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1、-浅谈古典概型及其解题方法-第 12 页海 南 大 学毕 业 论 文（设 计）题 目： 浅谈古典概型及其解题方法 学 号： 201116153100047 姓 名： 覃 怀 森 年 级： 12 级 学 院： 信 息 科 学 技 术 学 院 系 别： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学专业 指导教师： 刘 金 容 摘要（是对论文内容的概括总结）古典概型在概率论中占据着极为重要的地位。它既是概率论的基础入门，又是学习概率论过程的难点所在，因为其直白简洁的概念和计算公式，让我们更难掌握精准的解题方法。古典概型之所以难以理解是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的
2、分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。古典概型本身尽管复杂有关,但更重要的是:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。（第二段可以简写）对古典概型及其解题方法的研究，能系统地加深对概率论的理解和应用。本文通过系统的学习古典概型的概念和解题方法，达到更深层次对古典概型的的理解和更好的运用。 （对论文干了什么工作可以写更详细点）在概率论中我们最先学到的知识就是古典概型，古概型是概率论的起源，是一切概率问题的基础，如何看清古典概型的本质是需
3、要研究的问题，我们要让让古典概型这个既熟悉又陌生的名字，努力使之成为懂的人爱之越深，不懂的人不再一脸茫茫然。在此，需要我们系统的去深入学习和理解。关键词：古典概型，样本空间，基本事件，解题方法Abstract做相应修改 Classical probability plays a very important role in the theory of probability. It is not only the basis of probability theory, but also is learning probability on the process difficulty, be
4、cause the concept and formula of the straightforward and simple, let us have more difficulty to grasp accurate method of solving problems. Classical probability type because it is difficult to understand .the reasons: first, classical probability relates to a kaleidoscope of practical problems and n
5、eed keen insight and deep and careful analysis, in order to solve the classical type of probability; secondly, the classical probability calculations related to such as the addition principle, the principle of multiplication, permutation and combination, mathematical knowledge, especially it is easy
6、 to get confused about the application of the principle addition and multiplication, and arranged and combination is more difficult and may lead to incorrect results. , classical probability itself although complex, but more important is: on the classical probability type understanding is not deep,
7、not thorough and think to no avail. The understanding and application of the theory of probability can be systematically studied by the research of the classical model and its solution method. In this paper, through the systematic study of the concept of classical concept and problem-solving methods
8、, to achieve a deeper understanding of the classical model and better use of. In probability theory, we first learn the knowledge is the classical type of probability, the ancient probability is probability theory origin, is the basis of all probability problems, how to see the essence of classical
9、probability is a need to study the problem, we must let the classical type of probability that both familiar and unfamiliar names, efforts to become people who understand the love more deep, do not understand the people no longer look blankly. Here, we need to go deep into the system to learn and un
10、derstand. keywords:Classical probability model, Sample space, Basic event, Symmetry .目 录1.古典概型的基本概念（1）1.1古典概型的意义（1）1.2古典概型的特点（1）1.3古典概型的运用（1）1.3.1博彩领域的运用（1）1.3.2保险赔偿问题的运用（2）1.3.3生活中概率问题的运用（3）1.3.4抽签的公平性运用（4）1.4古典概型的基本解题思想（4）2. 古典概型的解题方法和分类（5）2.1古典概型题型的分类（5）2.2古典概型的解题方法（5）2.2.1选取不同的样本空间解题（6）2.2.2利用排除
11、（间接）法解题（7）2.2.3利用对立事件解题（7）2.2.4利用对称性解题（8）2.2.5利用化归思想方法解题（8）3. 总结（10）4. 致谢（11）参考文献（12）1、古典概型的基本概念和解题方法1.1古典概型的基本概念如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。古典概型也叫传统概率，也叫等可能概型，其定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的。古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。古典概型中的事件是指频率在一定程度上也能反映事件A发
12、生可现实世界中的现象、事情等，也是指随机试验的结果。试验中每一个可能的结果都称为基本事件，事件可由部分或全部基本事件组成。古典概型的样本空间是指随机事件的所有基本结果组成的集合，是一个大的空间，包含了所有样本的基本事件。1.2古典概型的特点在古典概型中，随机试验只有有限个可能的结果，并且每一个结果发生的可能性大小相同。即，有限性和等可能性。1.3古典概型的现实运用 存在即是合理，更何况是概率基础的古典概型，古典概型普遍应用于生活中，博彩、保险、巧合、抽签等种种场合都有古典概型的影子。1.3.1古典概型在博彩领域的运用纵观概率发展的历史长河,可窥见概率的基础古典概型和博彩已经鱼水相融。早在15世
13、纪上半叶,就已有数学家试图理论上思考赌博问题。从最初的意大利数学家帕乔利(L. pacioli)1494年出版的算术一书中提出赌注分配问题,到后来的卡丹(CardanJerome,1501-1576)重新就帕乔利赌注分配问题进行系列的理论探讨;从自然科学创始人之一的伽利略(Galileo,1564 -1642)解决掷骰子问题,到帕斯卡和费马用各自不同的方法解决1654年7月29日法国骑士梅累向帕斯卡提出的赌博问题,再到1657年荷兰数学家惠更斯(G.Huygens,1629 -1695)一书论赌博中的计算的问世,都在探索赌博中的概率问题,并且也相应的使得概率论概念和定理得到延拓和发展。如今,博
14、彩业雨后春笋般涌起,巨额奖金的诱惑,使得一些“有识之士”为实现自己的家庭梦想,不得不借助概率这个工具审时度势。下面一道例题作为对博采理论分析具有很好的指导作用:例1: 在考察时间跨度内,引起人们注意的偏号码或偏和值共有10个,体彩“排列三”的“和14”相邻两个开出期间隔甚至长达96期,理论计算这些情况是否合理,在研究最初用到的就是古典概型和概率的有关性质。1 解： 首先考虑各个位置号码,在k(k 10)期中,至少有某一位置的某一个数字没有被开出的概率为此问题抽象为概率问题,其实质是求“由0 9十个数字组成的k个位置的排列中,其中至少有一个数字在k个位置都不出现的概率”。首先我们可以考虑:k个位
15、置中某一个位置有一个数字不出现的概率为,k个位置都不出现该数字的概率则为(数字可以重复排列),而k个位置至少有一个位置出现该数字的概率为,数字是0 9中的任意一个,每个数字在该位置出现又是等可能的,所10个数字在此位置全出现过的概率为,根据概率性质,至少有一个数字在这个位置从未出现的概率为,这样的位置有三个,所以。此问题的探讨反复利用概率的性质,最终使问题得到解决。古典概型是概率里边最早的概型,也是应用较为广泛的概型。1.3.2古典概型在保险的赔偿问题上的运用 例2: 设某保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险,每个人在一年里死亡的概率为0.002,若每个人一年付12元保险费,而在死
16、亡后家属可以领取由保险公司支付的2000元,问保险公司每年盈利的概率是多少,且获利不少10000元的概率是多少?2乍一看,很难知道保险公司是否盈利,但经过计算就可 以得知保险公司几乎是必定盈利的。解：设表示参保的2500人中一年内死亡的人数,则X可能的取值有0,1, ,2500且X服从B(2500,0.002)。用A表示“保险公司盈利”,表示“保险公司营利大于10000元”,由题可知于是,计算得以上结果表明,保险公司盈利的概率为0.999931,而盈利在10000元以上的概率也有0.98305。这也就说明了保险公司非常乐于开展保险业务的原因。1.3.3古典概型在生活中的巧合问题的运用例3: 某
17、班级有n个人(n 365),问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大? 本题属于古典概型中的分配问题。解：假定一年按365天计算,容易算得:。对不同的一些值,计算得相应的Pn值如下表:N10202330405055Pn0.120.410.510.710.890.970.99 由表可以看出,当班级人数为23时,就有半数以上的班 级会发生这件事情,而当班级人数达到55时,几乎必有两人的生日在同一天。所以同班同学有一两个生日在同一天，这是很正常的。 类似地,“莎士比亚巧合”从概率意义上看也是正常的。莎士比亚生于1564年4月23日,卒于1616年4月23日。 因此设每一个人生卒日期相同的情况看作一个
18、集合，每两个人生卒日期都分别相同的情况看作两个集合的交集，那么n个集合的概率就是，这n个几何中每两个集合交集的概率和则为，依此类推，在n个人中至少一人生卒日期相同的概率公式为：因此，1000死者中，至少一人与莎士比亚生卒日期相同的概率为通过概率计算可知,在1000名死者中至少一人生卒日期与莎士比亚相同几乎成了必然。1.3.4抽签的公平性 为什么人们在涉及利益纠纷的时候喜欢用抽签来决定呢？在日常生活中,我们常用类似抽签方式来决定一件事,如运动会中跑道的确定,赛时歌手的出场顺序等。下面用案例说明抽签时不必争先恐后因为不论先抽还是后抽,抽到好签的概率都是相等的,因此抽签对每个人都是公平合理的。例4:
19、 四个人抓阄,其中只有一张参观卷,三张白卷,求每个人抓到参观卷的概率。3解: 设按甲、乙、丙、丁的顺序抓阄,用i表示第i个人抓到参 观卷,(i= 1,2,3,4) ，则由此可知无论甲乙丙丁哪位先抽，抽到参观卷的概率是一样的，很公平。同样的，在各种商场的抽奖活动中，也有着类似的抽签案例，其中的概率对所有的人都是公平的，普遍的。比如下面的这道例题。例5： 某商场为促销举办抽奖活动，投放的n张奖劵中有张是有奖的，每位光临的顾客均可抽取一张奖劵，求第位顾客中奖的概率。解：设A表示事件“第i位顾客中奖”，到第i位顾客为止，试验的基本事件总数为，而第i位顾客中奖可以抽到k张有奖劵中的任意一张，其他顾客在剩
20、余的n-1张奖劵中任意抽取，所以事件A包含的基本事件数为，于是在上述解题过程中，我们只考虑了前i位顾客了的情形，如果把所有顾客的情形都考虑进去，呢么试验的基本事件总数为，第i 位顾客中奖有k中取法，其余n-1位顾客将余下来的n-1张奖劵抽完，所以事件A所包含的基本事件个数为，进而事件A的概率为1.4古典概型的基本解题思想现在来说说古典概型的基本解题方法。古典概型求解应包含两个步骤:第一步是选取适当的样本空间,使它满足有限、等可能的要求,且把A表示为的某个子集;第二步则是计算样本点总数m和事件的有利样本数n。即所求事件的发生几率是2、古典概型的类型和解题方法分类2.1古典概型的题型分类 古典概型
21、题型按内容、取样形式、分析方法可以分为三种形式。2.1.1取出问题设袋中有n个物品，称为整体，现在从整体中一个一个地取出，一共有4种取出的方式：（1）有放回有次序地取出；（2） 有放回无次序地取出；（3） 无放回有次序地取出；（4） 无放回无次序地取出。2.1.2分配问题所谓分配问题也就是如n个物品放入到n个箱子中去，这里的物品有可辩和不可辩之分，箱子有最多可容纳一个物品和可容纳任意个物品之分，因此也有4种不同的分配方式：（1） 每个箱子可容纳任意个物品且物品可辩；（2）每个箱子可容纳任意个物品且物品不可辩;（3）每个箱子最多可以容纳一个物品，且物品可辩； (4) 每个箱子最多可以容纳一个物品
22、，且物品不可辩。2.1.3随机取数问题 随机取数问题就是从0，1，9这十个数字中选取（110）个数字的排列组合问题。2.2古典概型的解题方法 古典概型因为是基础中的基础，因此同一个题可能会有多种解题方法，但结果都会指向同一个答案。如若不然，就是其中的方法出问题了。2.2.1选取不同的样本空间解题。4例5： 袋中有a只黑球，b只白球。现在把球随机地一只一只取出来，求第n次（1nab）取到的球是黑球的概率。5 从不同的角度来观察这个随机试验。我们会得到不同的样本空间。解法一：把a只黑球，b只白球都看作是有区别的。可设想把摸出的球依次放在一条直线的ab个位置上。则可能的排列法相当于把ab个球进行全排
23、列因此基本事件空间就是由（ab）！个基本事件组成的，它们可被认为是等可能的，而事件A包含的基本事件有a（ab1）！个,这是因为第n次摸得黑球有a种情况，另外的（ab1）次摸球相当于（ab1）只球进行全排列，有（ab1）！种，故所求的概率为上述解法中，把球看作“有个性”的选取了“有个性”的基本事件空间。当把球看作是“没有个性”的时候，就选取对应的“没有个性”的基本事件空间，该问题也可以得到解决。解法二：对相同颜色的球不加以区别。设想把摸出的球依次放在一条直线的（ab）个位置上。若把a只黑球的位置固定下来则其他位置放的必然是白球。而黑球的放法有种。这样基本事件空间就由个基本事件所组成，它们可被认为
24、是等可能的。事件A包含的基本事件有个，这是因为第n次摸得黑球，即第n个位置放黑球。剩下的黑球就可以在（a+b-1）个位置上选取（a-1）个位置，因此共有种放法，故所求的概率为解法三：把a只黑球看作是有区别的，b只白球是没有区别的,还是设想把摸出的球依次放在一条直线的（ab）个位置上，因为若把a只黑球的位置固定下来，则其他位置必然是放白球的，注意到黑球是有区别的，因此共有种放法，故基本事件空间内的基本事件数为个，它们可被认为是等可能的，而有利于事件A的基本事件数为，故所求事件A的概率为上面的三种解法，每一种解法都构造了一个可以描述（ab)次摸球的基本事件空间，并利用它一举解了“第n次（1nab）
25、摸得黑球”这一概率的计算。2.2.2利用排除法（间接法）解题。例6： 从1，2，9这9个数字中随机地有放回地取3次，每次取一个数字组成一个三位数，求事件A=“组成的三位数不能被5整除且不能被2整除”的概率。6解析：由于事件A包含的情况较多，所以用排除法。显然A=“所有可以组成三位数”“能被5整除的三位数”“能被2整除的三位数”，所有可以组成的三位数即从1，2，9这9个数字中有放回地取3个数字，共有999种取法，能被5整除的三位数要求末尾数字为5，共有99种取法，能被2整除的三位数要求末尾数字为偶数，共有994种取法，因而A包含的样本点数为。样本点总数为，于是2.2.3利用对立事件解题。例7：甲
26、、乙、丙、丁4个人从1到40中分别抽取10个数，问：甲没有同时得到5和10的概率是多少？7解法一：直接计算法8。记A=“甲没有同时得到5和10”。考虑甲抽取数的情况。样本点总数为，事件A包含的情况有：（1） 甲仅得到5而没有得到10；（2） 甲仅得到10而没有得到5；（3） 甲既没得到5又没到10。他们的分法数分别为、，所以有利于A的样本点数为，于是解法二：考虑逆事件A=“甲同时得到5和10”。易知A的样本点数为，于是有一个事件的对立事件包含的基本事件比较少时，可以考虑其对立事件来降低求解的难度。 2.2.4利用对称性解题。例8：n对夫妇任意站成一排，求每位丈夫都排在他妻子后面的概率。解：设A
27、i=“第i对夫妇丈夫排在妻子后面”（i=1,2,3,n），我们要求的概率为。由于妻子在前和丈在前都是等可能的。由对称性知，由对称性还可进一步断定是相互独立的。因为某对夫妇与妻子位置的先后不会影响其他夫妻位置的先后。故所求概率为2.2.5运用化归思想方法解题。例9:从0，1，9中有放回地抽取4个数，求“4个数之和恰为10”的概率。9解： 从10个数中有放回地抽取4个数共有104种取法，我们可以通过化归思想方法把10个数看作10个不可辨的球，那么要求所抽取的4个数之和恰为10可以看作把10个不可辨的球放入4个盒子的情形，除10个球放在同一个盒子里（共有4种放法）之外，其他每一种放法就对应一种取法（
28、4个数之和为10的一种取法），如第一个盒子3个球，第二个盒子4个球，第三个盒子3个球，第四个盒子无球相当于分别取的4个数为3,4,3,0。故“4个数之和恰为10”共有种取法“4个数之和恰为10”的概率为例10： 有5 个不同的球，每个球都等可能落入10个盒子中的每一个，求在指定的一个盒子中恰有3个球的概率。解： 假设 X为在指定的盒子中球的个数，则，所以 类似于上面两道例题的古典概型问题可以转化成二项分布求解，而避免了使用排列组合的知识求解，则在排列组合中容易出现的错误就消除了从而提高了准确率与速度。总结 随着科学的发展,概率作为数学的一个重要部分,在我们的生活中几乎无处不在。利用“古典概型”
29、来计算随机事件的概率，是概率论的核心基础内容之一。“古典概型”虽然思想简单，但在应用时却常常出错。为了更好地理解“古典概型”方法以及准确快捷地利用它解决实际问题，通过对“古典概型”的解题方法进行剖析，总结出有助于理解以及合理应用“古典概型”解题方法的基本解题步骤和需要注意到的四个要点9。典概型求解应包含两个步骤:第一步是选取适当的样本空间,使它满足有限、等可能的要求,且把A表示为的某个子集;第二步则是计算样本点总数n和事件的有利场合数m。 古典概型中需要注意的四个要点：(1)样本空间的基本事件A必须是等可能性;(2)事件的基本事件A不能有重复或者是遗漏;(3)组合计算中是否存在排列;(4)基本
30、事件数A与基本事件总数需要在同一个样本空间;致谢本论文在刘金容导师的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识、严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，特别是那宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力都深深影响着我。不仅使本人明确了学习目标、掌握了基本的研究方法，还使本人明白了许多为人处事的道理。本次论文从选题到完成，每一步都是在导师的悉心指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在写论文的过程中，遇到了很多的问题，不过都得以在老师的耐心指导下解决了问题。在此，再次对老师说一声：感谢您，我的导师！还有我要感谢海南大学和大学期间对我始终不离不
31、弃的老师和同学们，是你们，无时无刻都在我我身边，给予我无私的帮助和热心的照顾让我在一个有爱的环境中度过美好的大学生活，让我得以成长并培养出良好的品格。最后感谢我的父母，是他们，一直以来支持我的决定，无论对错，无论结果，都一如既往的支持着我，给我莫大的勇气勇敢前行。在未来的日子里，我会更加的努力学习和工作，不辜负他们对我的隐隐厚望。参考文献1王妍 .概率统计在实际问题中的应用举例.中国传媒大学学报自然科学版 ,2007.2张芳.日常生活中概率的应用 .山西财经大学学报(高等教育版),2007(4).3林志兴.概率与直觉.数理统计与管理,2006.4徐传胜巧选样本空间简解古典概型数学通讯，2009（12）5李开丁利用等可能性计算概率高等数学研究，2003（1）6盛继中.谈古典概型问题的解法.中学生数理化（学习研究）,2016（1）.7鞠正云.古典概型问题解法点滴.镇江市高等专科学校学报，2000(1).8苏丹.对古典概型计算方法的研究.吉林省教育学院学报，2011（4）.9覃承仁.古典概型中求事件概率应注意的问题.广西师范学院学报（哲学社会科学版），2008（29）.