动量定理和动量守恒定律.ppt

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1、1,力学,普通物理学教程,讲授：,物理与电子工程学院物理教研室 龚劲涛,Telephone:6671020,2,第三章 动量定理及动量守恒定律,Chapter 3 Momentum and Conservation law of Momentum,3,从本章开始将进入质点动力学的学习； 质点动力学：研究质点之间的相互作用以及由相互作用所引起的质点的机械运动的变化； 三百多年前，牛顿在前人大量的工作的基础上，对力学现象进行了深入地实验和理论研究，创立了新的数学手段微积分，并将其应用于物理学的研究中，成功地总结出了物体运动的三条运动定律和万有引力定律，奠定了经典力学的基础，这是科学史上的一个重要的

2、里程碑； 经典力学是严谨的理论：它一方面与人们的日常经验相联系，易于为人们理解和接受；另一方面因为它涉及到运动和相互作用，与物质和运动、空间和时间、因果关系等物理学和哲学的基本问题相联系，所以这理论又远不如它的表面形式那么简单。当经典力学进一步发展为相对论力学和量子力学时，不仅理论形式发生了变化，更重要的是人们对物质和运动、空间和时间、因果关系等基本问题的认识也随之深化；,4,掌握牛顿三定律及适用条件，掌握运用微积分方法求解一维变力作用下质点的动力学问题； 了解惯性参照系中力学的相对性原理和伽利略变换的有关内容；了解非惯性参照系的概念。 理解直线加速运动参照系中的惯性力、匀速转动参照系中的惯性

3、离心力的求法；理解质点的动量、质点组的动量、冲量的概念；掌握质点的动量定理，质点组的动量定理。 掌握质点组的动量定理和动量守恒定律。 了解科里奥利力；牛顿时空观的困难和惯性的起源,本章要求：,5,力学,“我不知道世人怎么看，但在我自己看来，我只不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为比别人找到一块更光滑、更美丽的卵石和贝壳而感到高兴，而在我面前的真理的海洋，却完全是个谜”- Newton,6,Nature and natures law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！ 自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让

4、牛 顿来！一切遂臻光 明！,7,本章习题：,3.4.2 3.4.4 3.4.5 3.4.7 3.5.2 3.5.6 3.6.2 3.6.4 3.7.5 3.8.1 3.8.3,8,3.1牛顿第一定律和惯性参考系 Newtons first law, Inertial reference frame,基本概念：,3.1.1 孤立质点 Isolated particle 不受其它物体作用或离其它物体都足够远的质点（理想模型）。,3.1.2 牛顿第一定律 Newtons first law,孤立质点静止或作等速直线运动（每个物体继续保持其静止或作等速直线运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态

5、）。,使用范围：质点和惯性参考系。,9,（1）定性的说明了运动和力的关系：物体的运动并不需要力去维持，只有当物体的运动状态（速度）发生变化即产生加速度时，才需要力的作用。,力的定义：力是一物体对另一物体的作用，是物体产生 加速度的原因。,（2）提出了“惯性”的概念：物体保持原来运动状态不变的特性，是物体所固有的。,(3) 由于不存在严格的孤立质点，惯性定律是不能直接用实验严格验证的，它是理想化的抽象思维的产物；,对牛顿第一定律的理解：,10,力,1、,定义：力是物体间的相互作用，是产生加速度的原因。,interaction,墨经第21条“力，刑之所以奋也”,同“形”,克服阻力而运动,2、基本的

6、自然力（相互作用）,(1)、万有引力： Universal gravitational force,G=6.6710-11Nm2/kg2,例、地球对物体的引力Pmg=GMm/R2 所以g=GM/R2,(2)电磁力： Electromagnetic forces （库仑力）f=kq1q2/r2 k=9 109Nm2/C2,注意：电磁力的强度远远大于万有引力！,11,(3)、强力strong force：粒子之间的一种相互作用，作用范围在0.410-15米至10-15米。,(4)、弱力 Weak force ：粒子之间的另一种作用力，力程短、力弱（102牛顿）,四种基本自然力的特征和比较,力的种类

7、 相互作用的物体 力的强度 力程,万有引力 一切物体 1034N 无限远 弱力 大多数粒子 102N 小于1017m 电磁力 电荷 102N 无限远 强力 核子、介子等 104N 1015m,12,3.1.3 惯性参考系 inertial reference frame,孤立质点相对它静止或作等速直线运动的参考系。简称“惯性系”。或者：牛顿第一定律能成立的参考系叫惯性系，否则称为非惯性参考系。,一般情况下，由观察和实验的性质来判断，如：在精度不太高时，地球参考系可以看作惯性参考系，又称实验室参考系，或实验室坐标系。 在人造地球卫星时，常选“地心恒星坐标系”：以地心为原点，坐标轴指向恒星的惯性参

8、考系。,13,在研究行星等天体的运动时，常选“日心恒星坐标系”：以太阳中心为原点，坐标轴指向其它恒星的惯性参考系。 相对于惯性参考系作等速直线运动的参考系亦为惯性参考系，这就是惯性参考系的“传递性”：发现一个惯性系，变有无穷多个惯性系。 注意：运动只能是相对于参考系而言的，没有参考系的运动描述都是没有任何物理意义的。,14,3.2惯性质量 动量和动量守恒定律 Inertial mass ,Momentum and Conversation law of momentum,3.2.1 惯性质量 Inertial mass,实验：一气桌，包含平台和滑块，将平台调至水平，铺以白纸，通过电打火花可以在

9、纸上形成斑点，由斑点的距离来确定滑块的速率。斑点排位的方向给出滑块方向，滑块1和滑块2以某初速度运动并碰撞，滑块1和2的速度改变量分别为 和 ，改变滑块初速度反复实验多次，总有：,15,实验结果分析：其中，为常量，改变滑块质量，(1)式仍成立，仅 取值不同，与滑块质量有关。 不同，表明两滑快碰撞后的速度改变不一样：一个的运动状态比另一个容易改变，这反映了两滑快的惯性是不同的。,16,规定：令质量 为mc=1kg的标准物体与某物体相互作用， 和 分别表示标准物体和某物体速度的改变量，令：,(2)式就是质量的“操作型定义” 。由(2)式可知：两物体相撞，m大者较难改变运动状态或速度，反之，m小者则

10、较易。,为了定量地描述物体的惯性，引入惯性质量，简称质量；质量的操作型定义：,17,4）质量的标准：选择某一物体作为质量的标准：圆柱形铂铱合金，质量定为1kg; 对微观粒子：原子质量单位(atomic mass unit) ：1u=12C原子质量的1/12 = 1.660 x 10-27kg 5）质量是标量，具有可加性：物体的质量等于组成该物体的的各个部分的质量和； 6）经典力学中的质量守恒定律:孤立物体系的总质量为常数.,1）惯性质量不是物体所含物质的多少，而是物体惯性的量度; 2）万有引力中所涉及的质量称为引力质量，物体的惯性质量和引力质量相等； 3）经典力学中，质量为一恒量，但当质点速度

11、可与光速相比拟时，由相对论力学来确定，质量随速度的增加而增加：,（3）,关于质量的几点说明,18,力学,3.2.2 动量动量守恒定律 momentum and momentum conservation,1.动量的定义：由气桌试验 质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。,性质：矢量，其方向与其速度方向相同。,符号：,物体系：有两个或更多的相互作用的物体组成的研究对象叫做物体系。,质点系：若物体系中的物体均可视作质点，则称为质点系。,2.质点系动量： 质点系内各质点动量的矢量和叫作质点系的动量：,19,3.动量守恒定律： 实验表明，若质点系不受质点系以外其它物体的作用，该质点系动量守恒：,

12、（5）,注意：动量守恒定律是一普适的守恒定律。 适用于：经典力学，相对论力学，场，宏观物体和微观粒子组成的物体系。,应用：动量守恒定律可以预测新粒子的存在。,例如：1930年泡利提出中微子的假说,于1953年被证实； 1932年查德威克发现中子。,20,3.3牛顿运动定律 伽利略相对性原理 Newtons law of motion, Galileans principle of relativity),3.3.1 力力的独立作用原理,由于质点运动状态的变化，源于相互作用，即：力，因此力的研究是质点动力学的基础。,1.力的概念： 是一物体对另一物体的作用，可以用受力物体动量的变化率来量度。,由

13、二质点组成的系统的动量守恒可知：,21,两边同除以相互作用时间 ，并取极限得：,这说明：当两质点相互作用时，各自动量对时间的变化率大小相等方向相反 因此，可用受力物体的动量的变化率作为力的量度。若F表示力，则：,22,质点1对于质点2的作用力和质点2对于质点1的作用力分别为：,或一般形式：,23,3.3.2力的独立作用原理：,推广：一般情况，设有诸力 作用于质点m，有：,（2）,即：质点动量对时间的变化率等于作用于该质点的力的矢量和，称为质点的动量定理。,若在一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己的效果而不相互影响，此称作力的独立作用原理。(经验定律),24,3.3.3. 牛顿运动定律(

14、第二、第三定律),1.由(2)式根据质点的质量恒定可得：,（3）,即：质点的质量与其加速度的成积等于该质点所受外力的矢量和牛顿第二定律，又称为质点的动力学方程。 适用范围：质点和惯性参考系。,(4)式即为牛顿第三定律，这两力分别称为作用力和反作用力，二者大小相等，方向相反，作用在不同的物体上。,（2）,25,3.3.4.伽利略的相对性原理,牛顿定律适用于惯性系，从一惯性系变换为另一惯性系时，牛顿第二，三定律形式将不变：,O系：,O系：,26,3.3.4.伽利略的相对性原理,因此，对于任何惯性参考系牛顿第一 二、三定律都成立。,即：任何惯性参考系在牛顿力学规律面前 都是平等的或着说是平权的。,2

15、7,伽利略相对性原理 Mechanics Relativity Principle,“把你和朋友关在一条大船甲板下的主舱里, 再让你们 带几只苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫，舱内放一只大水碗， 其中放几条鱼。然后，挂上一个水瓶，让水一滴一滴 地滴到下面的宽口罐里。船停着不动时，你留神观察， 小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随便 游动，水滴滴进下面的罐子中，你把任何东西扔给你 的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方 向用更多的力。你双脚齐跳，无论向那个方向跳过的 距离都相等。当你仔细地观察这些事情后（当然船停 止时，事情无疑一定是这样发生的），再使船以任何 速度前进，只要船是匀速的，也

16、不忽左忽右地摆动，,28,你把不论什么东西扔给你的同伴时，不论他是在船头还是在船尾，只要你自己站在对面，你也并不需要用更多的力。水滴将像先前一样，滴进下面的罐子，一滴也不会滴向船尾，虽然水滴在空中时，船已行驶了很多柞。鱼在水中游向水碗前部所用的力，不比游向水碗后部来的大；它们一样悠闲地游向放在水碗边缘任何地方的食饵。最后，蝴蝶和苍蝇将继续随便地到处飞行，它们也决不会向船尾集中，并不因为它们可能长时间留在空中，脱离了船的运动，为赶上船的运动而显得累的样子。” 摘自关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话 东汉尚书志考灵曜：“地恒动不止而人不知,譬如人在大舟中，闭牖而坐，舟行而人不觉也。”,29,伽利

17、略Galileo (15641642),著名意大利数学家、天文学家、物理学 家、哲学家，是首先在科学实验的基础上融 合贯通了数学、天文学、物理学三门科学的 科学巨人。加利略是科学革命的先驱，毕生把哥白尼、开普勒开创的新世界观加以证明和广泛宣传，并以自己在教会迫害下的牺牲唤起人们对日心说的公认，在人类思想解放和文明发展的过程中作出了划时代的贡献。 300多年后的1979年11月10日，罗马教皇才公开承认对加利略审判的不公正，1980年十月，世界主教会再一次声明，为科学巨人加利略沉冤昭雪。,30,举例说明：,船匀速直线运动，船上的人让小球自由下落： 船上的人观察：小球匀加速自由下落。 地面上的人观

18、察：小球作斜下抛运动。 所以，船上的人无法判断船的运动状态。,伽利略的相对性原理： 对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的，也称力学的相对性原理。或者：不可能借助在惯性参考系中所做的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度。,31,问题： （1）在运动学中，参考系是否可以任意选取？ （可以） （2）应用牛顿定律研究动力学问题时，参考系是否可以任意选取？ （不可以） （3）平衡力与作用力和反作用力有何不同？ （平衡力是作用在同一物体上的两个力，而作用力和反作用力是作用在两个不同的物体上。）,32,质量为2kg的质点的运动学方程 ，(t为时间，单位为秒；长度单位为米）。 求证：质点受恒力而运

19、动，并求力的大小、方向,练习题：,33,例题1,质量为m的抛体，射出的速度为,，发射仰角,空气阻力与速度成正比，即,，求抛体的轨迹。,解选地面为参考系，,则有,分离变量，得,34,初始条件为,作定积分，则有,作定积分，得,35,考虑风速等影响，还要复杂些。,解题步骤：,1、确定研究对象，选参考系 2、分析受力，写出矢量方程 3、建立坐标系，列出分量形式的方程 4、解方程 5、讨论,36,3.4主动力和被动力 active force and reactive force,3.4.1 主动力 active force,主动力：重力，弹簧弹性力，静电力和洛仑兹力等有其“独立自主”的大小和方向，不受

20、质点所受的其它力的影响，处于“主动”地位，称“主动力”。,1.重力和重量 force of gravity and weight,（1）,重力：地球作用于质点的万有引力（视地球为惯性系）；方向：竖直向下；重量：重力的大小，属相互作用范畴，与质点距地心的距离和纬度有关；质量：惯性大小的量度，在经典力学中是一恒量。,37,2.弹性力 Elastic force,(1)弹簧的弹性力： Elastic force of a spring 弹簧水平放置，一端固定，另一端与质点相连，处于自由伸展状态，以弹簧自由伸展时质点位置为坐标原点，沿弹簧轴线建立 O-x 轴， x 表示质点坐标相对于原点的位移， fx

21、 表示弹性力在轴上的投影，在弹 性限度内，由胡克定理：弹簧弹性 力的大小与物体相对于坐标原点的 位移成正比：,（2）,式中负号表示方向与位移相反，k是弹簧的劲度系数，与弹簧的匝数，直径，线径和材料等因素有关。,38,力学,3.静电场力和洛仑兹力 Electrostatic force and Lorentz force,1）带电体周围存在电场，在电场内引入另一带电质点，则它所受电场力的作用：,（3）,（4）,2）有电流的空间存在磁场，磁场对运动带电质点有力的作用。磁感应强度为，质点所带电荷为q ，运动速度为，则质点所受的磁场力为：,39,力学,3.4.2 被动力（约束反作用力）,象物体间的挤压

22、力，绳内张力和摩擦力，没有自己独立自主的方向和大小。要看质点受到的主动力和运动状态而定，处于“被动地位” 。被动力常常作为未知力出现。,1.绳内的张力 Tension,张力：在张紧绳索上某位置作与绳垂直的假想截面，将绳分成两侧，这两侧的相互作用力即该处绳的张力。 注意：处理问题时绳的伸长量不考虑。 原因：是由于绳索的拉伸形变而产生的,但形变量与原长相比很小,可忽略不计。,40,用绳子拉物体时,绳子由于受到拉伸而产生形变,因此,绳子与物体之间有弹性力,绳子内部也有弹性力. 设想将绳子在某一点a分成两部分,这两部分绳子 之间都要互施拉力:Ta 和Ta, 这一对作用力和反 作用力称为绳子的张力. 在

23、力学中,在涉及到绳子的张力问题时,一般采取 近似:不计绳的伸长;轻绳;,绳内张力(Tension),41,不计绳的伸长: 张力是由于绳子被拉伸而产生的,但与绳的长度相比,绳子的伸长可忽略,用绳子相连的两个物体在任何时刻速度和加速度的数值都相同; 绳子起着约束物体运动的作用,因而,绳子的张力是一种约束力; 绳子的张力不是由绳子的形变规律确定,而是由动力学方程决定; 轻绳: 忽略绳子的质量,绳子上各点的张力都相等,其大小等于绳子的两端所受的外力的大小. 如果绳子是有质量的,则绳子上各点的张力与绳子的质量和加速度有关,42,2. 支持面的支撑力,两物体接触并压紧，双方均因挤压而形变，变形后的物体企图

24、恢复原状而互相施于挤压弹性力。（形变往往微乎其微，常忽略不计） 对于互相挤压的物体，可将相互作用力分为两分力，一个分力：沿接触面切线方向，另一分力：与接触面垂直，前者属于摩擦力，后者属于正压力。,支撑力是压力与摩擦力的合力,43,3.摩擦力 Friction force,固体间的摩擦力叫做干摩擦力，包含静摩擦力和滑动摩擦力。,静摩擦力：，最大静摩擦力： ；滑动摩擦力： ，为滑动摩擦系数；N表示正压力，则有：,其中： 和与物体材料、表面光滑程度、干湿程度及温度等多种因素有关。一般的计算中，视和为常量，且 。,44,摩擦力的产生机制复杂 ,接触面凸凹不平, 接触面间互相嵌套、碰撞是产生摩擦力的主要

25、原因,摩擦系数与接触面情况有关（材料、光滑干湿程度、温度），还与接触面相对运动速度有关,45,摩擦力的产生机制复杂 ,接触面凸凹不平, 接触 面间互相嵌套、碰撞是产生摩擦力的主要原因,摩擦系数与接触面情况有关（材料、光滑干湿 程度、温度），还与接触面相对运动速度有关,摩擦力的方向总是和接触面相对运动的趋势或 相对滑动的方向相反,46,3.5牛顿运动定律的应用,一般方法： (1)隔离可以看作质点的物体，分析它的受力情况； (2)运用牛顿定律得到矢量方程，然后根据具体的坐标系得到所对应的标量方程，并利用微积分进行运算。,3.5.1 恒力作用下的直线运动（运用直角坐标系）,47,例1：图示为定滑轮装

26、置,绳轮质量不计,绳伸长不计，轴处摩擦不计,已知重物m2m1，求重物释放后物体加速度和绳中张力。,可求得:,解：以地为参考系，隔离m1,m2, 对两个 质点分别应用牛顿第二定律,讨论：验证牛二定律：,设m1、m2是两个质量均为m的人，他们自同一 高度开始爬绳，谁先到达顶点？,48,例2：在所示图中， 为已知，木块与斜面、斜面与水平面间均无摩擦，问倾角多大，m1,m2相对静止？,解：若相对静止，加速度必定相同，且沿水平方向向右 以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图所示， 对两个质点分别应用牛顿二定律：,+可求得:,/ ，并将a代入，可求得：,49,3.5.2 变力作用下的直线运动,力

27、 ，即：力是时间、坐标、速度的函数， 有牛顿第二定律：,（3）,3.5.3 质点的曲线运动,选择自然坐标系，将力投影到法线方向和切线方向， 由牛顿第二定律可得：,表示力在法线方向上投影的代数和； 表示力在切线方向上投影的代数和。,（4）,50,积分： 得：,利用： 则上式为：,解：浮力B是个变力：,例题3： 有一密度为 的细棒，长度为l, 其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘性。,细棒的重力：,棒所受合外力：,由牛顿第二定律：,51,例题4：旋风游戏机的力学模型如图所示，假设转椅固定在大转盘上，0= 0.84rad/

28、s,=18, R = 2.0m, r = 1.6m, mA= mB= m = 60kg.求座椅对A点，B点游客的作用力。,解：人的加速度：,由牛二定律：,椅子对人 作用力：,52,3.5.4 质点的平衡 Equilibrium of particle,质点的平衡状态指相对于惯性参考系，质点处于静止或匀速直线运动状态：,（5）,即：质点处于平衡状态时，所受的合外力为零， 叫做质点的平衡条件。,(5)式在直角坐标系中的投影方程：,53,3.6非惯性系中的力学,牛顿第二定律的适用范围是惯性系，本节将讨论如何在非惯性系中保持质点动力学方程的形式不变。,3.6.1 直线加速参考系中的惯性力 inerti

29、al force,1.直线加速参考系： 参考系相对于惯性系运动，固定于该参考系上直角坐标系的原点作变速直线运动，且各坐标轴的方向始终保持不变。,例如：向右加速运动的小车是一非惯性系，是一直线加速参考系。,讨论：小球的运动状态：（桌面光滑）,（1）以地面为参考系：小球水平方向不受力，静止。,54,小球相对于车向左以加速度 运动，由于水平方向不受力，不符合牛顿第二定律，这时，可设想力 作用于小球上，方向与小车相对于地面的加速度方向相反，大小等于小球质量与加速度的乘积，该设想的力称为惯性力：,（1）,引入“惯性力”，对于小车非惯性系，仍可用牛顿第二定律,的形式。小球相对于车身的加速度是惯性力作用的结

30、果。,总之：在直线加速运动的非惯性系中，质点所受惯性力 与非惯性系的加速度 方向相反，且等于质点的质量m与非惯性系的加速度 的乘积。,（2）以小车为参考系,55,注：（1）惯性力不是相互作用力，不存在反作用力； （2）惯性力的存在反映了所选择的参考系是非惯性系。,2直线加速参考系中的动力学方程,建立直角坐标系和，分别是惯性系和非惯性系，坐标轴互相平行， 系相对于系以加速度运动，位矢， 有：,对此式对时间求二阶导数，得：,（2）,56,上式表明： 在直线加速的非惯性系中，质点质量与相对加速度的乘积等于作用于此质点的相互作用力和惯性力的合力，此式即为质点在直线加速参考系中的动力学方程。,57,3.

31、6.2 离心惯性力 Centrifugal inertial force,如图所示：圆盘以匀角速率 绕铅直轴转动，圆盘上用长为r的线将质量为m的小球系于盘心且相对于圆盘静止。,从惯性系看：小球受线拉力的作用下做匀速圆周运动， 符合牛顿第二定律。,从圆盘非惯性系看：小球受到拉力的作用，却保持静止，不符合牛顿第二定律。,58,故有：相对于惯性系做匀速转动的参考系也是非惯性系。,上式的力称为离心惯性力,。即：若质点静止于匀速转动的非惯性系中，则作用于此物体所有相互作用力与离心惯性力的合力等于零。即：,（5）,59,3.6.3 科里奥利力 Coriolis force,如图示：一圆盘绕铅直轴以匀角速率

32、 转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，其中放置一小球m，可视作质点，以细线连之，线另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动，速度为 沿槽向外运动，经时间 t，圆盘转过t 角，而小球自A运动至 。,1.从地球惯性参考系上研究：,A点，小球的速度： 和切向速度 ， 为A点处的半径，二者合成应使小球达到D点，实际上小球到达 点，这表明槽对小球的作用有沿切线或圆弧方向的力，使小球获得切向加速度，使小球多走出弧长 。,由于t 很短，可设小球以恒定加速度 走出 ，于是有 ， 是槽壁作用于小球的推力产生的。,60,引入“角速度矢量”，记作 。方向规定：右手握并伸出拇指，四指指向圆盘旋转的方向，拇

33、指即指向角速度矢量的方向。由上图可知：,称作科里奥利加速度，它是在惯性系中看到的，是槽施于小球的推力所产生的加速度。,（6）,2.从非惯性系上研究：,称作科里奥利力或科氏力-不属于相互作用范畴。是在转动非惯性系中观测到的。,注：若质点相对于匀速转动的圆盘作变速转动，则惯性力为：离心惯性力和科里奥利力。,小球的受力：线的拉力 ，离心惯性力，二者平衡，槽对球的推力；但并没发生与槽垂直的运动，故还受一惯性力：,（7）,科氏力的应用：傅科摆,61,1.升降机内有一装置加图示悬接的两个物体的质量各为ml、m2，且mlm2。若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度 a (方向向下

34、)运动的，两物体的加速度各是多少?绳内的张力是多少？,例题(3.5.2)：,62,解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1=a2=a为m1、m2相对升降机的加速度,以向下为正方向，由牛顿二定律，有：,设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，,写成标量式：,将a代入，求得：,63,例(3.5.3)框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来(1)当小球摆至最高位置时； 释放框架使它沿导轨自由下落，如图1、问框架自由下落时，摆相对于框架如何运动 ？(2)当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图

35、，小球相对于框架如何运动？小球质量比框架小很多。,64,解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：,小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，所以法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由于切向合力F=Wsinf*sin=0，所以切向加速度a=0. 小球相对框架的速度为零，加速度为零，因此小球相对框架静止 。,小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不为零，法向加速度an=v2/l0，T=man ；在切向方向小

36、球不受外力作用，所以切向加速度a=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。,65,3.7用冲量表述的动量定理,3.7 1 力的冲量 Impulse of force,为了描述力在一段时间的累积作用，引入了新的物理量冲量。,如果 表示极短的时间，表示 这一极短的时间段内质点所受力的某一瞬时值，则：,（1）,称作力在时间内的元冲量。,考察 时间这一时间段，把 划分许多很小的时间间隔 ，每小段内 可视作恒力，将力在各小时间间隔的元冲量求和，并取极限，可得力 在时间间隔 内的冲量 ：,（2）,即：力的冲量等于力在所讨论时间间隔内对时间的定积分。,66,定义平均力：,

37、冲力：作用时间短，力的大小迅速变化，且可达到很大的数值。,冲量：矢量，元冲量的方向和力的方向相同，冲量和平均力的 方向相同。,67,3.7 .2 用冲量表述的动量定理,（4）,上式表明：质点动量的微分等于合力的元冲量（质点动量定理的微分形式）。,（5）,上式表明：在一段时间内，质点动量的改变量等于这段时间内作用于质点合力的冲量。（质点动量定理的积分形式）。,因为：合力的冲量等于各分力冲量的和，所以，(5)式可表示为：,（6）,注：上式不常用。因为，有的力的作用不是持续的，而是间断和变化的。,68,（三）质点动量定理的三种形式,质点动量定理的导数形式 ：,作用于质点的合力等于质点动量对时间的变化

38、率 也叫用力表述的动量定理或牛顿二定律的动量表述,质点动量定理的微分形式： 作用于质点的合力的元冲量等于质点动量的微分,质点动量定理的积分形式：,三种表述都可以写成分量形式，如：,作用于质点的合力的冲量等于质点动量的增量 也叫用冲量表述的动量定理,69,例题1. 气体分子对器壁的碰撞：分子质量为m, 入射速度v1=v，方向与器壁法线成60，反射后速度大小不变，方向与法线另一侧成60,求气体分子作用于器壁的冲量。,解：把气体分子视为质点，碰撞前后动量 增量，,根据入射与反射方向以及 ， 可知 的大小为mv，方向垂直器壁向内。,据动量定理的冲量表述，器壁作用于分子 的冲量:,据牛三定律, 分子作用

39、器壁的冲量 即，大小为mv，方向垂直器壁向外,70,71,72,质量为 M 的滑块与水平台面间的静摩擦系数为0，质量为 m 的滑块与M均处于静止。绳不可伸,绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对 M 的冲力的平均力拖动 M ? 设当 m 下落 h 后经过极短的时间t后与绳的铅直部分相对静止。,例题3,73,解：以地为参考系，选图示坐标， 先以m为研究对象，它被托起h，再落 回原来位置时，速度大小为: 在t极短时间内与绳相互作用，速度 又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有：,再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦

40、不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=o Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是： Ffmax，即,74,3.8质点系动量定理和质心运动定理,本节研究：质点系受周围物体作用时动量的变化规律。,3.8.1 质点系动量定理,对于有若干质点组成的质点系来说，质点系以外的物体称作外界。,外力：外界对质点系内质点的作用力。,内力：质点系内诸质点间的相互作用力， 性质：内力的矢量和为零（不是平衡力系）。,质点系的动量：质点系诸质点动量的矢量和。,推导：对于第i 个质点：,75,即：质点系动量的变化是由外力引起的 ：质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和：

41、,是各质点的动量， 是各质点外力的矢量和。,(1)式在直角坐标系中的投影式为：,（2）,76,又由(1)式可得：,（3）,即：质点系外力的元冲量的矢量和等于动量的微分。,用 和 分别表示 t0 和 t 时质点系的动量，对(3)式两端积分得：,（4）,(4)式表明：在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力的矢量和在这段时间内的冲量冲量表示的质点系的动量的增量。,77,3.8.2、质心运动定理,由质点系动量定理 ：,用 表示各质点的位矢，则,设 表示质点系的总质量，则：,（5）,质心：,78,直角坐标系中的投影：,若质点是连续的，则：,（7）,(6)式或(7)式所确定的空间点和质点系密切关

42、联，叫做质点系的质量中心，简称质心。 表示质心的位置矢量， 表示质心坐标，是质点系质量分布的平均坐标，即：以质量为权的平均坐标。,79,说明 (1)几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。 (2)有些物体的质心可能不在所求的物体上。 (3)重心(Center of gravity)是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合。,80,另外，用 表示质心加速度，则(5)式可以写作：,所以，质点系的动量：,即：体系的动量等于质心的动量。,(8)式表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。,81,（8）,（9）,注：内力不影响质心的运

43、动状态。,(8)式或(9)式和牛顿第二定律的形式一样，可知：把实际物体抽象为质点并运用牛顿第二定律，是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动和各质点间的相对运动。质点模型方法的实质。,即：在质点动力学中，我们所研究的“质点”，其实就是物体的“质心”。,质心运动定理的局限性：仅给出质心加速度， 未对质点系作全面描述。,82,说明,(1)质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很复杂，但对于质心的运动，只取决于合外力，内力对质心的运动不产生影响。,(2)当,时，,内力不改变质心的运动状态。,(3)质点系受的外力矢量和在某个方向为零时， 在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。,(4

44、)质心运动定理不能描述各质点的运动情况。,83,3.8.3 质点系相对于质心系的动量,1.质心系：以质点系的质心为原点，坐标轴与基本参考系平行，这种参考系又叫质心参考系。（零动量参考系）,2.质点系相对于质心系的动量： 设 mi 表示质点系中各质点的质量， 表示质点系诸质点相对于质心系的速度，质点相对于质心系的动量为 ，则：,而： 表示质心系中质心位置矢量， ，故：,即：质点系对质心参考系的总动量为零。,84,质量为1500kg的吉普车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s问缆绳作用于驳船的平均力有多大? (用牛顿定律作出结果，并以此验证你的运算),例题,85,解：（1）用质点系动量定理解

45、： 以岸为参考系，把车、船当作质点 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力F的作用， 应用质点系动量定 理，有Ft=m1vF=m1v/t=15005/5=1500N,（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/t=v/t，a2为船对地的加速度，据题意a2=0，ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1，ac=m1v/(m1+m2)t ，F=m1v/t=1500N,86,（3）用牛顿定律解： 分别分析车、船两个质点的受力与运动情况：并对两个质点分别应用牛顿二定律：,87,3.9经典力学中动量守恒

46、定律的常见形式,3.9.1 、质点系动量守恒定律,即：在一定的时间间隔内，若质点系所受外力矢量和为零，则在该段时间内动量守恒。（质心动量守恒）,注：动量守恒定律成立的近似条件：一定过程中，内力远大于外力，可近似认为动量守恒。,2.若质点系所受外力的矢量和并不为零，但外力在某个方向上的分力之和为零，如： ，则：质点系动量相应的分量守恒： ，称此种情况是：动量沿某一坐标轴的投影守恒。,88, 动量守恒定律,应用动量守恒定律时应注意,1。系统的选择是任意的，内、外力也是相对的(合理选择系统),2。,有以下几种情况：,a. 不受外力 b. 外力矢量和为零 c. 内力外力,89,3。若,质点系动量守恒，

47、但分动量可以交换,4。矢量性：,5。适用范围：惯性系，范围广些（微观现象）,6。各速度应是相对同一惯性参考系,则：,对y方向、z方向均有此关系式成立,90,例题 质量为M，仰角为的炮车发射了一枚质量为m的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求(1)炮弹出口时炮车的速率；()发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L)。,解：()选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，系统所受合外力为N，Mg,mg，都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量X分量守恒。设炮弹相对于地面的速度为v2,由X方向的动量守恒可得,由相对速度的概念可得,91,得,解得,“”号表示炮车反冲速度与X轴正向相反。,（）若

48、以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率,设炮弹经t1s出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了,92,解: 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即,例题 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。,所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。因为v1和v2相互垂直所以,93,由于 和 所成角由下式决定：,即 和 及 都成 且三者都在同一平面内,由于 ,所以 的大小为,94,3.9.2 质心运动守恒,由，若，可得,而，若，即，则,