也不重合，只需再判断是异面直线还是相交，不难算出，由此知与共面.又已知与不平行，故它们相交.为求出交点的坐标，利用参数方程. 与的参数方程分别为：则直线与相交方程组有解.不难解得，从而代入即得交点坐标为.（2）与的方向向量分别为并且分别通过点，因为，所以与共面，又不在上，于是与平行.故通过与平行的平面是，即.它就是平行直线与所确定的平面方程. 练习题15 求关于直线的对称点. 解：过作平面垂直，即作平面过，以为法向量，它的方程
9、是.的参数方程为，代入平面的方程得，由此解得，于是得与的交点，设关于直线的对称点为，由中点公式得由此解得. 练习题16 证明下列三个平面：相交于一条直线. 证明：方法1 先求出前两个平面的交线的方程：，再令，由前两平面方程可求得，故交线过点，于是交线的参数方程为.将的方程代入第三个平面的方程得.这说明在第三个平面上，故三平面交于一条直线. 方法2 先证明这三个平面的法向量共面.事实上，因为，所以这三个法向量共面.设平面与此法向量都平行.再证明这三个平面有一个公共点.令，由后两个方程得，解得.而也满足第一个方程，因此这三个平面有公共点.最后，因为相应的三个法向量两两不平行，所以这三个平面两两相交
10、得三条交线，且其中任意一条交线都与平面垂直，于是这三条交线共线.又由前面的讨论知，每条交线都通过同一点，故此三条交线重合，即三个平面交于一条直线. 方法3 由后两个方程消去得，由前两个方程消去也得.因此已知方程组与方程组同解.因为，所以三个平面相交于一条直线.练习题17 设有两平面及两直线，求与两平面及都平行与两直线及都相交的直线的方程. 解：设直线，的方向向量分别为.平面与的法向量分别为与.由所设条件知，所以.再设直线过点，由于和相交，它们就共面，于是，其中为上的一个点，故，即 （1）同理，由于直线和相交，就有，其中为上的一个点，故，即 （2）将（1）（2）联立，得一个三元一次方程组，因为该方程组中方程个数小于未知数的个数，于是方程组有无穷多个解.所以不妨令，解得.因而直线过点，于是的方程为.注：本题用到：与共面. 练习题18 已知两直线与的方向向量分别为，又分别过点与，求与的公垂线方程和公垂线的长度. 解：不难算出：，所以与是异面直线.显然，公垂线的方向向量为，通过与公垂线的平面的方程为，即.通过与公垂线的平面的方程为，即.故公垂线的一般式方程为.公垂线的长度等于异面直线与间的距离，即.