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1、-泰勒公式在高等数学中的应用研究定稿-第 11 页泰勒公式在高等数学中的应用研究曾璐数学与信息科学学院 数学与应用数学 1229S002【摘要】本文主要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的泰勒展式在高等数学应用中的六个问题，即用泰勒公式求极限，证明不等式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值、泰勒公式在常微分方程数值求解及敛散性判断中的应用。【关键词】极限 不等式 近似计算 敛散性 高阶导数及常微分方程,。1 引言泰勒公式是高等数学中一个重要的公式，它有带皮亚诺余项和带拉格朗日余项两种形式。这两种形式对解决高等数学中的一些复杂的问题有很大的帮助，下面对它具体的应用进行分析，以此来说明泰勒公式的基
2、本思想及其重要性。2 基本知识点2.1 泰勒公式介绍由一般的函数,它在某点存在有阶导数，我们把求得的各阶导数组合，则可以重新构成一个次多项式为：这个多项式称为函数在该点处的泰勒(Taylor)多项式,其中每一项的系数被称为多项式的泰勒系数。如果一般的函数如果在某点处存在到阶导数，这时构成新的一个多项式： 它为函数在该点处的泰勒公式，而为泰勒公式的余项。2.2 麦克劳林公式的推导以上提到的泰勒公式是在任意点处得到的，如果点是一个特殊的点，那函数是否可得到新的一个多项式组合。我们以时来进行推导：当时，可得原函数的泰勒公式转变为新的形式，如下：所以当时的函数的泰勒公式就是函数的麦克劳林（Maclau
3、rin）公式。利用以上的麦克劳林公式，可间接的求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式。例1 求在处的泰勒公式。解：由于， 由已知函数泰勒公式则，例2 写出函数 在时的幂级数展开式。 解：该函数不是基本初等函数，所以应先换为基本初等函数的形式，再利用 已知的基本初等函数的泰勒展式进行展开。根据已知的函数展开式得，；所以时：所以函数在的幂级数展开式为： 3 泰勒公式的六个应用3.1 应用一求极限对比较复杂函数的极限运算,可用已知的基本函数的泰勒展式来代替,让原来的函数变的简单并且是我们熟悉的,这样就能容易的求出.例3 求极限解：本题可以用已学过的求极限的方法（洛必达法则）来求解，只是计算量较大，
4、计算过程中易出错。在这里我们采用泰勒公式来求解。由于极限式的分母为，所以进行变换可得：所以 例4 求极限解：本题也是利用已知初等函数的泰勒展式来进行变换，因为极限的分母是，所以可得到：则 利用等价无穷小量进行转换，可得极限3.2 应用二证明不等式若证明的不等式比较复杂，特别是不等式中既有多项式又有初等函数的，对这样的不等式不能再应用移项、判号方法来证明，可以利用已知的条件对其构造一个新的函数，然后利用初等函数已知的泰勒公式来替换，再对这个新的函数进行证明。 例5 证明不等式，其中证明： 构造，当，即由泰勒公式得，当时， ，其中所以在时，不等式成立。例6：证明不等式，其中 证明：构造，有由泰勒公
5、式得，当时，所以在时，不等式成立。3.3 应用三近似运算 利用泰勒公式对一些函数的近似运算,就是利用函数的在的泰勒展式得到的，实质就是函数的麦克劳林展式，即： ，期误差项为 例7 lg11准确到 解： 由于所以；期误差不超过例8 估计，的绝对误差。 解：由原式可建立新的函数， 所以 例9 求的绝对误差。 解：从题我们可以看出被积函数的泰勒展式很容易求得：根据题意我们取到处，则这样原积分就近似的转换为：可得出，所以其实的近似值的误差是很小的，我们也可以通过Matlab来验证函数与 的误差由图我们可以看出两个函数之间的误差为两曲线间的面积，在区间0,0.5两曲线几乎重合，由此可知用泰勒公式来进行误
6、差非常小，几乎达到完全精确的程度。3.5 应用五某高阶导数在一些点的值 已知函数的泰勒展开式,通过函数展开式我们可知的系数是,然而很容易我们就可求出该函数在某阶导数的值。不需要在逐一求导，那样会让计算变的复杂。例10 函数，则求， 解：函数的泰勒展式是已知的，即：，所以： 所以 例11 设，求， 解：由已知的泰勒公式：，由此可得：所以 ；得3.6 应用六常微分方程数值求解 在许多科学研究领域对数学问题的研究越来越多，经常会需要对常微分方程初值进行求解，可是对微分方程求解初值问题一般比较复杂，大多数都不可能求出来。但可以用数值方法求其特解，最后用程序在Matlab软件来实现其算法。该程序的理论是
7、用逐步逼近法来进行,在这过程中泰勒公式有很大的作用。用泰勒公式求解有给定和初值的联立方程： 给出初值 (1) 求以上方程组(1)通过点的特解,其中已知。用逐步逼近计算求出在下列各点处的近似值,其中为轴上选取的步长。设在处,求出的近似值,为，则由泰勒公式可知： (2) 令,即可得出计算值的公式 (3) 其中 所以给定了初值条件时,由方程(3),令,可得出：其中再取近似值时的保留一定的项数,在求出后,再令,可求出,后面依次类推。例12 求满足条件的数值解。 解：由以上阐述的方法， 我们选h=0.1,然后依次计算出t=0.1,0.2的值，再由逐次求导得出，当 时，有由给出的初值条件我们可得到：以此类
8、推计算出，这样利用泰勒公式的无限逼近重复下去，然后描点可得数值解的图像例13 下列用泰勒公式证明二阶的Runge-Kutta格式解：二阶的Runge-Kutta格式也是利用泰勒公式进行逐步逼近的方法来推导的，它使计算误差更小，精度更准确。证明 因为 所以 把在处得到泰勒展开式： ，（1） ， （2） 将（2）带入（1）得求在处的泰勒展开将代入得将与泰勒展开做比较得 由此比较可得出二阶的Runge-Kutta格式其精确度更高，其本质是利用泰勒公式的无限逼近思想来进行证明的，从证明可看出最后的误差是很小的。我们可以发现应用泰勒公式来进行逐步逼近来求解，其实方法比较简单，但具体构造这种格式往往是比较
9、困难的，因为它必须需要先求出y的各阶导数值。所以我们在应用这个方法来解时必须要借助计算机来实现其算法，不然我们是很难算出来的。3.6 应用七敛散性的判断3.6.1 数项级数收敛性的判断对于一般的数项级数也可用M判别法、阿贝尔判别法及狄利克雷判别法等。然而也有一些比较复杂的数项级数用以上方法都不能解决，那么我们可以用泰勒公式近似替代，使题目变的简单。例14 判断级数的敛散性。解：由对进行泰勒展式原式可得: 所以 因为级数是正项级数，由用比较判别法可知： 如果，； 那么正项级数和正项级数的收敛性相同。因此，当时， 又因为正项级数是收敛的，所以级数也是收敛的。3.6.2 广义积分收敛性的判断对于判断
10、广义积分的收敛性主要是对被积函数的判断，通常先考虑比较判别法、狄利克雷判别法或阿贝尔判别法。当被积函数比较复杂时，可以用泰勒公式对其被积函数进行展开，使计算更容易。例15 判断无穷积分的收敛性。 解：可看出该积分的被积函数是有3个初等函数组成，所以我们可以用已知的泰勒展式对其进行展开可得：又知和的泰勒展式是已知的，由此可得：由比较判别法可得：， ， 因为收敛的，所以无穷积分是收敛的。例16 判断瑕积分的敛散性.解：可很容易的知道是瑕点，用泰勒公式对被积函数进行展开得：由比较判别法得：， 所以瑕积分是发散的。注：由以上给出的例题分析，可以得出用泰勒公式对级数和广义积分的判断的解题思路是相似，首先
11、是用已知函数的泰勒展式来代替，再利用常用的敛散性的判断方法来进行讨论。4 总结本文对泰勒公式的基本知识点进行了说明，同时探讨了它在高等数学问题中的应用。泰勒公式的实质就是多项式函数的逼近，用无限的多项式函数来近似等于有限的初等函数。只要准确的理解这一基本思想，在分析题设条件时注意其题型特点，在应用泰勒公式处理数学问题时掌握好一些技巧与规则，这样就能准确的应用泰勒公式来解决问题。【参考文献】1.华东师范大学数学系 数学分析（上）M 高等教育出版社 2006年6月第3版2.王贵保 泰勒公式的行列式表示与应用J 张家口师专学报2003年6月 3.同济大学数数学系 数学分析M 高等教育出版社 2007
12、年4月第6版4.冯平，石永廷 探究泰勒公式在求解高等数学中的问题J 新疆职业大学学报 2003年12月5.同济大学数学系 高等数学M 高等教育出版社 2007年4月第6版 6.安世全 泰勒公式及其应用J 高等数学研究 2001年第3期7.迟炳荣，王秀红 用数学归纳法证明泰勒公式J 中学数学杂志 2008年第9期8.何青龙，张跃 微分中值定理和泰勒公式的一些应用J 中国教育发展研究 2010年第6期Applied research of Taylors Formula in advanced mathematicsZeng LuAbstract This thesis gives an outl
13、ine of Taylors Formula and some common function expansions 6 related applied questions of it in advanced mathematics are discussed in the thesis, that is, how to get limit by Taylors Formula, how to prove Inequality, how to do approximate calculation, and some numerical value of higher derivative, as well as its application in numerical solution of ordinary differential equation.Key words Limit Inequality Convergence. Approximate Calculation Higher Derivative and Ordinary Differential Equation (ODE)